廣東省廣州市新華中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè),則下列不等式一定成立的是(

).A.

B.

C.

D.參考答案：D2.在一個(gè)投擲硬幣的游戲中，把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A，“第二次出現(xiàn)正面”為事件B，則P(B|A)等于()參考答案：A3.設(shè)，，為整數(shù)（），若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對(duì)模同余，記作，已知，且，則的值可為（

）A．2011

B．2012

C．2009

D．2010參考答案：C4.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么值的是

（

）A．30

B．65

C．70

D．130參考答案：D略5.用反證法證明命題“已知a、b、c為非零實(shí)數(shù)，且a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，求證a、b、c中至少有二個(gè)為正數(shù)”時(shí)，要做的假設(shè)是（）A．a(chǎn)、b、c中至少有二個(gè)為負(fù)數(shù) B．a(chǎn)、b、c中至多有一個(gè)為負(fù)數(shù)C．a(chǎn)、b、c中至多有二個(gè)為正數(shù) D．a(chǎn)、b、c中至多有二個(gè)為負(fù)數(shù)參考答案：A【考點(diǎn)】反證法的應(yīng)用．【分析】用反證法證明某命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而命題的否定為：“a、b、c中至少有二個(gè)為負(fù)數(shù)”，由此得出結(jié)論．【解答】解：用反證法證明某命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而：“a、b、c中至少有二個(gè)為正數(shù)”的否定為：“a、b、c中至少有二個(gè)為負(fù)數(shù)”．故選A．6.設(shè)，則“”是“”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：D分析：對(duì)分三種情況討論，分別去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后求解不等式組，再求并集即可得到不等式的解集，然后利用充分條件與必要條件的定義判斷即可..詳解：，當(dāng)時(shí)，化為，解得；當(dāng)時(shí)，化為，即，解得；當(dāng)時(shí)，化為，解得，綜上可得：的取值范圍是，“”是“”的既不充分也不必要條件，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法、充分條件與必要條件相關(guān)問(wèn)題，將含絕對(duì)值不等式解法、充分條件、必要條件、充要條件相關(guān)的問(wèn)題聯(lián)系在起來(lái)，體現(xiàn)綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，是基礎(chǔ)題7.若(x＋)n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．10

B．20

C．30

D．120參考答案：B略8.已知定點(diǎn)P（x0，y0）不在直線l：f（x，y）=0上，則f（x，y）﹣f（x0，y0）=0表示一條（）A．過(guò)點(diǎn)P且垂直于l的直線 B．過(guò)點(diǎn)P且平行于l的直線C．不過(guò)點(diǎn)P但垂直于l的直線 D．不過(guò)點(diǎn)P但平行于l的直線參考答案：B【考點(diǎn)】直線的一般式方程．【分析】由當(dāng)x=x0，y=y0時(shí)，f（x，y）﹣f（x0，y0）=0，可得：f（x，y）﹣f（x0，y0）=0過(guò)P點(diǎn)，由定點(diǎn)P（x0，y0）不在直線l上，可得f（x0，y0）=b≠0，即f（x，y）﹣f（x0，y0）=0表示一條斜率與l：f（x，y）=0相等的直線，進(jìn)而得到答案．【解答】解：∵定點(diǎn)P（x0，y0）不在直線l：f（x，y）=0上，∴f（x0，y0）=b≠0，∴f（x，y）﹣f（x0，y0）=0表示一條斜率與l：f（x，y）=0相等的直線，又由當(dāng)x=x0，y=y0時(shí)，f（x，y）﹣f（x0，y0）=0，故f（x，y）﹣f（x0，y0）=0過(guò)P點(diǎn)，故f（x，y）﹣f（x0，y0）=0表示一條過(guò)點(diǎn)P且平行于l的直線，故選：B9.雙曲線的焦距是（）A．4 B． C．8 D．與m有關(guān)參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由雙曲線的方程可先根據(jù)公式c2=a2+b2求出c的值，進(jìn)而可求焦距2c【解答】解：由題意可得，c2=a2+b2=m2+12+4﹣m2=16∴c=4焦距2c=8故選C10.已知直線，當(dāng)k變化時(shí)，所有直線都過(guò)定點(diǎn)（

）A．

B．

C．（3，1）

D．（2，1）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線與直線間的距離是

參考答案：略12.如圖算法最后輸出的結(jié)果是．參考答案：67【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】根據(jù)已知中的程序語(yǔ)句可得，該程序的功能是計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，可得答案．【解答】解：當(dāng)i=7時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，S=5，i=5，當(dāng)i=5時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，S=23，i=3，當(dāng)i=3時(shí)，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，S=67，i=1，當(dāng)i=1時(shí)，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的S值為67，故答案為：67【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序語(yǔ)句，當(dāng)程序的運(yùn)行次數(shù)不多或有規(guī)律時(shí)，可采用模擬運(yùn)行的辦法解答．13.在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝，有一個(gè)點(diǎn)D使得AD平分BC并且∠ADB是直角，比值能寫(xiě)成的形式，這里m,n是互質(zhì)的正整數(shù)，則m＋n＝參考答案：設(shè)BC中點(diǎn)為E，AD＝，由中線公式得AE＝故＝所以m＋n＝27＋38＝65

14.抽樣調(diào)查表明，某校高三學(xué)生成績(jī)(總分750分)ξ近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?00分．已知P(400＜ξ＜450)＝0.3，則P(550＜ξ＜600)＝________.參考答案：

