第二章心理測量中的統(tǒng)計(jì)技術(shù)孫海龍第一節(jié)

次數(shù)分布與集中量數(shù)描述統(tǒng)計(jì)的目的使得一組數(shù)據(jù)易于理解。圖和表是很好的手段和方法一個(gè)例子一位研究者調(diào)查了151位大學(xué)生，問他們在過去一年中的應(yīng)激程度，用的是0到10點(diǎn)量表。151個(gè)大學(xué)生的數(shù)據(jù)如下：4,7,7,7,8,8,7,8,9,4,7,3,6,9,10,5,7,10,6,8,7,8,7,8,7,4,5,10,10,0,9,8,3,7,9,7,9,5,8,5,0,4,6,6,7,5,3,2,8,5,10,9,10,6,4,8,8,8,4,8,7,3,8,8,8,8,7,9,7,5,6,3,4,8,7,5,7,3,3,6,5,7,5,7,8,8,7,10,5,4,3,7,6,3,9,7,8,5,7,9,9,3,1,8,6,6,4,8,5,10,4,8,10,5,5,4,9,4,7,7,7,6,6,4,4,4,9,7,10,4,7,5,10,7,9,2,7,5,9,10,3,7,2,5,9,8,10,10,6,8,3用次數(shù)分布表整理在應(yīng)激量表每一點(diǎn)上的學(xué)生數(shù)目——————————————應(yīng)激分?jǐn)?shù)學(xué)生數(shù)目百分比

10149.39159.982617.273120.56138.651811.941610.63127.9232.0110.7021.3——————————————一、次數(shù)分布描述統(tǒng)計(jì)的目的：簡化和整理數(shù)據(jù)的表達(dá)。次數(shù)分布（FrequencyDistribution）：是指一批數(shù)據(jù)在某一量度的每一個(gè)類目所出現(xiàn)的次數(shù)情況組織此類數(shù)據(jù)的第一種方法是：建立次數(shù)分布表次數(shù)分布表和次數(shù)分布圖就是表達(dá)一組數(shù)據(jù)是如何在某一度量上分布的例1：某個(gè)班的26個(gè)學(xué)生在一次測驗(yàn)中的分?jǐn)?shù)如下（10分為滿分）：

9，2，3，8，10，9，9，2，1，2，9，8，2，5，2，9，9，3，2，5，7，2，10，1，2，9

將這些分?jǐn)?shù)作成一個(gè)次數(shù)分布表

Xf1029782716052403228

12（一）簡單次數(shù)分布表

次數(shù)分布表是將位于量數(shù)的每一個(gè)類目的個(gè)體的個(gè)數(shù)組織成表格的形式-

變量的值?-填充x列從大到小，每個(gè)可能的值-

每個(gè)值出現(xiàn)多少次（發(fā)生次數(shù)）?-填充f列3-

觀察的總數(shù)？將次數(shù)行求和,將得到S

f=N4-

變量的總值？最簡單的方法就是求(X)和(f)的乘積列，然后將結(jié)果求和S(Xf)例1：對于下面的次數(shù)分布表：

a)

此分布中共有幾個(gè)分?jǐn)?shù)（N=？）

b)

對這些分?jǐn)?shù)求和∑XN=∑f=14∑X=∑xf=33

每個(gè)分?jǐn)?shù)的比率和百分率Proportion=p=f/n分組次數(shù)分布表

當(dāng)變量的值分布在一個(gè)較廣的范圍時(shí)，需要分組次數(shù)分布表簡捷地描述數(shù)據(jù)常常以區(qū)間或類別的形式出現(xiàn),而不是某一特定值.例如學(xué)生成績,(A=90-99,B=80-89,...).編制分組次數(shù)分布表的步驟把所有數(shù)據(jù)按大小順序排列求全距定組數(shù)定組距寫出區(qū)間上下限統(tǒng)計(jì)每個(gè)區(qū)間的次數(shù)

分組的“慣常法則”1.分組次數(shù)分布表應(yīng)該有大約10（5-15）個(gè)區(qū)間，目的是使這組數(shù)據(jù)易于直觀感受和理解2.所有區(qū)間的寬度應(yīng)該相等3.組距應(yīng)該是個(gè)比較簡單的數(shù)字，如2，5，10，204.每個(gè)區(qū)間開始的分?jǐn)?shù)應(yīng)該是組距的倍數(shù)例3：以下是22個(gè)同學(xué)的測驗(yàn)分?jǐn)?shù)，編制分組次數(shù)分布表

94,92,82,87,81,74,75,78,76,76,63,60,62,54,51,56,59,43,32,36,25,18

例3：以下是22個(gè)同學(xué)的測驗(yàn)分?jǐn)?shù)，編制分組次數(shù)分布表

94,92,82,87,81,74,75,78,76,76,63,60,62,54,51,56,59,43,32,36,25,18分?jǐn)?shù)的分布范圍是18-942為組距，分38組5為組距，分16組10為組距，分9組精確界限（RealLimits）對于一個(gè)連續(xù)型變量，每個(gè)分?jǐn)?shù)實(shí)際對應(yīng)量尺上的一段區(qū)間。分割這些區(qū)間的界限叫做精確界限（reallimits）.

分割兩個(gè)鄰近分?jǐn)?shù)的精確界限位于兩個(gè)分?jǐn)?shù)的中間。每個(gè)分?jǐn)?shù)有兩個(gè)精確界限,一個(gè)在區(qū)間的頂端，稱為精確上限（upperreallimit）,另一個(gè)在區(qū)間的底端，稱為精確下限（lowerreallimit）.注意一個(gè)區(qū)間的精確上限也是高一個(gè)區(qū)間的精確下限

次數(shù)分布圖直方圖(histogram）

用一些垂直條畫在每個(gè)分?jǐn)?shù)之上垂直條的高度代表次數(shù)垂直條的寬度代表分?jǐn)?shù)的精確區(qū)間.臨近的垂直條連接在一起只有數(shù)據(jù)是等距或等比量度（連續(xù)變量）時(shí)，才能用直方圖繪制一個(gè)直方圖來表達(dá)例2的分布

水平軸-X軸（abscissa）-X的值

垂直軸-Y軸（ordinate）-次數(shù)繪制直方圖的一般規(guī)則X軸與Y軸的交叉點(diǎn)應(yīng)該是0Y軸高度大約是X軸的2/3到3/4繪制直方圖的方法用坐標(biāo)紙繪制用Excel，SPSS等電腦軟件繪制折線圖（linegraph）

又稱次數(shù)分布多邊圖（frequencydistributionpolygon)在每一分?jǐn)?shù)上面畫點(diǎn)點(diǎn)的高度代表次數(shù)一條連續(xù)折線將這些點(diǎn)連接在一起表達(dá)數(shù)據(jù)的變化趨勢折線圖（linegraph）如何準(zhǔn)確地用圖表達(dá)數(shù)據(jù)把復(fù)雜的觀點(diǎn)傳遞得清晰,準(zhǔn)確,高效.在最短的時(shí)間里用最少的筆墨和空間傳遞最多的信息.圖形的實(shí)際差別與數(shù)據(jù)的差別成正比.標(biāo)注清楚,詳細(xì),完全.測度單位要一致.誤導(dǎo)讀者的圖仔細(xì)看看y軸,我們才發(fā)現(xiàn),原來膽固醇水平不過降低了5%!次數(shù)分布的形狀

用3個(gè)特征可以完整地描述一個(gè)分布：形狀（shape）集中趨勢（centraltendency）變異性（variability）對稱分布可以畫一條垂直線穿過分布的中央，使得分布的一邊恰是另一邊的鏡象。偏態(tài)分布（skeweddistribution）

分?jǐn)?shù)堆積在分布的一端，而另一端成為比較尖細(xì)的尾端（tail）

偏態(tài)分布尾端向右的稱為正偏態(tài)（positivelyskewed

）(因?yàn)槠湮捕酥赶蛘龜?shù))偏態(tài)分布尾端向左的稱為負(fù)偏態(tài)（negativelyskewed）.百分位數(shù)（percentile）以上是描述觀察的整體，而我們也可用次數(shù)分布來描述某一個(gè)別點(diǎn)在一個(gè)集合中的位置原始分?jǐn)?shù)本身并不提供該點(diǎn)在一個(gè)集合中的位置的信息一個(gè)分?jǐn)?shù)的等級（rank）或百分位數(shù)等級（percentilerank）：某一分布中分?jǐn)?shù)在某一值之下或等于該值的個(gè)體所占的百分比.當(dāng)一個(gè)分?jǐn)?shù)被其百分位數(shù)等級,該分?jǐn)?shù)稱為百分位數(shù)（percentile）.累計(jì)次數(shù)分布cf=累積次數(shù)（cumulativefrequency）c%=cf/NX100%累積百分比（cumulativepercentage）如何確定百分位數(shù)對于連續(xù)型數(shù)據(jù),必須考慮其精確上限和精確下限如何確定百分位數(shù)1)

