第三章微分方程建模（Ⅱ）

§3.4戰(zhàn)爭模型

§3.5餓狼追兔問題

§3.6放射性廢物的處理問題

戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例§3.4戰(zhàn)爭模型第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱3.4.1一般戰(zhàn)爭模型1）每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力，f(x,y)~甲方戰(zhàn)斗減員率，g(x,y)~乙方戰(zhàn)斗減員率2）每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比，比例系數(shù)分別為3）甲乙雙方的增援率分別為u(t),v(t)f,g

取決于戰(zhàn)爭類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設(shè)模型建立（1）3.4.2正規(guī)戰(zhàn)爭模型甲(乙)方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙(甲)方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒有增援f(x,y)=ay,a~乙方每個(gè)士兵的殺傷率a=ry

py,ry

~射擊率，

py

~命中率0正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關(guān)系平方律模型乙方勝上式說明雙方初始兵力之比y0/x0以平方關(guān)系影響著戰(zhàn)爭的結(jié)局，如乙方兵力增加到原來的2倍（甲方不變），則影響戰(zhàn)爭結(jié)局的能力增加到4倍，或者若甲方的戰(zhàn)斗力如射擊率ry增加到原來的4倍（px,rx,py不變），乙方只要將初始兵力y0增加到原來的2倍就可抗衡．平方律模型結(jié)果分析乙方勝3.4.3游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn)甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加忽略非戰(zhàn)斗減員假設(shè)沒有增援f(x,y)=cxy,c~乙方每個(gè)士兵的殺傷率c=ry

pyry~射擊率py

~命中率py=sry

/sxsx

~甲方活動(dòng)面積sry

~乙方射擊有效面積0游擊戰(zhàn)爭模型線性律模型線性律模型結(jié)果分析乙方勝即初始兵力之比y0/x0以線性關(guān)系影響戰(zhàn)爭結(jié)局，并且當(dāng)射擊率和射擊有效面積一定時(shí)，增加活動(dòng)面積Sx與增加初始兵力y0起著同樣的作用．03.4.4混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì)乙方必須10倍于甲方的兵力方可取勝.設(shè)x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)正規(guī)戰(zhàn)模型檢驗(yàn)

EngelJ.H.利用二次大戰(zhàn)末期美日硫黃島戰(zhàn)役時(shí)美軍的戰(zhàn)地記錄驗(yàn)證了正規(guī)戰(zhàn)爭模型．美軍1945年2月19日開始進(jìn)攻硫黃島，戰(zhàn)斗36天，日軍21500人全部陣亡或被俘，戰(zhàn)地記錄全部遺失，美軍投入兵力73000人，傷亡20265人．美國曾用這個(gè)模型分析越南戰(zhàn)爭．美國正規(guī)部隊(duì)（乙方）要取勝越南游擊部隊(duì)（甲方），至少要投入8倍于游擊部隊(duì)一方的兵力，而美國最多只能派出6倍于越南的兵力，美國得出不可取勝的結(jié)論，最終撤出了越南．

美軍有增援，日軍沒有增援.用A(t)和J(t)表示美軍和日軍第t天的人數(shù)，在模型（1）中取且（1）由u(t)及每天的傷亡人數(shù)可算出A(t)，t=1,2,…,36（見圖3.4.4中虛線）于是有圖3.4.4由A(t)的實(shí)際數(shù)據(jù)可得對(duì)式（13）用求和代替積分得因J(36)=0,J(0)=21500,式（15）中令t=36求得再將b=0.0106代入(15)式，又可算出J(t),t=1,2,…,36在式（14）中令t=36，得（16）代入式（14）得其中分子是美軍的總傷亡數(shù)，為20265人，分母可由已算出的J(t)得到，為372500人，于是從（16）式有圖3.4.4由式（17）就可算出A(t)的理論值，圖3.5.4中用實(shí)線畫出，與實(shí)際值（虛線）相比，可以看出吻合的情況．§3.5餓狼追兔問題現(xiàn)有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正西100米處．假設(shè)兔子與狼同時(shí)發(fā)現(xiàn)對(duì)方并一起起跑，兔子往正北60米處的巢穴跑，而狼在追兔子．已知兔子、狼是勻速跑而且狼的速度是兔子的兩倍，問題是兔子能否安全回到巢穴．問題兔子在O處，狼在A處．由于狼要盯著兔子追，所以狼行走的是一條曲線，且在同一時(shí)刻，曲線上狼的位置與兔子的位置的連線為曲線上該點(diǎn)處的切線．設(shè)狼的行走軌跡為y=f(x)，

