山西省朔州市平朔中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f(x)=2sinωx

(ω>0)在區(qū)間[]上的最小值是-2，則ω的最小值等于（

）A.

B.

C.2

D.3參考答案：B略2.給出下列結(jié)論：①=±2；②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；③冪函數(shù)圖象一定不過第四象限；④函數(shù)f（x）=ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的圖象過定點（﹣1，﹣1）；⑤若lna＜1成立，則a的取值范圍是（﹣∞，e）．其中正確的序號是（）A．①② B．③④ C．①④ D．③④⑤參考答案：B【考點】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】由根式的化簡判斷①，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷②，由冪函數(shù)的性質(zhì)判斷③，由a0=1和指數(shù)函數(shù)的判斷④，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷⑤．【解答】解：：①=|﹣2|=2，①不正確；②y=x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[1，5]，②不正確；③由冪函數(shù)知：冪函數(shù)圖象一定不過第四象限，③正確；④令x+1=0得x=﹣1，且y=﹣1，即f（x）=ax+1﹣2的圖象過定點（﹣1，﹣1），④正確；⑤由lna＜1得0＜a＜e，即a的取值范圍是（0，e），⑤不正確，正確的命題是③④，故選：B．3.若成等比數(shù)列，是的等差中項，是的等差中項，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足，若點O是△ABC外一點，，則四邊形OACB的面積的最大值為（）A. B. C.12 D.參考答案：A【分析】由誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式化簡已知的式子，由內(nèi)角的范圍、商的關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值求出B，結(jié)合條件判斷出△ABC為等邊三角形，設(shè)∠AOB＝θ，求出θ的范圍，利用三角形的面積公式與余弦定理，表示出得SOACB，利用輔助角公式化簡，由θ的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出平面四邊形OACB面積的最大值．【詳解】∵，，∴，化簡得，∵為三角形內(nèi)角，，∴，∴由得，，又∵，∴為等邊三角形；設(shè)，則，∴，∵，∴，∴當(dāng)，即時，取得最大值1，∴平面四邊形面積的最大值為．故選：A．【點睛】本題考查三角函數(shù)中的恒等變換中的公式，余弦定理的應(yīng)用，考查化簡、變形及運算能力，屬于中檔題．5.已知偶函數(shù)的定義域為R，且在上是增函數(shù)，則與的大小關(guān)系是（

）≤

≥

參考答案：B6.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個不同的點M、N滿足條件①M、N都在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②M、N關(guān)于原點對稱．則稱點對[M，N]為函數(shù)y=f（x）的一對“友好點對”（注：點對[M，N]與[N，M]為同一“友好點對”）．已知函數(shù)f（x）=，此函數(shù)的“友好點對”有（）A．0對 B．1對 C．2對 D．3對參考答案：C【考點】進行簡單的合情推理．【專題】新定義．【分析】根據(jù)題意：“友好點對”，可知，欲求f（x）的“友好點對”，只須作出函數(shù)y=﹣x2﹣4x（x≤0）的圖象關(guān)于原點對稱的圖象，看它與函數(shù)f（x）=log3x（x＞0）交點個數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)題意：當(dāng)x＞0時，﹣x＜0，則f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，則函數(shù)y=﹣x2﹣4x（x≤0）的圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是y=x2﹣4x（x≥0）由題意知，作出函數(shù)y=x2﹣4x（x≥0）的圖象及函數(shù)f（x）=log3x（x＞0）的圖象如下圖所示由圖可得兩個函數(shù)圖象共有兩個交點即f（x）的“友好點對”有：2個．故選：C．【點評】本題主要考查了奇偶函數(shù)圖象的對稱性，以及數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵在于對“友好點對”的正確理解，合理地利用圖象法解決．7.已知向量，.若，則x的值為（

）A．－2

B．

C．

D．2參考答案：D向量，，因為，可得，解得，故選D.

8.在△ABC中，是它的三條邊，若，則△ABC是直角三角形，然而，若，則△ABC是銳角三角形，若，則△ABC是（

）A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形

D．由的值確定參考答案：A略9.兩條異面直線在平面上的投影不可能是

A、兩個點

B、兩條平行直線

C、一點和一條直線

D、兩條相交直線參考答案：A10.函數(shù)的圖象是下列圖象中的(

)參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖與側(cè)視圖都是邊長為2的等邊三角形，則該幾何體的體積等于

.參考答案：12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

.參考答案：(－∞,－1)

