2022-2023學年四川省敘永第一中學校高二上學期第四學月教學質量檢測數學（理）試題一、單選題1．下列推斷正確的是（

）A．若，則 B．若，，則 C．若，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據特殊值判斷ABD，結合的單調性判斷C.【詳解】對于A，當，，滿足，但不滿足，故錯誤；；對于B，當，時，滿足，，不滿足，故錯誤；對于C，由在上單調遞增可知C正確；對于D，當，，時，滿足，，但不滿足.故選：C.2．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，可求出雙曲線的漸近線方程【詳解】令，解得：.故選：A.【點睛】此題考查由雙曲線方程求其漸近線方程，屬于基礎題3．某學校為了解1000名新生的身體素質，將這些學生編號為1，2，…，1000，從這些新生中用系統抽樣方法等距抽取100名學生進行體質測驗．若53號學生被抽到，則下面4名學生中被抽到的是（

）A．7號學生 B．202號學生C．515號學生 D．813號學生【答案】D【分析】由等距抽樣的性質可得被抽到的學生編號為且，結合各選項的學生編號即可確定能被抽取到的學生.【詳解】由題設，每隔10人抽取一個學生，所以被抽到的學生編號為且，所以，只有D選項中813號學生可被抽到，此時，即.故選：D4．若方程表示圓，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結合求得的取值范圍.【詳解】依題意，即，解得或，所以的取值范圍是.故選：C5．已知拋物線的焦點為，若拋物線上一點到軸的距離為2，則的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】求得點的坐標，由此求得.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，拋物線上一點到軸的距離為2，不妨設，則，所以.同理可得時，.故選：B6．如圖矩形由六個相同的小正方形組合而成，其中陰影部分形如一個逗號．若在該矩形中任取一點，則該點落在陰影部分的概率為（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】由幾何概型公式可知，所求概率為陰影部分面積與矩形面積之比.【詳解】如圖所示，兩個圖形中陰影部分面積相等，設小正方形邊長為1，則陰影部分為半徑為1的半圓加上半徑為2的圓的，再減去一個小正方形，陰影部分面積為，矩形的面積為6，由幾何概型公式可知，若在該矩形中任取一點，則該點落在陰影部分的概率為，故選：C7．焦點為，離心率為的橢圓的標準方程為（

）A． B．．C． D．【答案】B【分析】設橢圓的方程為，解方程求出橢圓的即得解.【詳解】設橢圓的方程為，由題得，所以.所以橢圓的標準方程為.故選：B8．已知實數、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出不等式組所表示的可行域，利用代數式的幾何意義以及數形結合可求得的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：目標函數的幾何意義為可行域內的點與定點連線的斜率，由圖可知，當點在可行域內運動時，直線的傾斜角均為銳角，聯立可得，即點，當點與點重合時，直線的傾斜角最大，此時取最大值，即.故選：C.9．若兩個正實數滿足，且不等式有解，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據基本不等式，結合不等式有解的性質進行求解即可.【詳解】不等式有解，，且，，當且僅當，即時取“="，，故，即，解得或實數的取值范圍是.故選：B.【點睛】關鍵點睛：利用的等式，結合基本不等式是解題的關鍵.10．已知橢圓的半焦距為，原點到經過兩點的直線的距離為．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得經過兩點的直線的方程，再運用點到直線的距離公式整理求得，由橢圓的離心率公式計算可得選項.【詳解】解：因為經過兩點的直線的方程為，又原點到直線的距離為，所以，整理得，所以，所以．又，所以，故選：D.11．已知在三棱錐中，，，，平面，則三棱錐的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理和正弦定理可求得外接圓半徑，由此可得三棱錐的外接球半徑，由球的表面積公式可求得結果.【詳解】在中，由余弦定理得：，，外接圓半徑，又平面，三棱錐的外接球半徑，則三棱錐的外接球的表面積.故選：A.12．如圖，雙曲線是圓的一條直徑，若雙曲線過兩點，且離心率為2，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結合點差法求得直線的方程.【詳解】圓的圓心為，依題意，設，則，兩式相減并化簡得，即，所以直線的方程為.故選：A二、填空題13．已知焦點在軸的雙曲線的漸近線為，半焦距為5，則雙曲線的標準方程為__________．【答案】【分析】根據已知條件求得，由此求得雙曲線的標準方程.【詳解】依題意可知，所以雙曲線的標準方程為.故答案為：14．在如圖所示一組數據的莖葉圖中，有一個數字被污染后模糊不清，但曾計算得該組數據的極差與中位數之和為61，則被污染的數字為__________.【答案】2【分析】根據莖葉圖進行數據分析求出極差，再由極差與中位數之和為61，列方程即可求解.【詳解】根據莖葉圖進行數據分析可得：極差為48-20=28.因為極差與中位數之和為61，所以中位數為33.設被污染的數字為a，則，解得：a=2.故答案為：215．如圖（俯視圖），學校決定投資12000元在風雨操場建一長方體狀體育器材倉庫，利用圍墻靠墻角（直角）而建節(jié)省成本（長方體一條長和一條寬靠墻角而建），由于要求器材倉庫高度恒定，不靠墻的長和寬所在的面的建造材料造價每米100元（不計高度，按長度計算），頂部材料每平方米造價300元.在預算允許的范圍內，倉庫占地面積最大能達到______平方米.【答案】【分析】設倉庫不靠墻的長為x米，寬為y米，且，由題意可列不等式，然后利用基本不等式化簡，即可求解．【詳解】設倉庫不靠墻的長為x米，寬為y米，且，則由題意可得，整理得，∵，故，解得∶，即，當且僅當時等號成立，所以倉庫占地面積最大能達到36平方米，故答案為：36．16．已知過拋物線焦點的直線與拋物線交于點，拋物線的準線與軸交于點于點，則四邊形的面積為______.【答案】【分析】設,則,則可推出再求得梯形的高，利用梯形的面積公式，即可求得四邊形的面積.【詳解】由題意知拋物線，則，過B作于N，過B作于K，設交x軸于H，,設，則，,則，故在中，,由于,，,,∴,,又四邊形為直角梯形，則四邊形的面積為，故答案為：三、解答題17．設函數，（1）解關于的不等式；（2）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；【答案】（1）見解析