-對于分?jǐn)?shù)4,其對應(yīng)的累積百分比是95%.但注意：分?jǐn)?shù)4意味著一個(gè)人得分在3.5和4.5之間.累積百分比表明組距的精確上限。因此，95的百分位數(shù)是與4.5相對應(yīng)（而不是4.0）.2)

找出分布中4分的精確上限和精確下限的累積次數(shù).

-對于分?jǐn)?shù)4.5,其對應(yīng)的累積百分比是95-

對于分?jǐn)?shù)3.5,其對應(yīng)的累積百分比是70

對于分?jǐn)?shù)4.0,其對應(yīng)的累積百分比是多少呢？

插值法（Interpolation）

有時(shí)你所感興趣的值并未出現(xiàn)在表內(nèi)。此時(shí)你需要做基于經(jīng)驗(yàn)的猜測.插值法的假設(shè)是在所求解點(diǎn)的附近1個(gè)組距單位區(qū)間之內(nèi)的分?jǐn)?shù)和對應(yīng)的百分比的變化是線性的。關(guān)鍵在于要找到距求解點(diǎn)最近的兩個(gè)區(qū)間，對于較遠(yuǎn)的區(qū)間，則不滿足分?jǐn)?shù)和對應(yīng)的百分比線性變化的假設(shè)。練習(xí)使用下表，求出第50個(gè)百分點(diǎn)解答14.5------60X------509.5-------30

（X-9.5）/（14.5-9.5）=（50-30）/（60-30）

X=12.83概念小測查:判斷正誤按照慣例,次數(shù)分布表從高到低列出分布類目(X的值).T當(dāng)樣本中的分?jǐn)?shù)被列到次數(shù)分布表中時(shí),你可以把f列加起來確定這些分?jǐn)?shù)的數(shù)目T為了得到一個(gè)次數(shù)分布表中分?jǐn)?shù)的總和,你需要做的只是將X列加在一起.F對于在X=61到X=68之間的一組分?jǐn)?shù),應(yīng)當(dāng)使用分組次數(shù)分布表而不是簡單次數(shù)分布表.F按照慣例,分組次數(shù)分布表的組距是一個(gè)簡單的數(shù)字,如2,5,10.T一個(gè)分組次數(shù)分布表列出一組分?jǐn)?shù)是20-24.其組距是4.F在次數(shù)分布圖中,分?jǐn)?shù)(X值)被列在垂直軸上.F如果分?jǐn)?shù)是等距量表,可以以直方圖或次數(shù)多邊圖來表示次數(shù)分布.T在棒圖中,兩條棒之間有空間.T在負(fù)偏態(tài)分布中,分?jǐn)?shù)堆積在分布右側(cè),而分布左側(cè)分?jǐn)?shù)稀薄T.（一）、算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)一般簡稱為平均數(shù)，或均數(shù)，或均值。一般用字母M或表示。二、集中量數(shù)1.算術(shù)平均數(shù)的特點(diǎn)（或性質(zhì)）:1）2）3）受兩極量數(shù)的影響較大4）5）6）算術(shù)平均數(shù)是“真值”的漸進(jìn)估計(jì)值,最佳的估計(jì)量2、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法1）未分組數(shù)據(jù)計(jì)算平均數(shù)由次數(shù)分布表求平均數(shù)2）使用次數(shù)分布表計(jì)算平均數(shù)表3-1次數(shù)分組求平均數(shù)計(jì)算表分組組中值（Xc）次數(shù)（f）Xc×f計(jì)算80—70—60—857565692510675130合計(jì)1713153、平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)1）優(yōu)點(diǎn)1.反應(yīng)靈敏2.計(jì)算嚴(yán)密3.計(jì)算簡單4.簡明易解5.適合于進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算6.較少受抽樣變動的影響2）缺點(diǎn)1.易受極端數(shù)據(jù)影響修剪平均數(shù)：也稱截尾平均數(shù)，是從一組數(shù)據(jù)中去除一定百分比（如5%）的最大值和最小值數(shù)據(jù)后，再次計(jì)算的算術(shù)平均數(shù)。2.若出現(xiàn)模糊不清的數(shù)據(jù)時(shí)，無法計(jì)算平均數(shù)4、小結(jié)如果一組數(shù)據(jù)是比較準(zhǔn)確，可靠又同質(zhì)，而且需要每一個(gè)數(shù)據(jù)都加入計(jì)算，同時(shí)還要作進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算時(shí)，這時(shí)就要用算術(shù)平均數(shù)表示其集中趨勢。如果一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)兩個(gè)極端的數(shù)目，或有一些數(shù)據(jù)不清楚，數(shù)據(jù)不同質(zhì)時(shí)，就不宜使用算術(shù)平均數(shù)。在報(bào)告平均數(shù)時(shí)，要按特別指定的單位來表達(dá)。在書寫平均數(shù)時(shí)，習(xí)慣上平均數(shù)保留的小數(shù)位數(shù)要比原來的測量數(shù)據(jù)多一位小數(shù)。（二）中數(shù)和眾數(shù)1、中數(shù)