0.315.汽車從路燈正下方開(kāi)始向前作變速行駛，汽車影長(zhǎng)為（t的單位是秒），則汽車影長(zhǎng)變化最快的時(shí)刻是第_________秒。參考答案：116.平面內(nèi)有條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)把平面分成的區(qū)域數(shù)記為,則時(shí) .參考答案：17.已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．參考答案：【分析】函數(shù)f（x）可以看作是動(dòng)點(diǎn)M（x，ex）與動(dòng)點(diǎn)N（-a，-）之間距離的平方，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由y=ex得，y′=ex=，曲線上點(diǎn)M（-1，）到直線y=x的距離最小，要使f（x0）≤，則f（x0）=，然后求解a即可．【詳解】函數(shù)f（x）=（x+a）2+（ex+）2，函數(shù)f（x）可以看作是動(dòng)點(diǎn)M（x，ex）與動(dòng)點(diǎn)N（-a，-）之間距離的平方，動(dòng)點(diǎn)M在函數(shù)y=ex的圖象上，N在直線y=x的圖象上，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由y=ex得，y′=ex=，解得x=-1，所以曲線上點(diǎn)M（-1，）到直線y=x的距離最小，最小距離d=，則f（x）≥，根據(jù)題意，要使f（x0）≤，則f（x0）=，此時(shí)N恰好為垂足，由KMN=-e，解得a=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)千件需另投入2.7萬(wàn)元，設(shè)該企業(yè)年內(nèi)共生產(chǎn)此種產(chǎn)品千件，并且全部銷售完，每千件的銷售收入為萬(wàn)元，且（Ⅰ）寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)品（千件）的函數(shù)解析式；（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)此產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大？（注：年利潤(rùn)=年銷售收入-年總成本）參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

……………4分（2）①當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，取最大值，且

………………7分②當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，

…10分綜合①、②知時(shí)，取最大值.所以當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)此產(chǎn)品獲利最大.

……………12分備注：當(dāng)時(shí)，求得：時(shí)，，有學(xué)生認(rèn)為（要取整），實(shí)際上無(wú)論取整與否，其函數(shù)均小于38，故對(duì)結(jié)論不會(huì)有影響，學(xué)生交待不清。略19.如圖，PA⊥平面AC，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).（1）求證:AF∥平面PCE;（2）若二面角P—CD—B為45°,AD=2,CD=3,求點(diǎn)F到平面PCE的距離;（3）在（2）的條件下,求PC與底面所成角的余弦值。參考答案：解法一:(1)證明:取PC中點(diǎn)M,連結(jié)ME、MF,則MF∥CD,MF=CD．又AE∥CD,AE=CD,

∴AE∥MF且AE=MF.∴四邊形AFME是平行四邊形.∴AF∥EM.∵AF平面PCE,

∴AF∥平面PCE.

(2)解:∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,∴CD⊥PD．

∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角,即∠PDA=45°.∴△PAD是等腰直角三角形.∴AF⊥PD．又AF⊥CD,∴AF⊥平面PCD,而EM∥AF,∴EM⊥平面PCD．

又EM平面PEC,∴面PEC⊥面PCD．在平面PCD內(nèi)過(guò)F作FH⊥PC于H,則FH就是點(diǎn)F到平面PCE的距離.由已知,PD=2,PF=,PC=,△PFH∽△PCD,∴=.

∴FH=.

(3)解:∵PA⊥平面ABCD,∴AC是PC在底面上的射影.

∴∠PCA就是PC與底面所成的角.由(2)知PA=2,PC=,

∴sin∠PCA==,即PC與底面所成的角余弦值cos∠PCA==,

解法二：(1)證明:取PC中點(diǎn)M,連結(jié)EM,∵=+=+=+(+)=++=++=,∴AF∥EM.又EM平面PEC,AF平面PEC,∴AF∥平面PEC．

(2)解:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、、所在直線為x、y、z軸建立坐標(biāo)系.∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,

∴CD⊥PD．∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角,即∠PDA=45°.∴A(0,0,0)、P(0,0,2)、D(0,2,0)、F(0,1,1)、E(,0,0)、C(3,2,0).設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z),則n⊥,n⊥,而=(－,0,2),=(,2,0),∴－x+2z=0,且x+2y=0.

解得y=－x

,z=x.取x=4,得n=(4,－3,3).

又=(0,1,－1),故點(diǎn)F到平面PCE的距離為d===.

(3)解:

∵PA⊥平面ABCD,

∴AC是PC在底面上的射影.∴∠PCA就是PC與底面所成的角.=(－3,－2,0),=(－3,－2,2).∴cos∠PCA==,

即PC與底面所成的角的余弦值是.

略20.（本題滿分12分）已知函數(shù)在與x=1時(shí)都取得極值，（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.參考答案：21.已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.（1）求周長(zhǎng)最小的圓的一般方程；（2）求圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.參考答案：（1）以線段AB為直徑的圓的周長(zhǎng)最小，AB中點(diǎn)坐標(biāo)(0,1)，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，一般方程為；（2）線段AB中垂線的斜率為，中垂線方程為，聯(lián)立方程，得圓心坐標(biāo)(3,2)，半徑，標(biāo)準(zhǔn)方程為22.已知等比數(shù)列{an}中每一項(xiàng)都是正數(shù)，如果a2=4，a1?a5=64（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an（2）若數(shù)列{n?an}的前n的和Sn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求得a3=8，又a2=4，從而可求得公比q=2，于是可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知a