偏微分方程控制理論的研究

本節(jié)課我們主要講以下內(nèi)容偏微分方程基本概念現(xiàn)代控制理論產(chǎn)生與發(fā)展現(xiàn)代控制理論的應用偏微分方程基本概念那么，什么是偏微分方程？從小學開始，我們就遇到過代數(shù)方程，比如

或者：偏微分方程基本概念

如果一個未知函數(shù)以及它導數(shù)滿足某個等式，這個等式稱為微分方程。

如果一個微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個自變量，這個方程叫做常微分方程，也簡稱微分方程；

如果一個微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導數(shù)，或者說如果未知函數(shù)和幾個變量有關，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對幾個變量的導數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程。偏微分方程基本概念

他們是怎么產(chǎn)生的，來自什么樣的實際背景，如何建立起來的這些方程，現(xiàn)實中有哪些偏微分模型？人口問題紅綠燈下的交通流石油開采模型吸煙過程的數(shù)學描述一：人口問題人口問題是當今世界上最令人關注的問題之一。一些發(fā)展中國家的人口出生率過高，越來越嚴重地威脅著人類的正常生活，有些發(fā)達國家的自然增長率趨近于零，甚至變負，造成勞動力短缺，也是不容忽視的問題。對于我國來說，在集中精力搞好經(jīng)濟建設，努力提高生產(chǎn)力的同時，能否有效地控制人口的增長，己成為本世紀初直到本世紀中葉使我國按人均國民經(jīng)濟生產(chǎn)總值達到小康水平，進而躋身中等發(fā)達國家行列的關鍵.人口問題由干我國五六十年代人口政策方面的失誤，不僅造成人口總數(shù)增長過快，而且，年齡結構也不合理，使得對人口增長的嚴格控制會導致人口老年化間題嚴重.因此在首先保證人口有限增長的前提下適當控制人口老化，把年齡結構調整到合適的水平，是一項長期而又艱區(qū)的任務。建立數(shù)學模型對人口發(fā)展過程進行描述、分析和預測，并進而研究控制人口增長和老化的生育策略，已引起有關專家、官員和社會各方面的極大關注和興趣，是數(shù)學在社會發(fā)展中的重要應用領域.人口問題近年來我國一些從事自然科學，主要是控制論研究的專家，從我國人口的現(xiàn)狀出發(fā)，結合當前的人口政策，在人口預測和控制方面做了許多工作。過去人們討論過人口的指數(shù)增長模型和限滯增長模型，這些模型只考慮人口總數(shù)和總的增民率，不涉及年齡結構，因而建立的是常微分方程。人口問題事實上，在人口預測中人口按年齡分布狀況是十分重要的，因為不同年齡人的生育率和死亡率有著很大的差別。兩個國家或地區(qū)目前人口總數(shù)一樣，如果一個國家或地區(qū)年青人的比例高于另一國家或地區(qū)，那么二者人口的發(fā)狀況將大不一樣.我們可以討論的模型要考慮人口按年齡的分布，即除了時間變量外，年齡是另占個自變量，并可用偏微分方程描述人口發(fā)展的規(guī)律。二：紅燈下的交通流各種類型的汽車一輛接著一輛沿公路飛駛而過,其情景栽像在揣急的江河中奔騰的水流一樣，在這種情況下人們不去分析每輛汽車的運動規(guī)律，而是把車隊看作連續(xù)的流體，稱為交通流或車流。研究每一時刻通過公路上每一點的交通流的流量、速度和密度等變量間的關系，特別是在出現(xiàn)譬如紅綠燈改變，交通事故等干擾的情況下交通流的變化過程。查找資料可知，過去人們建立交通流的基本方程是偏微分方程，并討論了在紅燈和綠燈相繼出現(xiàn)時交通流的變化過程。三：石油開采模型地下儲油層可以視為石油儲藏在多孔介質之中，當我們打井采油時需要研究石油在多孔介質中的流動情況.為了確定石油的儲量和地下油藏參數(shù)，如多孔介質對石油的滲透率等，我們需要知道地下石油的壓力變化情況，知道了地下石油的壓力變化，可幫助我們決定采油方案。使采油能夠持續(xù)高產(chǎn)，但在采油的過程中，我們不可能測量油藏各點的壓力。因此，需要建立相應的數(shù)學模型，利用數(shù)值模擬技術計算出油藏各處壓力的變化情況。這個建立起來的也是偏微分方程。四：吸煙過程的數(shù)學描述盡管科學家們對于吸煙的危害提出了許多無可辯駁的證據(jù)，不少國家的政府和有關部門也一直致力于減少或禁止吸煙。但是仍有不少人不愿拋棄對香煙的嗜好。香煙制造商既要滿足癮君子的需要，又要順應減少吸煙危害的潮流，還要獲取豐厚的利潤于是普遍地在香煙安裝了過濾嘴，過濾嘴的作用到底有多大，與使用的材料和過濾嘴的長度有什么關系。我們可以從定量的角度回答這些問題，并建立一個描述吸煙過程的數(shù)學模型，分析人體吸的毒物數(shù)量與哪些因素有關，以及它們之間的數(shù)量表達式。這個模型居然也是偏微分方程！

