習(xí)題課一、主要內(nèi)容二、典型例題

第八章重積分的計(jì)算及應(yīng)用良鄉(xiāng)1-101工科數(shù)學(xué)分析Ⅱ07011401、07011402、07011406良鄉(xiāng)1-106工科數(shù)學(xué)分析Ⅱ05941402考試時(shí)間：2015年5月9日（第9周周6）上午9:50-11:50良鄉(xiāng)1-102工科數(shù)學(xué)分析Ⅱ07011407、08111401、08111402良鄉(xiāng)1-105工科數(shù)學(xué)分析Ⅱ08111403、08111404定義幾何意義性質(zhì)計(jì)算法應(yīng)用二重積分定義物理意義性質(zhì)計(jì)算法應(yīng)用三重積分一、主要內(nèi)容1、二重積分的定義２、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是曲頂柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是曲頂柱體的體積的負(fù)值．性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)２３、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)３對(duì)區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積性質(zhì)５若在D上，特殊地性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）性質(zhì)8設(shè)函數(shù)D位于

x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于

y軸對(duì)稱,函數(shù)關(guān)于變量

x有奇偶性時(shí),在

D上在閉區(qū)域上可積,域D關(guān)于x軸,則則仍有類似結(jié)果.對(duì)稱，若４、二重積分的計(jì)算［X－型］

X-型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).（１）直角坐標(biāo)系下

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).［Y－型］（２）極坐標(biāo)系下5、二重積分的應(yīng)用(1)體積設(shè)S曲面的方程為：曲面S的面積為(2)曲面積當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.(3)重心薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄片對(duì)于y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(4)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄片對(duì)

軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力為引力常數(shù)(5)引力6、三重積分的定義7、三重積分的幾何意義8、三重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)．對(duì)稱性9、三重積分的計(jì)算(１)直角坐標(biāo)(２)柱面坐標(biāo)(３)球面坐標(biāo)10、三重積分的應(yīng)用(１)質(zhì)心(２)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在閉區(qū)域D上可積,若域D關(guān)于線關(guān)于輪換對(duì)稱性在重積分計(jì)算中的應(yīng)用y=x對(duì)稱,則有(2)設(shè)函數(shù)在空間有界閉區(qū)域則有上可積,(1)設(shè)函數(shù)域若將的形狀不變，例1

計(jì)算二重積分在第一象限部分.其中D

為圓域解

兩部分作輔助線將D分成二、典型例題例2計(jì)算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對(duì)稱性.圍成.(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對(duì)稱性,得例3計(jì)算二重積分其中:D:例4計(jì)算三重積分其中:例5求例6

證例7

證從改變積分次序入手．例8解:

在球坐標(biāo)系下利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義,得其中例9證明證:左端=右端例10設(shè)函數(shù)f(x)

連續(xù)且恒大于零,其中(1)討論F(t)

在區(qū)間(0,+∞)

內(nèi)的單調(diào)性;(2)證明t>0

時(shí),解:

(1)

因?yàn)閮蛇厡?duì)

t

求導(dǎo),得(2)

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證即證故有因此t>0

時(shí),因例11如圖所示交換下列二次積分的順序:解:例12計(jì)算其中: