高職單招數(shù)學(xué)試題及答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給處的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．二.數(shù)學(xué)單項選擇（共10小題，計30分）1．設(shè)集合，則()A．B．C．D．2.不等式的解集是()A．x<3B．x>－1C．x<－1或x>3D．－1<x<33．已知函數(shù)，則的值為（）A．B．C．D．4.函數(shù)在定義域R內(nèi)是()A.減函數(shù)B.增函數(shù)C.非增非減函數(shù)D.既增又減函數(shù)5.設(shè)，則的大小順序為（）、、、、6.已知，，當(dāng)與共線時，值為（）A.1B.2C.D.7.已知｛an｝為等差數(shù)列，a2+a8=12,則a5等于（）A.4 B.5 C.6 D.78．已知向量a，b，且a⊥b，則（）A．B．C．D．9點到直線的距離為( )A． B． C． D．10.將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有()A．12種 B．10種C．9種 D．8種二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11．（5分）復(fù)數(shù)=_________12．（5分）設(shè)f（x）是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[﹣1，1）時，f（x）=，則f（）=_________．13．（5分）如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46m，則河流的寬度BC約等于_________m．（用四舍五入法將結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14．（5分）設(shè)m∈R，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx﹣y﹣m+3=0交于點P（x，y）．則|PA|?|PB|的最大值是_________．15．（5分））以A表示值域為R的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ（x）組成的集合：對于函數(shù)φ（x），存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)φ（x）的值域包含于區(qū)間[﹣M，M]．例如，當(dāng)φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx時，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．現(xiàn)有如下命題：①設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，則“f（x）∈A”的充要條件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”；②函數(shù)f（x）∈B的充要條件是f（x）有最大值和最小值；③若函數(shù)f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，則f（x）+g（x）?B．④若函數(shù)f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，則f（x）∈B．其中的真命題有_________．（寫出所有真命題的序號）三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.（本小題12分）設(shè)數(shù)列的前項和，且成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和，求得使成立的的最小值。17．（12分）一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需要擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂：每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分（即獲得﹣200分）．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立．（1）設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；（2）玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？（3）玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)．若干盤游戲后，與最初分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了．請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因．18.（本小題滿分分）一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設(shè)的中點為，的中點為。（=1\*ROMANI）請將字母標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點處（不需說明理由）（=2\*ROMANII）證明：直線平面（=3\*ROMANIII）求二面角余弦值19．（12分）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點（an，bn）在函數(shù)f（x）=2x的圖象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，點（a8，4b7）在函數(shù)f（x）的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項和Sn；（2）若a1=1，函數(shù)f（x）的圖象在點（a2，b2）處的切線在x軸上的截距為2﹣，求數(shù)列{}的前n項和Tn．20.（本小題13分）如圖，橢圓的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于兩點。當(dāng)直線平行于軸時，直線被橢圓截得的線段長為。球橢圓的方程；在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。21．已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點，求a的取值范圍．參考答案一、選擇題題號12345678910答案BDCABDCABA二、填空題：11.解：復(fù)數(shù)===﹣2i，故答案為：﹣2i．12.解：∵f（x）是定義在R上的周期為2的函數(shù)，∴=1．故答案為：113.解：過A點作AD垂直于CB的延長線，垂足為D，則Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m∴CD==46≈79.58m．又∵Rt△ABD中，∠ABD=67°，可得BD==≈19.5m∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m故答案為：60m14.