為了引出偏微分方程，讓我們首先復習一下高中導數(shù)的知識。

導數(shù)的定義：設函數(shù)f(x)在點的領近有定義，如果存在極限：

那么我們就說函數(shù)f(x)在點處可導，并且把上述極限值稱為函數(shù)f（x）在點的導數(shù)。記作：導數(shù)的幾何意義：曲線，在點處的切線的斜率等于極限

這就是導數(shù)的幾何意義。導數(shù)與此相應的關于函數(shù)，，在點的導數(shù)，除了采用上面介紹的拉格朗日記號外，還常常采用萊布尼茨記號或者多元函數(shù)的偏導數(shù)設二元函數(shù)在點領近有定義，如果存在極限，

那么我們就說函數(shù)，在點關于變量x可導，稱為函數(shù)多元函數(shù)的偏導數(shù)在點關于變量x可導，稱為函數(shù)在點對x的偏導數(shù)，并且把上述極值記為多元函數(shù)的偏導數(shù)也就是說讓

固定于，然后求一元函數(shù)在點的導數(shù)，就得到在點對x的偏導數(shù)，

同理，讓固定于，然后求一元函數(shù)在點的導數(shù)，就得到函數(shù)在點對的偏導數(shù)，記為：二階導數(shù)的定義

設函數(shù)在開區(qū)間的每一點可導，則以下對應關系定義了一個函數(shù)：

這函數(shù)稱為是函數(shù)的導函數(shù)，記為

對于導函數(shù)

，我們又可以討論它的可導性和導數(shù)。導函數(shù)

在點的導數(shù)，稱為是函數(shù)在點的二階導數(shù)，記為：，，二階偏導數(shù)的定義考察二元函數(shù)，這里的偏導數(shù)

和仍是的函數(shù)，我們又可以討論以下函數(shù)是否可以求偏導數(shù)的問題二階偏導數(shù)的定義如果函數(shù)和分別對變元和可求偏導數(shù)，那么我們就把這樣的偏導數(shù)稱為函數(shù)的二階偏導數(shù)，他們共有以下幾種偏導數(shù)：

二階偏導數(shù)的定義偏微分方程描述

所導出的所有方程都包含未知函數(shù)

和它的關于自變量的偏導數(shù)，所以是偏微分方程。

其中所含有的未知函數(shù)最高階導數(shù)稱為這個偏微分方程的階，例如波動方程就是一個二階偏微分方程。如果方程對未知函數(shù)及其各階導數(shù)總體來說是線性的，則稱這個方程是線性方程。