1）中數(shù)的意義和特點(diǎn)

a意義:

中數(shù)又稱中點(diǎn)數(shù)，中位數(shù)，中值，是指按順序排列在一起的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)。符號為Md或Mdn。

b特點(diǎn):不受兩極量數(shù)的影響

2)中數(shù)的計(jì)算方法（1）a）量數(shù)未分組求中數(shù)的方法當(dāng)量數(shù)不多時(shí)，先把數(shù)據(jù)排序，若數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，則為中數(shù)；若數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則為中數(shù)。1.一組數(shù)據(jù)中無重復(fù)數(shù)值的情況①求數(shù)列4，6，7，8，12的中數(shù)？②有2，3，5，7，8，10，15，19共8個(gè)數(shù)，求其中數(shù)。2)中數(shù)的計(jì)算方法（2）一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)數(shù)值的情況①當(dāng)重復(fù)數(shù)值沒有位于數(shù)列中間時(shí)求數(shù)列5，5，6，10，12，15，17的中數(shù)。②當(dāng)重復(fù)數(shù)目位于數(shù)據(jù)中間，數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)求數(shù)列11，11，11，11，13，13，13，17，17的中數(shù)。③當(dāng)重復(fù)數(shù)目位于數(shù)列中間，數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)求數(shù)列11，11，11，11，13，13，13，17，17，18的中數(shù)。2、眾數(shù)1）眾數(shù)的意義和特點(diǎn)

a意義：指在一組量數(shù)中，出現(xiàn)頻數(shù)最多的量數(shù)。用符號表示。

b特點(diǎn)：獲取容易；在一組量數(shù)中，眾數(shù)可能不止一個(gè)；在次數(shù)分布中，眾數(shù)受組距和組限的影響很大。

2、眾數(shù)2)眾數(shù)的求法a用觀察法求眾數(shù)例：求2，3，3，5，3，4，3，6這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。b用公式計(jì)算眾數(shù)金氏（W.I.king)插補(bǔ)法（量數(shù)已分組歸類，可用下列公式）：：含眾數(shù)這一區(qū)間的精確下限；：高于眾數(shù)所在組一個(gè)組距那一分組區(qū)間的次數(shù)；：低于眾數(shù)所在組一個(gè)組距那一分組區(qū)間的次數(shù)；i：組距。金氏插補(bǔ)法適合次數(shù)分布比較偏斜的情況，比較接近正態(tài)的分布也適用。2)眾數(shù)的求法用公式計(jì)算眾數(shù)皮爾遜（K.Person)近似公式

