第四章混合類型信號中傅里葉描述的應用4.1 引言4.2-4.4建立4種信號FT表示，為各類信號的綜合及運算提供前提4.2 周期信號的傅里葉變換4.3 周期與非周期信號的卷積和相乘4.4 離散時間信號的傅里葉描述4.5-4.6信號分析的基本原理：抽樣及重構4.5 抽樣4.6 由樣本重構連續(xù)時間信號4.7-4.10實際應用4.7 連續(xù)時間信號的離散時間處理4.8 有限持續(xù)時間非周期信號的傅里葉級數表示4.9 用離散時間傅里葉級數近似傅里葉變換4.10 求DTFS的有效算法4.11Matlab探究4.12小結§4.1引言本章討論不同信號傅里葉描述之間的聯(lián)系與應用問題。在實際問題中，信號并不能嚴格地區(qū)分為第三章中的四種，往往是幾種信號的綜合或不同信號之間的運算，因此建立四種信號傅里葉描述之間聯(lián)系，在實際應用中十分重要。建立周期信號的傅里葉級數與傅里葉變換之間的聯(lián)系，會給信號的分析和應用帶來很多方便。用DTFS表示FT、FS、DTFT，是用計算機進行信號處理的前提。以應用為目的，介紹信號的卷積、乘積、抽樣、重構、FFT等問題。§4.2周期信號的傅里葉變換嚴格而言，周期信號可以用傅里葉級數展開，但不符合傅里葉變換條件，引進沖激函數可以建立傅里葉級數與傅里葉變換之間的關系。4.2.1FT與FS的關系見P229~230例3.27、328利用復正弦信號的線性組合，及FT的線性特性，可得：FS周期信號4.2.1FT與FS的關系FS時域連續(xù)周期信號注意：X[k]是離散的，而X（jω）是連續(xù)的！FT例：圖4.1，例4.1、4.2連續(xù)周期信號的FT對應的頻域信號：——看做一個頻移量為的沖激序列的加權疊加，各沖激信號的強度為，間隔為基頻；——FT與FS的轉換：的形狀相同，F(xiàn)T中各沖激強度除以即得FS系數。4.2.2DTFT與DTFS的關系時域周期信號：DTFSDTFT周期函數！4.2.2DTFT與DTFS的關系小結：離散時域周期信號DTFSDTFT離散周期信號的DTFT對應的頻域信號：——看做一個頻移量為的沖激序列的加權疊加，各沖激信號的強度為，間隔為基頻；——DTFT與DTFS的轉換：的形狀相同，F(xiàn)T中各沖激強度除以即得DTFS系數。例：圖4.6，例4.3§4.3周期與非周期混合信號的卷積及相乘——解決周期與非周期混合信號（運算）問題：連續(xù)時域信號統(tǒng)一利用FT分析；離散時域信號統(tǒng)一利用DTFT分析。4.3.1.周期與非周期信號的卷積1、連續(xù)時域信號例4.4——利用沖激響應h(t)?H(jω)實現(xiàn)頻譜濾波。周期非周期2、離散時域信號：x[n]，y[n]是基頻為Ω0的周期信號，h[n]是非周期信號。4.3.2

周期與非周期信號的相乘1、連續(xù)時域信號x(t)是基頻為ω0的周期信號，g(t)是非周期信號?！狥T對應頻譜：是由G(jω)的頻移模式的加權和所構成連續(xù)頻譜；各頻移模式的頻移量為kω0

，權重為X[k]。利用沖激函數的篩選特性非周期信號例4.6：AM無線電（P336）——通信系統(tǒng)中的應用正弦調幅調制：頻譜搬移解調三路信號解調優(yōu)點：可實現(xiàn)多個消息的同時傳輸、頻分復用（FDMA）。傳輸：獨占頻道，共享時間可能存在的問題：頻譜混疊——載頻信號（即周期信號）的基頻（或頻率間隔）過小，無法完全區(qū)分開調幅信號（即非周期信號）的各頻移模式。2、離散時域信號x[n]是基頻為Ω0的周期信號，z[n]是非周期信號?！狣TFT對應頻譜：是由的頻移模式的加權和構成;各頻移模式的頻移量為kΩ0