首先建立坐標(biāo)系如圖3.5.1．圖3.5.1則有又因狼的速度是兔子的兩倍，所以在相同時(shí)間內(nèi)，狼走的距離為兔子走的距離的兩倍．假設(shè)在某時(shí)刻，兔子跑到(0,h)處,而狼在C(x,y)處，則有兩邊求導(dǎo)并整理解方程可得狼的行走軌跡為因所以狼追不上兔子．若狼和兔子的行走路線不在坐標(biāo)軸上，如何考慮？

某些類型的導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)追擊的數(shù)學(xué)模型與此數(shù)學(xué)模型相似．環(huán)境污染是人類面臨的一大公害，放射性污染對(duì)人類生命安全和地球上的生物存在嚴(yán)重的威脅，所以特別為人們所關(guān)注．和平利用原子能可為人類造福，但是核廢物處置不好，將對(duì)人類是一大危害．核廢料如何處置為好，必須進(jìn)行科學(xué)論證．過去一段時(shí)間，美國原子能委員會(huì)為了處理濃縮的放射性廢物，他們把廢物裝入密封的圓桶，然后扔到水深為300英尺的海里．一些生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家為此表示擔(dān)心，圓桶是否會(huì)在運(yùn)輸過程中破裂而造成放射性污染？經(jīng)過實(shí)驗(yàn)證明不會(huì)破裂.圓桶扔到海洋中時(shí)是否因與海底碰撞而發(fā)生破裂？§3.6放射性廢物的處理問題問題幾位工程師進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)以后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓桶的速度超過40英尺/秒時(shí)，就會(huì)因?yàn)榕鲎捕屏眩鐖D3.6.1選取坐標(biāo)系，ω~圓桶重量，使圓桶向下，m~圓桶質(zhì)量，g~重力加速度，建模與求解B~水作用在圓桶上浮力，B=470.327磅

D

~水作用在圓桶上的阻力.圖3.6.1為此我們需計(jì)算圓桶同海底碰撞時(shí)的速度，是否會(huì)超過40英尺/秒？D=0.08v磅秒/英尺（通過大量實(shí)驗(yàn)得出如下結(jié)論：圓桶方位對(duì)于阻力影響甚小，可以忽略不計(jì)）．則作用在圓桶上的力為由牛頓第二定律：而所以（1）是一個(gè)二階常微分方程．將其解為代入（1）得由(2)式可知，圓桶的速度為時(shí)間t的函數(shù)，要確定圓桶同海底的碰撞速度，就必須算出桶碰到海底所需的時(shí)間t．但作為y的顯函數(shù)求出t是困難的，所以不能用(2)來求圓桶同海底的碰撞速度．但由（2）我們可以得到圓桶的極限速度vT顯然有如果極限速度小于40英尺/秒，那么圓桶就不可能因同海底碰撞而破裂．然而這個(gè)數(shù)值太大了，還不能斷定v(t)究竟是否能超過40英尺/秒.下面將速度v作為位置y的函數(shù)v(y)

來考慮.由v(t)=v[y(t)],利用復(fù)合函數(shù)微分法代入（1）中，得對(duì)于（3），利用微分方程數(shù)值解法，借助于計(jì)算機(jī)很容易求出v(300).下面用一個(gè)簡便的方法得到v(300)的一個(gè)很好的近似值.在(3)中令c=0（即不考慮水的阻力），用u代替v得積分，得由此，得1.無阻力時(shí)，圓桶的速度總會(huì)大一些，因此2.當(dāng)y增加時(shí)，速度v增加，所以對(duì)于有由此可以得出水作用在桶上的阻力D總是小于然而使圓桶向下的合力ω-B≈57.1磅.比D大得多，因而可忽略D

．所以可以認(rèn)為u(y)是的一個(gè)很好的近似值．實(shí)際上，用數(shù)值解法可算出v(300)=45.1英尺/秒，與u(300)=45.7英尺/秒是比較接近的．其理由是：u(300)就是v(300)的一個(gè)很好的近似值,

綜上得出結(jié)論，圓桶能夠因與海底碰撞而破裂．工程師們的說法是正確的．這一模型科學(xué)地論證了美國原子能委員會(huì)過去處理核廢料的方法是錯(cuò)誤的，從而改變了美國政府過去的錯(cuò)誤做法．現(xiàn)在美國原子能委員會(huì)條例明確禁止把低濃度的放射性廢物