皮爾遜經(jīng)驗(yàn)法只有當(dāng)次數(shù)分布呈現(xiàn)正態(tài)或接近正態(tài)時(shí)，才能使用。眾數(shù)的應(yīng)用1.當(dāng)需要快速而粗略地尋求一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)；2.當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)不同質(zhì)的情況時(shí)；3.當(dāng)次數(shù)分布中有兩極端的數(shù)目時(shí)，除了一般用中數(shù)外，有時(shí)也用眾數(shù)；4.當(dāng)粗略估計(jì)次數(shù)分布的形態(tài)時(shí)，有時(shí)用平均數(shù)與眾數(shù)之差，作為表示次數(shù)分布是否偏態(tài)的指標(biāo)。5.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中同時(shí)有兩個(gè)數(shù)值的次數(shù)都比較多時(shí)，即次數(shù)分布中出現(xiàn)雙眾數(shù)時(shí)，也多用眾數(shù)來表示數(shù)據(jù)分布形態(tài)。平均數(shù)、中數(shù)與眾數(shù)之間的關(guān)系在偏態(tài)分布中，平均數(shù)永遠(yuǎn)位于尾端。一般偏態(tài)情況下，中數(shù)離平均數(shù)較近，而距眾數(shù)較遠(yuǎn)。第二節(jié)差異量數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)差異量數(shù)是表示量數(shù)之間的差異程度的一些統(tǒng)計(jì)量的總稱。差異量數(shù)包括：絕對差異量數(shù)、相對差異量數(shù)和相對位置量數(shù)。一、差異量數(shù)

（一）平均差⒈意義：⒉計(jì)算：⑴未歸類量數(shù)求AD：可用定義式。⑵已歸類量數(shù)求AD表4-3已分組歸類求平均差組限f計(jì)算95—90—85—80—75—70—65—60—55—146912854197928782777267625719.714.79.74.70.35.310.315.320.319.758.858.242.33.642.451.561.220.3合計(jì)50358.03.平均差的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：平均差是根據(jù)全部數(shù)值計(jì)算的，受極端值影響較全距小。缺點(diǎn)：由于采取絕對值的方法消除離差的正負(fù)號，應(yīng)用較少。

（二）方差與標(biāo)準(zhǔn)差1方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義

1)方差:

2)標(biāo)準(zhǔn)差：

2標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算

1)基本公式：

2)原始量數(shù)求標(biāo)準(zhǔn)差的公式：

3)由次數(shù)分布表求標(biāo)準(zhǔn)差：

a簡單次數(shù)分布表求S：

1.性質(zhì)方差是對一組數(shù)據(jù)中各種變異的總和的測量，具有可加性和可分解性。統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中常利用方差的可加性去分解和確定屬于不同來源的變異性（如組內(nèi)、組間等），并進(jìn)一步說明各種變異對總結(jié)果的影響，是以后統(tǒng)計(jì)推論中最常用的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)。㈢方差與標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)和意義(1)

1.性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù)方差的平方根，它不可以進(jìn)行代數(shù)計(jì)算，但有以下特性。⑴每一個(gè)觀測值都加上一個(gè)相同常數(shù)C之后，計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差。⑵每一個(gè)觀測值都乘以一個(gè)相同的常數(shù)C，則所得的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差乘以這個(gè)常數(shù)。⑶以上兩點(diǎn)相結(jié)合，每一個(gè)觀測值都乘以同一個(gè)常數(shù)C(C≠0)，再加上一個(gè)常數(shù)d，所得的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差乘以這個(gè)常數(shù)C。㈢方差與標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)和意義(2)2.方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義方差與標(biāo)準(zhǔn)差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標(biāo)。其值越大，說明次數(shù)分布的離散程度越大，該組數(shù)據(jù)較分散；其值越小，說明次數(shù)分布的數(shù)據(jù)比較集中，離散程度越小。標(biāo)準(zhǔn)差具備一個(gè)良好的差異量數(shù)應(yīng)具備的條件：①反應(yīng)靈敏；②計(jì)算公式嚴(yán)密確定；③容易計(jì)算；④適合代數(shù)運(yùn)算；⑤受抽樣變動影響??；⑥簡單明了。標(biāo)準(zhǔn)差與其他各種差異量數(shù)相比，具有數(shù)學(xué)上的優(yōu)越性。㈢方差與標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)和意義(3)二、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

㈠標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的定義⒈定義:原始量數(shù)與其平均數(shù)的差數(shù),除以標(biāo)準(zhǔn)差所得的商,稱之為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。又稱為Z分?jǐn)?shù)。用公式表示：

標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個(gè)原始分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中所處位置的相對位置量數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)從分?jǐn)?shù)對平均數(shù)的相對地位、該組分?jǐn)?shù)的離中趨勢兩個(gè)方面來表示原始分?jǐn)?shù)的地位。㈡標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的求法X96908685838281807572137320-1-2-3-8-11