，權重為X[k]。非周期信號§4.2、§4.3作業(yè)習題4.1（b）（P328）習題4.3（b）（c）（P331）習題4.4（a）（b）（P333）習題4.5（a）（P334）P339，例4.7：數據加窗效應~頻譜混疊——時域周期信號：頻移的沖激序列（頻率間隔）——窗函數：決定數據記錄長度（頻譜寬度）§4.4離散時間信號的傅里葉變換1、連續(xù)時間頻率與離散時間頻率之間的關系：——離散時間頻率相當于連續(xù)時間頻率乘以抽樣時間間隔?！狥T用于分析連續(xù)與離散時間混合信號問題的實現(xiàn)。4.4.1FT與DTFT的關系(P341)任意離散時間信號x[n]DTFTFT例：圖4.18，例4.8——利用沖激變換實現(xiàn)離散時間信號的連續(xù)時間描述4.4.2FT與DTFS的關系(P344)——實現(xiàn)離散時間周期信號的FT表示離散時間周期信號DTFSDTFT離散時間周期信號x[n]：尺度變換特性4.4.2FT與DTFS的關系離散時間周期信號DTFSDTFT§4.3、§4.4作業(yè)習題4.6（P338）習題4.7（P340）習題4.8（P343）§4.5-4.6抽樣、由樣本重構連續(xù)時間信號抽樣是按一定規(guī)律（一般是按等時間間隔）地在某些離散時間點上提取原始時間信號值的操作，是進行數字信號處理必須的步驟。通過抽樣可以使連續(xù)信號轉變?yōu)殡x散信號而便于計算機處理，也可以使離散信號經過抽樣達到一定的信號傳輸和處理要求，后者也稱為二次抽樣。我們已經建立了FT與FS、DTFS以及DTFT之間的關系，抽樣信號既可以用FT進行分析，也可以通過DTFS方便地用計算機進行處理.一、抽樣1、連續(xù)時間信號的抽樣（§

4.5.1）離散時間信號的連續(xù)時間表示：注意與P104（2.9）式類比間隔抽樣：沖激抽樣：抽樣信號表示為原始連續(xù)信號與沖激序列的乘積.時域沖激采樣：——抽樣函數或梳狀函數頻域：P328，例4.2:小結：連續(xù)時間信號的抽樣頻域：時域沖激抽樣：由原始信號決定由抽樣條件決定——時域對連續(xù)時間信號進行沖激抽樣：原始連續(xù)時間信號與時移沖激序列的乘積?！喈斢谠陬l域將原始連續(xù)時間信號的FT頻譜以為周期進行延拓，再加權疊加。2、可能存在的問題：原始頻譜的各頻移模式的交疊（“混疊”）例：圖4.22要使抽樣信號樣本能夠完全代表原始連續(xù)時間信號，必須要求能從中不失真的分離出，即要求在周期性延拓時各頻移模式不能發(fā)生頻譜的混疊。要求：1、必須是帶限的，最高頻率分量為；2、抽樣頻率：，即抽樣周期。滿足上述條件：抽樣信號與原始連續(xù)時間信號的頻譜存在一一對應關系。一個抽樣信號x[n]可以對應多個不同的原始連續(xù)時間信號。同一個連續(xù)時間信號x(t)，當抽樣間隔Ts不同時會得到不同的抽樣離散時間信號。2、可能存在的問題：時域（唯一性問題）對于原始連續(xù)信號和抽樣信號，為了滿足二者從頻域到時域變換的一一對應關系，抽樣時需滿足：如果X(jω)與x(t)是一對傅里葉變換對，X(jω)存在最大頻率限制，即|ω|>ωm時X(jω)

=0；當抽樣頻率滿足ωs>2ωm時，原來的信號x(t)由樣本x(nTs)，n=±1，±2，…惟一確定.而——抽樣時間的確定3、Nyquist

抽樣定理（§4.6.1）4、抗混疊濾波—抽樣（離散化）前的預處理在抽樣前，一般需要對信號進行預處理，即一般是利用一個連續(xù)的低通或帶通濾波器實現(xiàn)，稱為抗混疊濾波器。目的：1、將無限帶寬信號變?yōu)橛邢迬捫盘枺?、消除與待傳輸或待處理信號無關的信號；3、消除部分高頻噪聲。5、次抽樣：離散時間信號的抽樣（§4.5.2自學）其中次抽樣：將原來離散信號的間隔由1變?yōu)閝，即：作業(yè)習題4.10（P351）習題4.12（P356）二、由樣本重構連續(xù)時間信號利用抽樣信號可以重構原始連續(xù)信號，其中包含了連續(xù)時間和離散時間信號的混合問題，可利用FT變換在時域、頻域分別進行處理。當滿足一定條件時，原則上可以理想地從樣本重構出原來的連續(xù)信號；但是這種理想重構在實際中是不可實現(xiàn)的，因此需要研究實際重構中待解決的問題和實際重構方法。（一）理想重構：頻域濾波（§4.6.2）抽樣信號的頻率分布保證不發(fā)生混疊：頻域濾波：恢復原始信號的頻率分布低通濾波器：窗口函數（TS倍的通帶增益）（一）理想重構：頻率濾波傅里葉逆變換獲得信號時域表示

sinc函數取代沖激序列的時移加權和可重構原始信號——理想帶限插值法（二）實際重構：零階保持技術（§4.6.3）實際上，理想重構在實際系統(tǒng)中都是不能實現(xiàn)的。實際工作中是用零階保持方法取代理想重構，其相應的抽樣技術為取樣保持電路。利用零階保持器件，在Ts秒的時間內保持x[n]的值，使輸出信號xo