（2）【詳解】試題分析：（1）利用分類討論思想分和三種情況，并結合二次函數的圖像進行求解，即可求得時，解集為或，時，解集為時，解集為或；（2）由題意得：恒成立恒成立試題解析：（1）時，不等式的解集為或時，不等式的解集為時，不等式的解集為或（2）由題意得：恒成立，

恒成立.易知

，

的取值范圍為：18．2022年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場預定區(qū)域成功著陸，航天員翟志剛，王亞平，葉光富順利出艙，神舟十三號載人飛行任務圓滿完成.為紀念中國航天事業(yè)成就，發(fā)揚并傳承中國航天精神，某校抽取2000名學生進行了航天知識競賽并紀錄得分（滿分：100分），根據得分將數據分成7組：，繪制出如下的頻率分布直方圖.(1)根據頻率分布直方圖，求競賽學生得分的眾數；(2)先從得分在的學生中利用分層抽樣選出6名學生，再從這6名學生中選出2人參加有關航天知識演講活動，求選出的2人競賽得分都不低于70分的概率.【答案】(1)75(2)【分析】（1）在頻率分布直方圖中，頻率最大的那組數據的中間值為眾數；（2）確定應抽取2人，設為應抽取4人，設為，用列舉法寫出任取2人的基本事件，并得出競賽得分都不低于70分的基本事件，計數后由概率公式計算概率．【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得眾數為：75，（2）因為人數之比為，所以應抽取2人，設為應抽取4人，設為，這6人中再任選2人，共15種不同選法，如下：，其中，選出的2人競賽得分都不低于70分的個數有6種；所以所求事件的概率為.19．近年來，隨著社會對教育的重視，家庭的平均教育支出增長較快，某機構隨機調查了某市2015-2021年的家庭教育支出（單位：萬元），得到如下折線圖.（附：年份代碼1-7分別對應2015-2021年）.經計算得，.(1)用一元線性回歸模型擬合y與t的關系，求出相關系數r（精確到0.01），并說明y與t相關性的強弱；(2)建立y關于t的回歸直線方程；(3)若2023年該市某家庭總支出為10萬元，預測2023年該家庭的教育支出.附：①相關系數；②在回歸直線方程中，.【答案】(1)，相關性很強；(2)；(3)萬元.【分析】（1）由公式計算相關系數并判斷相關性即可；（2）由公式算，再由算即可；（3）2023年對應的年份代碼，代入回歸方程即可得到教育支出占比，即可預測2023年該家庭的教育支出【詳解】（1）由題意得，，則，故，故，∵，∴y與t高度相關，即y與t的相關性很強．（2）根據題意，得，，∴y關于t的回歸直線方程為．（3）2023年對應的年份代碼，當時，，故預測2023年該家庭的教育支出為（萬元）．20．如圖，四面體中，，E為的中點．(1)證明：平面⊥平面；(2)設，，點F在上且，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析.(2).【分析】（1）先證明平面，再根據面面垂直的判定定理即可證明結論；（2）由題意求得相關線段的長，求出根據,即可求得答案.【詳解】（1）因為，,所以，所以，又因為E是中點，所以，又因為，所以，平面,所以平面，又因為平面，所以平面⊥平面.（2）點F在上且,因為，，所以，,而，所以，則,所以，，因為平面，所以,因為，所以,故所以.21．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，當以為始邊，為終邊的角時，.(1)求的方程(2)過點的直線交于兩點，以為直徑的圓平行于軸的直線相切于點，線段交于點，求的面積與的面積的比值【答案】(1)(2)【分析】（1）過點作，垂足為，過點作，垂足為，根據拋物線的定義，得到，求得，即可求得拋物線的方程；（2）設直線的方程為，聯立方程組求得，得到，由拋物線的定義得到，根據，求得，設，得到，進而求得，因為為的中點，求得，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，拋物線，可得其準線方程，如圖所示，過點作，垂足為，過點作，垂足為，因為時，，可得，又由拋物線的定義，可得，解得，所以拋物線的方程為.（2）解：由拋物線，可得，設，因為直線的直線過點，設直線的方程為聯立方程組，整理得，可得，則，因為為的中點，所以，由拋物線的定義得，設圓與直線相切于點，因為交于點，所以且，所以，即，解得，設，則，且，可得，因為，所以點為的中點，所以，又因為為的中點，可得，所以，即的面積與的面積的比值為.22．已知橢圓和雙曲線的焦距相同，且橢圓經過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)如圖1，橢圓的長軸兩個端點為，垂直于軸的直線與橢圓相交于兩點（在的上方），記，求證：為定值，并求的最小值；(3)如圖2，已知過的動直線與