第六節(jié)晶體的比熱3.6.1晶體比熱的一般理論本節(jié)主要內(nèi)容：3.6.2晶體比熱的愛因斯坦模型3.6.3晶體比熱的德拜模型3.6晶體的比熱下面分別用經(jīng)典理論和量子理論來解釋晶體比熱的規(guī)律。晶體比熱的實(shí)驗(yàn)規(guī)律(1)在高溫時(shí)，晶體的比熱為3NkB(N為晶體中原子的個(gè)數(shù),kB=1.3810-23JK-1為玻爾茲曼常量)；(2)在低溫時(shí)，晶體的比熱按T3趨于零。晶體的定容比熱定義為：3.6.1晶體比熱的一般理論---晶體的平均內(nèi)能晶格振動(dòng)比熱晶體電子比熱通常情況下，本節(jié)只討論晶格振動(dòng)比熱。1.杜隆--珀替定律(經(jīng)典理論)根據(jù)能量均分定理，每一個(gè)自由度的平均能量是kBT,若晶體有N個(gè)原子，則總自由度為：3N。低溫時(shí)經(jīng)典理論不再適用。它是一個(gè)與溫度無關(guān)的常數(shù)，這一結(jié)論稱為杜隆--珀替定律。晶體由N個(gè)原子組成，晶體中包含3N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，總振動(dòng)能為對(duì)于宏觀晶體,原胞數(shù)目N很大，波矢q在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)中有N個(gè)取值，所以波矢q近似為準(zhǔn)連續(xù)的，頻率也是準(zhǔn)連續(xù)的。上式可以用積分來表示：間的振動(dòng)模式數(shù)。表示在3.頻率分布函數(shù)(模式密度)設(shè)晶體有N個(gè)原子,則(1)定義:其中m是最高頻率，又稱截止頻率。(2)計(jì)算因?yàn)轭l率是波矢的函數(shù)，所以我們可以在波矢空間內(nèi)求出模式密度的表達(dá)式。包含在內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)為：?jiǎn)挝活l率間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)。體積元包含的波矢數(shù)目：由梯度定義知:代入上式得證明：(法一)例1：證明由N個(gè)質(zhì)量為m、相距為a的原子組成的一維單原子鏈的模式密度一維單原子鏈共有N個(gè)值dq間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)為:間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)為：(因子2是因?yàn)橐粋€(gè)對(duì)應(yīng)于正負(fù)兩個(gè)波矢q，即一個(gè)對(duì)應(yīng)兩個(gè)振動(dòng)模式。)(式中m為截止頻率)(法二)一維單原子鏈只有一支格波，且對(duì)于一維單原子鏈波矢空間的波矢密度為解:例2：三維晶體，求其中c為常量，qxqy在波矢空間，等頻率面為球面，球半徑為q。3.6.2晶體比熱的愛因斯坦模型(1)晶體中原子的振動(dòng)是相互獨(dú)立的；(2)所有原子都具有同一頻率。1.模型設(shè)晶體由N個(gè)原子組成，因?yàn)槊總€(gè)原子可以沿三個(gè)方向振動(dòng)，共有3N個(gè)頻率為的振動(dòng)。2.計(jì)算(1)比熱表達(dá)式通常用愛因斯坦溫度E代替頻率，定義為kB

E=，愛因斯坦比熱函數(shù)。愛因斯坦溫度E如何確定呢？選取合適的E值，使得在比熱顯著改變的溫度范圍內(nèi)，理論曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相當(dāng)好的符合。對(duì)于大多數(shù)固體材料，E在100300k的范圍內(nèi)。高溫時(shí)，當(dāng)T>>E時(shí)，(1)3.高低溫極限討論(2)低溫時(shí)，當(dāng)T<<E時(shí)，但CV比T3趨于零的速度更快。是什么原因使愛因斯坦模型在低溫時(shí)不能與實(shí)驗(yàn)相吻合呢?2.計(jì)算(1)模式密度表達(dá)式由彈性波的色散關(guān)系：=vq在波矢空間，等頻率面是半徑為q的球面，彈性波有1支縱波、2支橫波,共3支格波。所以總的模式密度為：模式密度為:(2)比熱表達(dá)式(1)當(dāng)T>>D時(shí)，x<<1，3.高低溫極限情況討論高溫時(shí)與實(shí)驗(yàn)規(guī)律相吻