第二章本章診療一、精要總結1．為什么在指數函數中規(guī)定“”？答：這樣規(guī)定的出發(fā)點是：使函數的定義域為R；同時使函數具有單調性。⑴如果，則，一方面對沒有什么意義，且時，沒有太大的研究價值。⑵若，則對的某些取值沒有意義，如：，則，在等時都無意義。⑶若時，它的定義域、值域、對應法則都是一目了然，再深入研究沒有意義。2．對于指數式子大小的比較常用如下方法：比較冪值的大小常?；癁橥讛档膬?，根據指數的單調性比較大小．如果不能化為同底數的冪，則要借助冪值的范圍利用中間量進行比較（如常選0，1作中間量）．3．在學習對數函數的性質時一定要注意以下幾點：（1）在求定義域時，要考慮真數大于0，同時還要注意底數大于0且不等于1．（2）比較兩對數值的大小時，若同底，則根據對數函數的單調性；若不同底，則可考慮化為同底或用中間值比較．（3）通過上表可看出對數函數的圖象與對數函數的性質之間具有下列的對應關系：①圖象位于軸右側（這是由定義域決定的），且以軸為漸近線即對數函數的定義域>0；②曲線向上、向下無限延展，即對數函數的值域為R；③曲線恒過點（1，0），即對于對數函數來說當=1時，=0；④>1時，曲線逐漸上升，即當>1時，函數在定義域上單調遞增；0<<1時，曲線逐漸下降，即當0<<1時，函數在定義域上單調遞減．4．比較兩個對數的大小時，有這幾種思路①底同真不同，考慮單調性；②若底不同，真數相同，可考慮圖象的分布規(guī)律（當底數都大于1時，圖象在右側，底大圖低（即對數值隨著底數的增大而減?。划數讛刀即笥?且小于1時，圖象在右側，底大圖低（即對數值隨著底數的增大而減?。虎郛數讛蹬c真數都不同時，可借助中間量；或利用圖象進行比較，或通過作差（商）等方法進行比較。二、錯例剖析1．對指數函數的值域重視不夠致誤例1求函數的值域.錯解：設，則，所以故函數函數的值域為剖析：設，卻忽略了隱含條件，即新變量的取值范圍是，而不是正解：設，則，且結合二次函數的圖象，得，故函數函數的值域為2．考慮問題不全面致誤例2函數，且在上的最大值比最小值大，求的值.錯解：因為，且是單調函數，所以當時有，解得剖析：錯解僅考慮到時的情況，而忽略了的討論.正解：因為，且是單調函數，所以當時有，解得當時有，解得故所求的值為或3．對指數函數的圖象理解有誤致錯例3指數函數的圖象在同一個坐標系內圖象如圖1所示，則底數的大小關系是（） A．B．C．D．錯解:選A或B或D剖析：由指數函數的解析式可知，當時，．于是，可以在圖1中，畫出直線函數的交點，則交點的縱坐標分別是（如圖2所示），由圖可以得到底數的大小關系滿足，故選C．正解：C；點評：從指數函數解析式這一“數”的特點——當時，，得到了指數函數“形”的特點——過點，并依據這一圖象特點解決了4．求解對數函數定義域中的錯誤例4求函數y=的定義域。錯解：由得即故所以函數y=的定義域為（﹣∞，6。剖析：錯解中忽視了真數大于零的限制條件。正解：由得-2故函數y=的定義域為（-2，6]。5．求解對數函數值域中的錯誤例5已知函數的值域為R，求a的取值范圍．錯解：要使則有恒成立，于是，有，解之得所以a的取值范圍為。剖析：上述錯解是因為對數函數理解不清所致，由對數函數定義知：當x＞0時，y=logax∈R，即當x取遍大于零的全體實數時，相應函數值取遍全體實數．所以說要使y∈R，則u=ax2+2x+3的值域必須包含全體正數．正解：（1）a=0時，顯然y∈R；（2），解之得所以a的取值范圍為6．忽視對數的底數忘討論例6已知f(x)＝loga(x2-3x+2)，g(x)=loga(2x2-5x+2)(a>0,且a≠1)，若f(x)＞g(x)，求x的取值范圍．錯解：∵f(x)＞g(x)，∴l(xiāng)oga(x2-3x+2)＞loga(2x2-5x＋2），故x2-3x+2>2x2-5x+2，即x2-2x<0，∴0<x＜2．剖析：產生錯解的原因有兩點：一是忽略了底數a的取值影響x的取值；二是忽略了真數必須大于0.正解：當a>1時，等價于當時，等價于或7．判斷對數函數單調性中的錯誤例7求函數的單調遞減區(qū)間。錯解1：由在R上的單調遞減，所以的單調遞減區(qū)間為R。錯解2：令，則當時，是增函數，所以函數的單調遞減區(qū)間為。剖析：上述錯解1生搬硬套了函數在R上單調遞減這一性質；錯解2忽視了函數的單調區(qū)間須在函數定義域內進行研究，即單調區(qū)間是定義域的子集。正解：得函數的定義域為令，則當時，是增函數，所以函數的單調遞減區(qū)間為。8．理解冪函數概念有偏差致誤例8已知冪函數，則冪函數。錯解：因為為冪函數，所以，解得，或。當時，，適合；當時，，在上為常函數，不合題意，舍去，故所求冪函數為。剖析：事實上冪函數為，當時，也是為冪函數。正解：上面的解法加上這種情形，最后的結論應該為或。9．考慮冪函數問題不全面致誤例9已知冪函數是偶函數且在區(qū)間（0，+∞）是單調減函數，求函數f(x)的解析式。錯解：因為f(x)在（0，+∞）上是減函數，所以＜0，所以-1＜m＜3,又。當時，當時，，當時，。剖析：依據f(x)在（0，+∞）上是減函數，求得后，因為沒有注意其他限制條件而得出或正解：由錯解求出知，當時，當時，都不是偶函數，所以當時，是偶函數，故所求函數f(x)的解析式為10．混同冪函數的性質與指數函數的性質致誤例10比較大小：。錯解：∵＜,∴＜＜1,又∵＜,∴＞＞1∴＞＞1＞＞＞1剖析：本題中前兩數比較用指數函數單調性，后兩數比較用冪函數的單調性，比較時往往容易混同造成錯解正解：∵＜,由指數函數的性質可知：1＜＜，又∵＜,由冪函數的性質可知：＜＜1。故＜＜1＜＜。11．忽視隱含條件導致誤例11已知冪函數的圖象與坐標軸不相交，且關于軸對稱，求m的值。錯解：由己知，得＜0即＜0，解得當時，=-3。當時，=-4。當時，=-3因為函數圖象關于軸對稱，所以=-4即。剖析：冪函數與坐標軸不相交時，忽視了隱含條件α=0這種特殊情況正解：由題意得≤0，解得，又因為，所以當時，=0。當時，=-4均符合題意，所以或3。12．討論冪函數性質致誤例12討論函數的定義域、奇偶性和單調性。錯解：（1）因為指數可以取一切實數，所以的定義域是R；（2）由于，則該函數是非奇非偶函數；（3）該函數無法判斷