(t)僅在t=nTs處發(fā)生躍變，從而獲得一個近似原連續(xù)時間信號的階梯型信號輸出。1、零階保持技術2、利用FT進行零階保持的時域分析零階保持：表示為抽樣間隔整數倍的矩形脈沖的時移加權和。輸出：近似原連續(xù)時間信號的階梯型信號可以證明：3、利用FT進行零階保持的頻域分析（由p227,例3.25可得）理想帶限插值濾波器——零階保持效應：導致抽樣信號的頻譜失真。包括線性相移、由的主瓣彎曲、旁瓣衰減等引起的失真。例：圖4.394、零階保持的補償：反像濾波器為了可以恢復原始連續(xù)信號，要求在零階保持系統(tǒng)后再級聯(lián)一個系統(tǒng)，要求滿足：（見P361-362，圖4.39、4.40、4.41

）——反像濾波器可校正零階保持抽樣信號頻譜的畸變，以及平滑時域信號的不連續(xù)階梯。5、小結：抽樣、重構理想重構實際重構：零階保持+反像濾波器§4.7連續(xù)時間信號的離散時間處理一、對連續(xù)時間信號進行離散時間處理的系統(tǒng)處理三個環(huán)節(jié)的級聯(lián)預處理抗混疊濾波器以間隔抽樣零階保持反像濾波器等效連續(xù)時間系統(tǒng)等效系統(tǒng)等效連續(xù)時間系統(tǒng)等效系統(tǒng)不出現(xiàn)混疊、只保留k=0的頻移項：等效連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的頻率響應：考慮抗混疊和反像濾波器補償抽樣和重構的影響：理想情況下：C/D轉換、D/C轉換是互逆系統(tǒng)；等效連續(xù)時間系統(tǒng)的頻率響應，就是離散時間系統(tǒng)頻率響應在一個周期內的特性，只不過在頻率上有一個尺度變換。僅帶限信號、抽樣頻譜滿足抽樣定理的要求時，對連續(xù)時間信號進行離散時間處理的系統(tǒng)才能等效為一個LTI系統(tǒng)。頻譜混疊的情況減輕的同時，可允許抗混疊濾波器的過渡帶較寬，降低成本。同一個連續(xù)信號中抽取的離散數據量↑，離散時間系統(tǒng)進行處理的計算成本上升。二、過抽樣（參見p366,圖4.44）——高速率用于抽樣和重構，低速率用于離散時間處理。三、改變離散時間信號的有效抽樣率（自學）2、插值（上抽樣）

——增大抽樣率，并要求用某種方法得到信號樣本間的值。離散時間序列——還原連續(xù)時間信號——重新抽樣；低通離散時間濾波器做抗混疊的預處理——對離散時間信號進行次抽樣（可避免引入重構帶來的失真）。1、抽?。ㄏ鲁闃樱档统闃勇什捎貌逯狄蜃觪的插值：通過q-1個零插到原始離散時間信號的每個樣本之間，然后利用帶通濾波器進行濾波而完成?！?.8有限持續(xù)時間非周期信號的傅里葉級數表示DTFS、FS周期信號的傅里葉表示用于有限持續(xù)時間非周期信號的表述1、DTFS與DTFT的關系有限持續(xù)時間非周期信號DTFTDTFS時域N周期延拓頻率處抽樣例：圖4.52有限持續(xù)時間非周期信號的DTFS系數：——即為對其DTFT系數的頻率采樣，并被周期N的歸一化?！獙τ邢蕹掷m(xù)時間非周期信號的DTFT系數的頻域抽樣，效果即是在時域內對信號以為周期無限延拓。——頻域、時域采樣的性質完全對偶：一個域內信號的抽樣，帶來的效果是在另一個域內的對原始信號做周期性延拓。頻域抽樣對抽樣間隔的要求：p373，例4.14——防止信號在時域上做周期延拓時發(fā)生混疊；——詮釋了在構造一個“周期”時，對信號長度（時限）的要求：M往往零墊整至N。——N越大，的頻率抽樣間隔越密，可得到足夠多的頻譜細節(jié)，所得DTFS系數的形狀與基底DTFT的形狀越相似。2、FS與FT的關系

——關于有限持續(xù)時間非周期連續(xù)時間信號的討論FSFT時域T周期延拓頻率