二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法三、絕對(duì)收斂與條件收斂

第二節(jié)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十二章一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法若定理1.

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)

.單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束都有定理2(比較審斂法)設(shè)且存在對(duì)一切有(1)若大級(jí)數(shù)則小級(jí)數(shù)(2)若小級(jí)數(shù)則大級(jí)數(shù)證:設(shè)對(duì)一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示小級(jí)數(shù)和大級(jí)數(shù)的部分和,則有是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(常數(shù)k>0),因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(1)若大級(jí)數(shù)則有因此對(duì)一切有由定理1可知,則有(2)若小級(jí)數(shù)因此這說(shuō)明大級(jí)數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,小級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

討論p

級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知p

級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和故大級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級(jí)數(shù)收斂.時(shí),2)若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在對(duì)一切機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明級(jí)數(shù)發(fā)散.證:

因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散.例2.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足(1)當(dāng)0<l<∞

時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(1)當(dāng)時(shí),兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;特別取可得如下結(jié)論:對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)(2)當(dāng)且收斂時(shí),(3)當(dāng)且發(fā)散時(shí),也收斂;也發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的斂散性.～例3.

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法的極限形式知例4.

判別級(jí)數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知～機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理4

.

比值審斂法(D’alembert

判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.例5.

討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散;機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)則數(shù),且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,p–

級(jí)數(shù)說(shuō)明:但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足條件:則級(jí)數(shù)收斂,且其和其余項(xiàng)滿(mǎn)足機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、絕對(duì)收斂與條件收斂

定義:

對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂,但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則稱(chēng)原級(jí)收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對(duì)收斂.例如：絕對(duì)收斂；則稱(chēng)原級(jí)數(shù)條件收斂

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理7.

絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂.證:

設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.

證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)令因此收斂,絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2.利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件不滿(mǎn)足發(fā)散滿(mǎn)足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂概念:絕對(duì)收斂條件收斂