13.若函數(shù)（>0且≠1）的值域為，則實數(shù)的取值范圍是________________.參考答案：或14.在△ABC中，已知角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，若△ABC有兩解，則x的取值范圍是__________．參考答案：【分析】利用正弦定理得到，再根據(jù)有兩解得到，計算得到答案.【詳解】由正弦定理得：若△ABC有兩解：故答案為【點睛】本題考查了正弦定理，△ABC有兩解，意在考查學(xué)生的計算能力.15.數(shù)列中,,且(,),則這個數(shù)列的______________.參考答案：略16.已知=（4，2），則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為．參考答案：或．【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【分析】設(shè)出與垂直的單位向量的坐標(biāo)，由題意列方程組，求解后即可得到答案．【解答】解：設(shè)與垂直的單位向量．則，解得或．故答案為或．17.奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則__________。參考答案：在區(qū)間上也為遞增函數(shù)，即

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.因發(fā)生意外交通事故,一輛貨車上的某種液體泄漏到一魚塘中.為了治污,根據(jù)環(huán)保部門的建議,現(xiàn)決定在魚塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑.已知每投放,且個單位的藥劑,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間(天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中.若多次投放,則某一時刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗,當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4(克/升)時,它才能起到有效治污的作用.（Ⅰ）若一次投放4個單位的藥劑,則有效治污時間可達幾天?（Ⅱ）若第一次投放2個單位的藥劑,6天后再投放個單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污,試求的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):取1.4).參考答案：解：（Ⅰ）因為,所以則當(dāng)時,由,解得,所以此時當(dāng)時,由,解得,所以此時綜合,得,若一次投放4個單位的制劑,則有效治污時間可達8天（Ⅱ）當(dāng)時,==,,則，而,所以,用定義證明出：故當(dāng)且僅當(dāng)時,有最小值為令,解得,所以的最小值為略19.如圖，在正方體中，分別為棱的中點（I）判定四點是否在同一平面上？若在同一平面上，請加以證明，若不在同一平面上，請說明理由。（II）已知正方體的棱長為2，沿平面截去三棱錐，（i）求余下幾何體的體積；（ii）求余下幾何體的表面積.參考答案：解：（I）答：D，，Ｅ，Ｆ四點在同一個平面上....................................................(1分）證明：連結(jié)，由分別為棱的中點，所以,又由正方體知AB1ⅡDC1,由平行公理得EFⅡDC1,因此，D，，Ｅ，Ｆ四點在同一個平面上.........(4分）（II）（i）由三棱錐的體積.....................................(6分）所以，余下幾何體的體積V.正方體－=...................................................(8分）(ii)依題意可得在Δ中，過作垂直于EF，垂足為H，則，所以Δ的面積.........................(10分）余下幾何體的表面積S=.........................................(12分）略20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論；（3）試討論的單調(diào)性.參考答案：解：（1）依題意得，解得﹣1＜x＜1，且x≠0，即定義域為.

4分（2）函數(shù)f(x)是奇函數(shù).證明如下：易知定義域關(guān)于原點對稱，又對定義域內(nèi)的任意有即，故函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．

8分（3）由（2）知要判斷其單調(diào)性只需要確定在上的單調(diào)性即可.設(shè)是區(qū)間上的任意兩個實數(shù)，且.∴=.∵0＜x＜x＜1，∴，由得，，即.∴在上為減函數(shù);同理，可證在上也為減函數(shù).12分21.如圖，有一塊矩形草地，要在這塊草地上開辟一個內(nèi)接四邊形建體育設(shè)施（圖中陰影部分），使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知AB＝a（a>2），BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，設(shè)AE＝x，陰影部分面積為y.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)x為何值時，陰影部分面積最大？最大值是多少？參考答案：∴y＝－2x2＋(a＋2)x，函數(shù)的定義域為

（2）對稱軸為x=，又因為a>2,所以當(dāng)1＜，即2＜a<6時，則x＝時，y取最大值。當(dāng)≥2，即a≥6時，y＝－2x2＋(a＋2)x，在0，2]上是增函數(shù)，則x＝2時，y取最大值2a－4.

綜上所述：當(dāng)2＜a<6時，x＝時，陰影部分面積最大值是；當(dāng)a≥6時，x＝2時，陰影部分面積最大值是2a－4.略22.已知數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，，其前n項和為Sn，且滿足.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若數(shù)列，其前n項和為Tn，若成立，求n的最小值.參考答案：（1）；（2）10試題分析：（1）先根據(jù)和項與通項關(guān)系得項之間遞推關(guān)系，再根據(jù)等差數(shù)列定義及其通項公式得數(shù)列的通項公式；（2）先根據(jù)裂項相消法求，再解不等式得，即得的最小值.試題解析：（1