偏微分方程描述進一步，如果方程對未知函數(shù)的所有最高階導數(shù)總體來說是線性的，則稱他是擬線性方程，例如，方程是一階擬線性方程。偏微分方程描述如果非線性方程對未知函數(shù)的最高階導數(shù)不是線性的，則稱他為完全非線性方程。例如：方程是一階完全非線性方程。偏微分方程分類二階線性偏微分方程還有更系統(tǒng)的分法一：橢圓型偏微分方程

二：拋物型偏微分方程三：雙曲型偏微分方程現(xiàn)代控制理論的產(chǎn)生與發(fā)展同學們，我們都知道，控制理論作為一門科學技術，已經(jīng)廣泛的適用于我們的現(xiàn)實生活當中?？刂评碚摰漠a(chǎn)生和發(fā)展要分為以下幾個階段

第一階段：經(jīng)典控制理論階段經(jīng)典控制理論既古典控制理論，也稱為自動控制理論，他的發(fā)展經(jīng)歷以下幾個過程：

第一：萌芽階段如果要追溯到自動控制技術的發(fā)展歷史，早在二千年前就有了自動控制的萌芽萌芽階段第一：兩千年前我國發(fā)明的指南車就是一種開環(huán)自動調節(jié)系統(tǒng)萌芽階段第二公元1086年-1089年我國發(fā)明的水運儀象臺就是一種閉環(huán)自動調節(jié)系統(tǒng)。第二：起步階段

隨著科學技術與工業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展，到十八世紀自動控制技術逐漸應用到現(xiàn)代工業(yè)中，其中最卓越的代表是瓦特發(fā)明的蒸汽機離心調速器，加快了第一次工業(yè)革命的步伐。詹姆斯·瓦特詹姆斯·瓦特（JamesWatt，1736年1月19日—1819年8月25日）是英國著名的發(fā)明家，是第一次工業(yè)革命時的重要人物。1776年制造出第一臺有實用價值的蒸汽機。以后又經(jīng)過一系列重大改進，使之成為“萬能的原動機”，在工業(yè)上得到廣泛應用。他開辟了人類利用能源新時代，使人類進入“蒸汽時代”。后人為了紀念這位偉大的發(fā)明家，把功率的單位定為“瓦特”（簡稱“瓦”，符號W）。詹姆斯·瓦特性格

瓦特心思細膩，做事動作遲緩并且非常容易焦慮。他常常會灰心喪氣。他會將工作放到一邊，感覺好像要徹底放棄了，但他的想象力豐富，總是能想到新的改進方法，以至于很多時候都來不及一一完成。瓦特的動手能力很強，并可以完成系統(tǒng)的科學的測定，以量化自己的革新效果，幫助自己的理解。人物軼事如同其它著名的科學家發(fā)明家一樣，關于瓦特也有一些有趣的故事，雖然多為夸張杜撰但也家喻戶曉，值得一記。最著名的是《瓦特與茶壺的故事》，據(jù)說瓦特小時候有一次看到火爐上燒的水開了，蒸汽把水壺蓋頂開，瓦特把壺蓋放回去但很快又被頂開了。瓦特就這樣不斷地把壺蓋放來放去想找出為什么，后來瓦特意識到是蒸汽的力量，由此引發(fā)了他對蒸汽的興趣并導致了蒸汽機的發(fā)明第三：發(fā)展階段1：1868年，詹姆斯?克拉克?麥克斯韋（JamesClerkMaxwell）解決了蒸汽機調速系統(tǒng)中出現(xiàn)的劇烈震蕩的不穩(wěn)定問題，提出了簡單的穩(wěn)定性代數(shù)判據(jù)。發(fā)展階段2：1895年勞斯（Routh）與赫爾維斯（Hurwitz）把麥克斯韋的思想擴展到高階微分方程描述更為復雜的系統(tǒng)中，各自提出了兩個著名的穩(wěn)定性判據(jù)，分別是勞斯判據(jù)和赫爾維斯判據(jù)，基本上解決了二十世紀初期控制工程的需要。發(fā)展階段3：由于第二次世界大戰(zhàn)的需要控制系統(tǒng)具有準確跟蹤與補償能力，1932年奈奎斯特（H.Nyquist）提出了頻域內(nèi)研究系統(tǒng)的頻率響應法，為具有高質量的動態(tài)品質和靜態(tài)，準確度的軍用控制系統(tǒng)提供了所需的分析工具。發(fā)展階段