解：有題意可知，動直線x+my=0經(jīng)過定點A（0，0），動直線mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，經(jīng)過點定點B（1，3），注意到動直線x+my=0和動直線mx﹣y﹣m+3=0始終垂直，P又是兩條直線的交點，則有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|?|PB|≤=5（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）故答案為：515.解：（1）對于命題①“f（x）∈A”即函數(shù)f（x）值域為R，“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”表示的是函數(shù)可以在R中任意取值，故有：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，則“f（x）∈A”的充要條件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”∴命題①是真命題；（2）對于命題②若函數(shù)f（x）∈B，即存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)f（x）的值域包含于區(qū)間[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函數(shù)f（x）滿足﹣2＜f（x）＜5，則有﹣5≤f（x）≤5，此時，f（x）無最大值，無最小值．∴命題②“函數(shù)f（x）∈B的充要條件是f（x）有最大值和最小值．”是假命題；（3）對于命題③若函數(shù)f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，則f（x）值域為R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一個正數(shù)M，使得﹣M≤g（x）≤M．∴f（x）+g（x）∈R．則f（x）+g（x）?B．∴命題③是真命題．（4）對于命題④∵函數(shù)f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，∴假設(shè)a＞0，當(dāng)x→+∞時，→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，則f（x）→+∞．與題意不符；假設(shè)a＜0，當(dāng)x→﹣2時，→，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，則f（x）→+∞．與題意不符．∴a=0．即函數(shù)f（x）=（x＞﹣2）當(dāng)x＞0時，，∴，即；當(dāng)x=0時，f（x）=0；當(dāng)x＜0時，，∴，即．∴．即f（x）∈B．故命題④是真命題．故答案為①③④．三、解答題16.解：（1）當(dāng)時有，則（）則是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。又由題意得則（2）由題意得由等比數(shù)列求和公式得則又當(dāng)時，成立時，的最小值的。點評：此題放在簡答題的第一題，考察前項和與通項的關(guān)系和等比數(shù)列的求和公式，難度較易，考察常規(guī)?？梢哉f是知識點的直接運用。所以也提醒我們在復(fù)習(xí)時要緊抓課本，著重基礎(chǔ)。17.解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．則P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列為：X﹣2001020100P由（1）知，每盤游戲出現(xiàn)音樂的概率是p=+=，則至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率p=1﹣．由（1）知，每盤游戲或得的分?jǐn)?shù)為X的數(shù)學(xué)期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．這說明每盤游戲平均得分是負分，由概率統(tǒng)計的相關(guān)知識可知：許多人經(jīng)過若干盤游戲后，入最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而會減少．18.解：（=1\*ROMANI）直接將平面圖形折疊同時注意頂點的對應(yīng)方式即可，如圖（=2\*ROMANII）連接，取的中點，連接因為、為線段、中點，所以且又因為中點，所以得到且所以四邊形為得到又因為平面所以平面（得證）（=3\*ROMANIII）連接，，過點作，垂足在上，過點作平面垂線，交于點，連接，則二面角因為平面，且,所以又，平面,所以平面且，所以，所以三角形為設(shè)正方體棱長為，則，所以，因為，三角形為，所以所以，所以所以19.解：（1）∵點（a8，4b7）在函數(shù)f（x）=2x的圖象上，∴，又等差數(shù)列{an}的公差為d，∴==2d，∵點（a8，4b7）在函數(shù)f（x）的圖象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2．又a1=﹣2，∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n．（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，∴函數(shù)f（x）的圖象在點（a2，b2）處的切線方程為，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2．∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴bn=2n．∴．∴Tn=+…++，∴2Tn=1+++…+，兩式相減得Tn=1++…+﹣=﹣==．20:解：（1）由題知橢圓過點。得解得：。所以，橢圓方程為：。(2)假設(shè)存在滿足題意的定點。當(dāng)直線平行于軸時，，兩點關(guān)于軸對稱，得在軸上。不妨設(shè)當(dāng)直線為軸時，。解得下證對一般的直線，也滿足題意。由得軸為的角平分線。所以。不妨設(shè)，化簡得①又橢圓方程與直線方程聯(lián)立得：，帶入①得成立。故假設(shè)成立。綜上存在點滿足題意。21:解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，∴①當(dāng)時，則2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②當(dāng)，則1＜2a＜e，∴當(dāng)0＜x＜ln（2a）時，g′（x）=ex﹣2a＜0，當(dāng)ln（2a）＜x＜1時，g′（x）=ex﹣2a＞0，∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，ln（2a）]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[ln（2a），1]上單調(diào)遞增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③當(dāng)時，則2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，∴函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，綜上：函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為；（2）由f（1）=0，?e﹣a﹣b﹣1=0?b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點，則函數(shù)f（