最優(yōu)人字架設(shè)計(jì)

摘要“人字架的設(shè)計(jì)”數(shù)學(xué)建模的目的是設(shè)計(jì)最優(yōu)的方法，提出并建立一個(gè)達(dá)到目的而又最省材料的人字架設(shè)計(jì)方案。例如，兩個(gè)鋼管的直徑和人字架的高度不同，人字架的重量也會(huì)不同。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是適應(yīng)生產(chǎn)現(xiàn)代化要求發(fā)展起來(lái)的一種機(jī)械設(shè)計(jì)方法，包括機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)、機(jī)械零部件優(yōu)化設(shè)計(jì)、機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)和形狀的優(yōu)化設(shè)計(jì)等諸多內(nèi)容。該領(lǐng)域的研究和應(yīng)用進(jìn)展非常迅速，并且取得了可觀的經(jīng)濟(jì)效益，在科技發(fā)達(dá)國(guó)家已將優(yōu)化設(shè)計(jì)列為科技人員的基本職業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目。我們基于求取符合條件的最輕桁架，對(duì)題目實(shí)際情況進(jìn)行研究和分析，對(duì)此問(wèn)題設(shè)計(jì)了合適的數(shù)學(xué)模型做出了相應(yīng)的解答和處理。對(duì)此問(wèn)題我們可計(jì)算出鋼管的壓應(yīng)力與其給定的許用壓應(yīng)力進(jìn)行比較，它肯定需要滿足小于或等于需用壓應(yīng)力，列出鋼管重量的公式求其滿足條件的最小值。則需建立三個(gè)未知變量，如果代入已知量，利用Matlab或Lingo數(shù)學(xué)軟件來(lái)求解出最小值，并通過(guò)多次驗(yàn)證和求解，將其直徑和高度精度控制到mm,重量精度控制到kg。關(guān)鍵字：最輕的鋼管重量壓應(yīng)力Matlab或Lingo數(shù)學(xué)軟件問(wèn)題重述一、 問(wèn)題背景為了解決材料的充分利用問(wèn)題，節(jié)約可以省下的資源，避免不必要的開支，一種合理、簡(jiǎn)化的策略是保證滿足不超過(guò)許用的壓應(yīng)力的前提下，追求最節(jié)省資源，最輕的鋼管選擇方案。二、 基本條件假設(shè)人字架由兩個(gè)鋼管組成，其頂點(diǎn)受外力2P=3X【的N。已知人字架跨度2L=152cm,鋼管壁厚B=0.25cm，鋼管材料的彈性模量E=2.1X-薩MFC,，材料密度"，許用壓應(yīng)力:-=420MPa。求在桁架不被破壞的情況下使桁架重量最輕的桁架高度h及鋼管平均直徑d。2L受力分析圖三、 提出問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型分析如何使得鋼管所受到的壓應(yīng)力不超過(guò)給定的許用壓應(yīng)力，并且在此前提下得到最輕的鋼管重量。若 ，又應(yīng)怎樣選取怎樣尺寸的鋼管。四、 問(wèn)題實(shí)質(zhì)原問(wèn)題已知鋼管的許用壓應(yīng)力，并給出了人字架頂點(diǎn)所受的外力2P,人字架跨度2L，鋼管壁厚B,鋼管材料的彈性模量E,材料密度：。并在此條件下，求最輕的鋼管重量。模型假設(shè)不考慮接頭處所用材料的重量。不考慮安裝過(guò)程中的意外情況，所有工作均可順利進(jìn)行。符號(hào)說(shuō)明W:所用鋼管的總重量。d:所用鋼管的直徑。h:所用桁架的高度。問(wèn)題分析對(duì)此問(wèn)題由材料力學(xué)相關(guān)知識(shí)和機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)相關(guān)知識(shí)可知，我們只需滿足鋼管的許用壓應(yīng)力與及機(jī)械常規(guī)通用設(shè)計(jì)即可。通過(guò)利用這些知識(shí)我們可以列出一系列的方程組，從而在變量的約束條件下可以確定怎樣選取最輕的鋼管。模型的建立與求解關(guān)于此問(wèn)題的求解過(guò)程如下:解：桁桿的截面積：S=桁桿的總重量為：_p_pVl2+I2負(fù)載2P在每個(gè)桿上的分力為： 為=云？=―I一_%+一于是桿截面的應(yīng)力為：九=了=_.b/ IfT此應(yīng)力要求小于材料的屈服極限，即 -.15一圓桿中應(yīng)力小于等于壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力。由材料力學(xué)知：穩(wěn)定的臨界壓力ic2E(dz+8勺為疽+1勺由此得到穩(wěn)定約束：另外對(duì)直徑d和高度h有限制，其中有 22mm\d\60mm200mmWhW1200mm.由此歸納得到的數(shù)學(xué)模型為:min2兀pdB尸由此歸納得到的數(shù)學(xué)模型為:min2兀pdB尸~兀dhB<60mm冗2E(d2+B2)—~8(L2+h2)-20mm<d200mm<h<1200mm模型的評(píng)價(jià)與應(yīng)用從實(shí)際的生活出發(fā)人字架是一些工作過(guò)程中必須要用到的工具，在工廠中是必不可少的，但我們?nèi)绾伪ＷC它的安全以及能達(dá)到使用的材料最省（即最輕）是一個(gè)急需解決的問(wèn)題。優(yōu)點(diǎn)：模型使問(wèn)題變得非常簡(jiǎn)單，如此方式進(jìn)行計(jì)算能使材料得到充分運(yùn)用，并能減少一定的費(fèi)用，使效益最大化。缺點(diǎn)：該模型在提出的時(shí)候?qū)⒉糠忠蛩貨](méi)有考慮進(jìn)來(lái)，例如鋼管接頭處使用的一些材料，工作中的一些意外情況等等，使得該模型在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)缺少精確性。參考文獻(xiàn)【1】劉鴻文主編第五版《材料力學(xué)》第九章290-310頁(yè)高等教育出版社2012年11月第五次印刷?！?】曹戈 《Matlab教程及實(shí)訓(xùn)》 37-60頁(yè)機(jī)械工業(yè)出版社2008年5月?！?】鄔學(xué)軍周凱《數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教程》 73-96頁(yè)浙江大學(xué)出版社2009年1月?！?】孫靖民梁迎春《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》第四版哈工大主編機(jī)械工業(yè)出版社2006年12月?！?】陳立周機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法冶金工業(yè)出版【6】劉惟信機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)清華大學(xué)出版社0.3769695E+1550.3769695E+15530ValueReducedCost0.6000000E-010.0000001.2000000.000000SlackorSurplusDualPrice10.43670-1.000000-0.3769695E+150.0000000.8563411E+080.0000000.000000-5851343.0.4000000E-010.0000000.000000-83756.331.0000000.000000附錄1;min=2*3.14*（7.8*10八3）*d*0.0025*（0.76八2+h八2）八（1/2）;4.2*10八8-1.5*10T1*（（0.76八2+h八2）八（1/2））/3.14/d/h/0.0025>=0;（3.14）八2*2.1*10T1*（d八2+0.0025八2）/8/（0.76八2+h八2）-1.5*10八5*（（0.76八2+h八2）八（1/2））/3.14/d/h/0.0025>=0;0.06>=d;d>=0.02;1.