1948年，伊萬斯提出了復數(shù)域內(nèi)研究系統(tǒng)的根軌跡法，建立在奈奎斯特的頻率響應法和伊萬斯的根軌跡法基礎上的理論，稱為經(jīng)典（古典）控制理論。四：標志性階段

諾伯特·維納（NorbertWiener）（1894年11月26日—1964年3月18日），美國應用

數(shù)學家，控制論的創(chuàng)始人，在電子工程方

面貢獻良多。他是隨機過程和噪聲過程的

先驅，又提出了“控制論”的一詞。并與1948年出版了《控制論——關于在動物和

機器中控制與通訊的科學》書中論述了

控制理論的一般方法，推廣了反饋的概念，

為控制理論這門科學奠定了基礎。諾伯特·維納（NorbertWiener）20世紀著名數(shù)學家諾伯特維納，從小就智力超常，三歲時就能讀寫，十四歲時就大學畢業(yè)了。幾年后，他又通過了博士論文答辯，成為美國哈佛大學的科學博士。在博士學位的授予儀式上，執(zhí)行主席看到一臉稚氣的維納，頗為驚訝，于是就當面詢問他的年齡。維納不愧為數(shù)學神童，他的回答十分巧妙：“我今年歲數(shù)的立方是個四位數(shù)，歲數(shù)的四次方是個六位數(shù)，這兩個數(shù)，剛好把十個數(shù)字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。這意味著全體數(shù)字都向我俯首稱臣，預祝我將來在數(shù)學領域里一定能干出一番驚天動地的大事業(yè)?！本S納此言一出，四座皆驚，大家都被他的這道妙題深深地吸引住了。整個會場上的人，都在議論他的年齡問題。維納到底幾歲？其實這個問題不難解答，但是需要一點數(shù)字“靈感”。不難發(fā)現(xiàn)，21的立方是四位數(shù)，而22的立方已經(jīng)是五位數(shù)了，所以維納的年齡最多是21歲；同樣道理，18的四次方是六位數(shù)，而17的四次方則是五位數(shù)了，所以維納的年齡至少是18歲。這樣，維納的年齡只可能是18、19、20、21這四個數(shù)中的一個。剩下的工作就是“一一篩選”了。20的立方是8000，有3個重復數(shù)字0，不合題意。同理，19的四次方等于130321，21的四次方等于194481，都不合題意。最后只剩下一個18，是不是正確答案呢？驗算一下，18的立方等于5832，四次方等于104976，恰好“不重不漏”地用完了十個阿拉伯數(shù)字，多么完美的組合！這個年僅18歲的少年博士，后來果然成就了一番大事業(yè)：他成為信息論的前驅和控制論的奠基人。標志性階段二：錢學森我國著名科學家錢學森將控制理論應用于工程實踐，并與1954年出版了《工程控制論》一書。個人簡介：錢學森（1911.12.11－2009.10.31），漢族，吳越王錢镠（Liu）（五代十國時期吳越國創(chuàng)建者）第33世孫，生于上海，祖籍浙江省杭州市臨安。世界著名科學家，空氣動力學家，中國載人航天奠基人，中國科學院及中國工程院院士，中國兩彈一星功勛獎章獲得者，被譽為“中國航天之父”“中國導彈之父”“中國自動化控制之父”和“火箭之王”，由于錢學森回國效力，中國導彈、原子彈的發(fā)射向前推進了至少20年。1934年，畢業(yè)于國立交通大學機械與動力工程學院，曾任美國麻省理工學院和加州理工學院教授。1955年，在毛澤東主席和周恩來總理的爭取下回到中國。1959年加入中國共產(chǎn)黨，先后擔任了中國科學技術大學近代力學系主任，中國科學院力學研究所所長、第七機械工業(yè)部副部長、國防科工委副主任、中國科技協(xié)會名譽主席、中國人民政治協(xié)商會議第六、七、八屆全國委員會副主席、中國科學院數(shù)理化學部委員、中國宇航學會名譽理事長、中國人民解放軍總裝備部科技委高級顧問等重要職務；他還兼任中國自動化學會第一、二屆理事長。1995年，經(jīng)中宣部批準及錢學森本人同意，母校西安交通大學將圖書館命名為錢學森圖書館，時任中共中央總書記、國家主席、中央軍委主席江澤民同志親筆題寫了館名。2009年10月31日北京時間上午8時6分，錢學森在北京逝世，享年98歲。[1]