㈢標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)⑴Z分?jǐn)?shù)無實(shí)際單位，是以平均數(shù)為參照點(diǎn)，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位的一個(gè)相對量。⑵一組原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換得到的Z分?jǐn)?shù)可以是正值，也可以是負(fù)值。⑶所有原始分?jǐn)?shù)的Z分?jǐn)?shù)之和為0，Z分?jǐn)?shù)的平均數(shù)也為0,即⑷一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1,即⑸若原始分?jǐn)?shù)呈正態(tài)分布，則轉(zhuǎn)換得到的所有Z分?jǐn)?shù)值服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。㈣標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換的意義

把原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成Z分?jǐn)?shù)，就是把單位不等距的和缺乏明確參照點(diǎn)的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成以標(biāo)準(zhǔn)差為單位，以平均數(shù)為參照點(diǎn)的分?jǐn)?shù)。因?yàn)樵谝粋€(gè)分布中，標(biāo)準(zhǔn)差所表示的距離是相等的，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位就使單位等距了。以平均數(shù)為參照點(diǎn)，也就是以0為參照點(diǎn)，因?yàn)榈扔谄骄鶖?shù)的原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)后，其值為0.原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成Z分?jǐn)?shù)，就是轉(zhuǎn)換為以1為標(biāo)準(zhǔn)差，以0為參照點(diǎn)（平均值）的分?jǐn)?shù)，從而可以明確各個(gè)原始分?jǐn)?shù)的相對地位，并且分?jǐn)?shù)間也有了相互比較的基礎(chǔ)。正因?yàn)樗?（1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差）為單位，以0為參照點(diǎn)，故名標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。㈤標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用1.比較幾個(gè)性質(zhì)不同的觀測值在各自數(shù)據(jù)分布中相對位置的高低例：測驗(yàn)一個(gè)班級的數(shù)學(xué)成績，平均數(shù)為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為8分；又測驗(yàn)了該班的語文成績，平均數(shù)為70分，標(biāo)準(zhǔn)差為5分。甲生在數(shù)學(xué)測驗(yàn)中得81分，在語文測驗(yàn)中得78分，問該生哪一學(xué)科的成績在班上比較優(yōu)？解：㈤標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用2.計(jì)算不同質(zhì)的觀測值的總和或平均值，以表示在團(tuán)體中的相對位置例16在招生考試時(shí)，有甲、乙兩考生的各科成績?nèi)缦卤?-14，如果這兩個(gè)考生只錄取一個(gè)，應(yīng)錄取哪位考生？表4-14標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)在計(jì)算總成績中的應(yīng)用考試科目個(gè)人分?jǐn)?shù)全體考生個(gè)人標(biāo)準(zhǔn)分甲乙平均分標(biāo)準(zhǔn)差甲乙語文數(shù)學(xué)外語政治歷史748732787089825060657080357568128111070.3330.875-0.2720.30.2851.580.251.36-1.50-0.42合計(jì)3413461.5211.27㈤標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用3.表示標(biāo)準(zhǔn)測驗(yàn)分?jǐn)?shù)㈤標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用4.異常值的取舍在一個(gè)正態(tài)分布中，平均數(shù)上下一定的標(biāo)準(zhǔn)差處，包含有確定百分?jǐn)?shù)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。根據(jù)這個(gè)原理，整理數(shù)據(jù)時(shí)，常采用三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差法取舍數(shù)據(jù)，即如果數(shù)據(jù)值落在平均數(shù)加減三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之外，則在整理數(shù)據(jù)時(shí)，可將此數(shù)據(jù)作為異常值舍棄。以上時(shí)指數(shù)據(jù)較多的情況。㈤標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用4.異常值的取舍如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)較少，則可依據(jù)下表所列的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)的一半（全距與標(biāo)準(zhǔn)差比率一半）乘以標(biāo)準(zhǔn)差，然后再求與平均數(shù)的和、差，并以這兩個(gè)值為界取舍數(shù)據(jù)。表4-15全距與標(biāo)準(zhǔn)差的比率隨N變化表N5101520405010020040050070010002.33.13.53.74.34.55.05.55.96.16.36.5第三節(jié)相關(guān)與回歸一、相關(guān)相關(guān)(correlation)的概念兩個(gè)變量之間不精確、不穩(wěn)定的變化關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient)用來描述兩個(gè)變量相互之間變化方向及密切程度的數(shù)字特征量稱為相關(guān)系數(shù)。一般用r表示。正相關(guān)positivecorrelation負(fù)相關(guān)negativecorrelation零相關(guān)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)不等距，只能比較，不能直接作加、減、乘、除。相關(guān)不等于因果：相關(guān)系數(shù)只能描述兩個(gè)變量之間的變化方向及密切程度，并不能揭示二者之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系。

