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揚(yáng)帆遠(yuǎn)航《數(shù)學(xué)模型》（第三版）P44《數(shù)學(xué)模型》（第四版）P47揚(yáng)帆遠(yuǎn)航海面上東風(fēng)勁吹，帆船要從A點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)。稍有常識(shí)的人都知道，為了借助風(fēng)力，船應(yīng)該先朝東北方向前進(jìn)，然后再轉(zhuǎn)向東南方，才能到達(dá)B點(diǎn)。這里要解決的問題是，確定起航時(shí)的航向θ（與正東方向的夾角）及帆的朝向α（帆面與航向的夾角）。AB

風(fēng)向北航向帆船α帆AB

北α

模型分析：帆船在航行過程中既受到風(fēng)通過帆船對(duì)船的推力，又受到風(fēng)對(duì)船體的阻力，需要對(duì)這兩種力作合理、簡(jiǎn)化分析，找出它們?cè)诤较虻姆至?。AB

α

風(fēng)的推力分解為，其中垂直于帆，平行于帆。又分解為，即為風(fēng)在航向的推力。風(fēng)的阻力分解為，其中為風(fēng)在航向的阻力。

因?yàn)楹偷姆较蚍?，所以船受到的凈推力?/p>

模型假設(shè)：記帆的迎風(fēng)面積為，船的迎風(fēng)面積為。1、風(fēng)通過帆對(duì)船的推力與成正比，風(fēng)對(duì)船體的阻力

與成正比，比例系數(shù)相同（記作），且遠(yuǎn)大于。2、的分力與帆面平行，可以忽略。3、分力與垂直于船身，可以被船舵抵消，不予考慮。4、航速與凈推力成正比，比例系數(shù)記作。模型建立：根據(jù)模型假設(shè)和力的分解圖，容易得到以下關(guān)系記船在正東方向的速度分量為，則AB

α按照流體力學(xué)的知識(shí)，在航行速度不大的情況下，航速與凈推力成正比。于是航向θ和帆的朝向α的確定，應(yīng)該使船在正東方向的速度，即凈推力在正東方向的分力達(dá)到最大。本題就是要確定θ和α，使船在正東方向的速度達(dá)到最大。模型求解：這本來是一個(gè)二元函數(shù)的極值問題，但是由、知，與無關(guān)，首先只需在固定時(shí)使最大，解出，然后再求，使最大。用初等數(shù)學(xué)的辦法即可求解。固定時(shí)：積化和差公式所以當(dāng)時(shí)，最大將、代入得由、記、則顯然，時(shí)最大。由且遠(yuǎn)大于可知結(jié)果分析：航向角應(yīng)該在和之間（具體數(shù)值取決于和的比值），帆的朝向角為的一半，這是從A點(diǎn)出發(fā)時(shí)的航向及帆的

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