為了進一步弘揚錢學森同志愛國，創(chuàng)新、奉獻的業(yè)績與精神，經(jīng)中央研究，決定在上海交通大學徐匯校區(qū)建設錢學森圖書館。2011年12月8日，紀念錢學森誕辰100周年座談會在人民大會堂舉行錢學森人物經(jīng)歷出國之前：錢學森于1911年出生于上海，祖籍浙江省杭州市臨安市。1923年9月，進入北京師范大學附屬中學學習。1929年考入鐵道部交通大學上海學校機械工程學院鐵道工程系，1934年畢業(yè)于國立交通大學（現(xiàn)上海交通大學和西安交通大學），6月考取清華大學第七屆庚款（庚款留學生”簡單的理解就是美國人用中國的“庚子賠款”以各種方式退還給中國的其中一種方式。）留美學生。錢學森人物經(jīng)歷赴美留學1935年9月進入美國麻省理工學院航空系學習，1936年9月獲麻省理工學院航空工程碩士學位，后轉入加州理工學院航空系學習，成為世界著名的大科學家馮·卡門（TheodorevonKármán）的學生，并很快成為馮·卡門最重視的學生。[5]

他先后獲航空工程碩士學位和航空、數(shù)學博士學位。1938年7月至1955年8月，錢學森在美國從事空氣動力學、固體力學和火箭、導彈等領域研究，并與導師共同完成高速空氣動力學問題研究課題和建立“卡門-錢學森”公式，在二十八歲時就成為世界知名的空氣動力學家。[4]

1939年，獲美國加州理工學院航空、數(shù)學博士學位。1943年，任加州理工學院助理教授。1945年，任加州理工學院副教授。1947年，任麻省理工學院教授。1947年，在上海與蔣英結婚。1949年，任加州理工學院噴氣推進中心主任、教授。1953年，錢學森正式提出物理力學概念，主張從物質的微觀規(guī)律確定其宏觀力學特性，開拓了高溫高壓的新領域。1954年，《工程控制論》英文版出版，該書俄文版、德文版、中文版分別于1956年、1957年、1958年出版。1958年任中國科學技術大學近代力學系主任.錢學森人物經(jīng)歷遭到拘留1949年中年時期的錢學森當中華人民共和國宣告誕生的消息傳到美國后，錢學森和夫人蔣英便商量著早日趕回祖國，為自己的國家效力。此時的美國，以麥卡錫為首對共產(chǎn)黨人實行全面追查，并在全美國掀起了一股驅使雇員效忠美國政府的狂熱。錢學森因被懷疑為共產(chǎn)黨人和拒絕揭發(fā)朋友，被美國軍事部門突然吊銷了參加機密研究的證書。錢學森非常氣憤，以此作為要求回國的理由。[7]