積差相關(guān)積差相關(guān)(PearsonProductMomentCorrelationCoefficient,r)的概念當(dāng)兩個(gè)變量都是正態(tài)連續(xù)變量，而且兩者之間呈線性關(guān)系，表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)稱為積差相關(guān)。積差相關(guān)使用的條件兩個(gè)變量都是由測量獲得的連續(xù)性數(shù)據(jù)；兩個(gè)變量的總體都是呈正態(tài)分布，或接近正態(tài)分布，至少是單峰對稱分布；必須是成對的數(shù)據(jù)，而且每對數(shù)據(jù)之間是相互獨(dú)立的；兩個(gè)變量之間呈線性關(guān)系；排除共變因素的影響；大樣本。積差相關(guān)系數(shù)的定義和計(jì)算協(xié)方差(covariance)是積差相關(guān)系數(shù)的基礎(chǔ)，它是兩個(gè)變量離差乘積之和除以n所得之商。其公式為：積差相關(guān)系數(shù)的定義和計(jì)算積差相關(guān)系數(shù)是協(xié)方差除以兩個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。其公式為：用原始數(shù)據(jù)直接計(jì)算，則例題為研究某測驗(yàn)的預(yù)測效度，在被錄取的高考考生中隨機(jī)抽取10人，測得他們的能力測驗(yàn)得分（X）,對他們進(jìn)行跟蹤研究，求得他們大學(xué)一、二年級有關(guān)科目平均分?jǐn)?shù)（Y）,求該測驗(yàn)的效度。X74718085767777687474756Y82758189828988848087837相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)的抽樣分布只有當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)為0，或者相關(guān)系數(shù)接近于0且樣本容量相當(dāng)大（n>50或n>30）時(shí)，r的抽樣分布才接近正態(tài)分布。相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的步驟及方法（1）H0：ρ=0；（2）H0：ρ=ρ0；（3）H0：ρ1=ρ2

相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的步驟及方法（1）H0：ρ=0；（2）H0：ρ=ρ0；（3）H0：ρ1=ρ2

二、回歸將存在相關(guān)的兩個(gè)變量，一個(gè)作為自變量，另一個(gè)作為因變量，并把二者之間不十分準(zhǔn)確、穩(wěn)定的關(guān)系，用數(shù)學(xué)方程式來表達(dá)，則可利用該方程由自變量的值來估計(jì)、預(yù)測因變量的估計(jì)值，這一過程稱為回歸分析

。

回歸表示一個(gè)變量隨另一個(gè)變量作不同程度變化的單向關(guān)系。

相關(guān)與回歸是從不同角度對變量間關(guān)系的分析：相關(guān)關(guān)系是兩個(gè)變量之間的雙向關(guān)系，沒有主從之分；而回歸關(guān)系是兩個(gè)變量之間的單向關(guān)系，是自變量對因變量的影響關(guān)系。相關(guān)關(guān)系用相關(guān)系數(shù)來表示，而回歸關(guān)系用數(shù)學(xué)模型來表示，這種數(shù)學(xué)模型稱為回歸方程（regressionequation）二．一元線性回歸方程的建立1．一元線性回歸概念

線性回歸（linearregression）：自變量與因變量之間呈線性關(guān)系（linearrelationship）的回歸關(guān)系。一元線性回歸是指只有一個(gè)自變量的線性回歸。一元線性回歸又稱為簡單線性回歸（simplelinearregression）。2．一元線性回歸方程的通式式中：a為直線的截距；b為回歸系數(shù)（也是回歸直線的斜率）（20．1）

3．一元線性回歸方程的建立建立回歸方程的步驟一般包括：根據(jù)數(shù)據(jù)資料作散點(diǎn)圖，判斷直線關(guān)系；選定計(jì)算回歸系數(shù)的方法并計(jì)算回歸系數(shù)b和直線的