1950年，錢學森上港口準備回國時，被美國官員攔住，并將其關進監(jiān)獄，而當時美國海軍次長丹尼·金布爾（DanA.Kimball）聲稱：錢學森無論走到哪里，都抵得上5個師的兵力。[7]

從此，錢學森在受到了美國政府迫害，同時也失去了寶貴的自由，他一個月內(nèi)瘦了三十斤左右。移民局抄了他的家，在特米那島上將他拘留14天，直到收到加州理工學院送去的1.5萬美金巨額保釋金后才釋放了他。后來，海關又沒收了他的行李，包括800公斤書籍和筆記本。美國檢察官再次審查了他的所有材料后，才證明了他是無辜的錢學森人物經(jīng)歷艱難歸國錢學森在美國受迫害的消息很快傳到中國，中國科技界的朋友通過各種途徑聲援錢學森。黨中央對錢學森在美國的處境極為關心，中國政府公開發(fā)表聲明，譴責美國政府在違背本人意愿的情況下監(jiān)禁了錢學森。[7]

1954年，一個偶然的機會，他在報紙上看到陳叔通站在天安門城樓上，身份是全國人大常委會副委員長，他決定給這位父親的好朋友寫信求救。正當周恩來總理為此非常著急的時候，時任全國人大常委會副委員長的陳叔通收到了一封從大洋彼岸輾轉寄來的信。他拆開一看，署名“錢學森”，原來是請求祖國政府幫助他回國。[7]

1954年4月，美英中蘇法五國在日內(nèi)瓦召開討論和解決朝鮮問題和恢復印度支那和平問題的國際會議。出席會議的中國代表團團長周恩來聯(lián)想到中國有一批留學生和科學家被扣留在美國，于是就指示說，美國人既然請英國外交官與我們疏通關系，我們就應該抓住這個機會，開辟新的接觸渠道錢學森人物經(jīng)歷中國代表團秘書長王炳南1954年6月5日開始與美國代表、副國務卿約翰遜就兩國僑民問題進行初步商談。美方向中方提交了一份美國在華僑民和被中國拘禁的一些美國軍事人員名單，要求中國給他們以回國的機會。為了表示中國的誠意，周恩來指示王炳南在1954年6月15日舉行的中美第三次會談中，大度地作出讓步，同時也要求美國停止扣留錢學森等中國留美人員。[10]

然而，中方的正當要求被美方無理拒絕。1954年7月21日，日內(nèi)瓦會議閉幕。為不使溝通渠道中斷，周恩來指示王炳南與美方商定自1954年7月22日起，在日內(nèi)瓦進行領事級會談。為了進一步表示中國對中美會談的誠意，中國釋放了4個扣押的美國飛行員。[11]

中國作出的讓步，最終是為了爭取錢學森等留美科學家盡快回國，可是在這個關鍵問題上，美國代表約翰遜還是以中國拿不出錢學森要回國的真實理由，一點不松口。1955年，經(jīng)過周恩來總理在與美國外交談判上的不斷努力——甚至包括了不惜釋放11名在朝鮮戰(zhàn)爭中俘獲的美軍飛行員作為交換，1955年8月4日，錢學森收到了美國移民局允許他回國的通知。1955年9月17日，錢學森回國愿望終于得以實現(xiàn)了，這一天錢學森攜帶妻子蔣英和一雙幼小的兒女，登上了“克利夫蘭總統(tǒng)號”輪船，踏上返回祖國的旅途。1955年10月1日清晨，錢學森一家終于回到了自己魂牽夢繞的祖國，回到自己的故鄉(xiāng)錢學森人物經(jīng)歷兩彈一星1956年初，錢學森向中共中央、國務院提出《建立我國國防航空工業(yè)的意見書》。同時，錢學森組建中國第一個火箭、導彈研究所——國防部第五研究院并擔任首任院長。他主持完成了“噴氣和火箭技術的建立”規(guī)劃，參與了近程導彈、中近程導彈和中國第一顆人造地球衛(wèi)星的研制，直接領導了用中近程導彈運載原子彈“兩彈結合”試驗，參與制定了中國近程導彈運載原子彈“兩彈結合”試驗，參與制定了中國第一個星際航空的發(fā)展規(guī)劃，發(fā)展建立了工程控制論和系統(tǒng)學等。在錢學森的努力帶領下，1964年10月16日中國第一顆原子彈爆炸成功，1967年6月17日中國第一顆氫彈空爆試驗成功，1970年4月24日中國第一顆人造衛(wèi)星發(fā)射成功電影第二階段現(xiàn)代控制理論科學技術的發(fā)展不僅需要迅速的發(fā)展控制理論，而且也給現(xiàn)代控制理論的發(fā)展準備了兩個重要的條件——現(xiàn)代數(shù)學和數(shù)字計算機。

現(xiàn)代數(shù)學：泛函分析，現(xiàn)代代數(shù)等為現(xiàn)代控制理論提供了多種多樣的分析工具，而數(shù)字計算機為現(xiàn)代控制理論發(fā)展提供了應用的平臺。

在二十世紀五十年代，隨著計算機的飛速發(fā)展，從而對出現(xiàn)多輸入多輸出系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)，時滯系統(tǒng)?，F(xiàn)代控制理論1：五十年代后期，貝爾曼等人提出了狀態(tài)分析法，在1957年提出了動態(tài)規(guī)劃。2:1959年卡爾曼（Kalman）和布西創(chuàng)建了卡爾曼濾波理論，1960年在控制系統(tǒng)中成功的應用了狀態(tài)空間法，并提出了可控性和可觀性的概念?？柭?shù)婪颉た柭≧udolfEmilKalman），匈牙利裔美國數(shù)學家，1930年出生于匈牙利首都布達佩斯。1953年于麻省理工學院獲得電機工程學士，翌年碩士學位。1957年于哥倫比亞大學獲得博士學位。1964年至1971年任職斯坦福大學。1971年至1992年任佛羅里達大學數(shù)學系統(tǒng)理論中心（CenterforMathematicalSystemTheory）主任。1972起任瑞士蘇黎世聯(lián)邦理工學院數(shù)學系統(tǒng)理論中心主任直至退休。先后居住于蘇黎世和佛羅里達。2009年獲美國國家科學獎章。龐特里亞金俄羅斯數(shù)學家。1908年9月3日生于莫斯科。13歲時因爆炸事故雙目失明，母親幫助他自學數(shù)學。1925年進入莫斯科大學數(shù)學力學系。1929年畢業(yè)后成為拓撲學家P.S.亞歷山德羅夫的研究生。兩年后在該校任教。他的研究領域涉及拓撲學、代數(shù)、控制論等。50年代開始研究振動理論和最優(yōu)控制理論，以龐特里亞金的極值原理著稱于世。進一步的發(fā)展

羅森布洛克（H.H.Rosenbrock）,歐文斯（D.H.Ovens）和麥克法輪（GJ.MacFarlane）研究了使用計算機輔助控制系統(tǒng)設計的現(xiàn)代頻域法理論，講經(jīng)典的控制理論傳遞函數(shù)的概念推廣到多變量系統(tǒng)，并探討了傳遞函數(shù)矩陣與狀態(tài)方程之間的等價轉化關系，為進一步建立統(tǒng)一的線性系統(tǒng)理論奠定了基礎。進一步的發(fā)展20世紀70年代，奧斯特隆姆（瑞典）和朗道（法國）在自適應控制理論和應用方面做出了貢獻。

與此同時，關于系統(tǒng)辨識，最優(yōu)控制，離散時間系統(tǒng)，和自適應控制的發(fā)展大大豐富了現(xiàn)代控制理論的內(nèi)容。第三階段：魯棒控制理論階段一：由于現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展，結