2023年中招考試數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題）1．下列各數(shù)中比1大的數(shù)是（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣32．2023年，我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)成74.4萬億元，數(shù)據(jù)“74.4萬億”用科學(xué)記數(shù)法表達(dá)（）A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×10153．某幾何體的左視圖如圖所示，則該幾何體不也許是（）A． B． C． D．4．解分式方程﹣2=，去分母得（）A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=35．八年級(jí)某同學(xué)6次數(shù)學(xué)小測(cè)驗(yàn)的成績(jī)分別為：80分，85分，95分，95分，95分，100分，則該同學(xué)這6次成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分6．一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根7．如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，添加下列條件不能鑒定?ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠28．如圖是一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課制作的一個(gè)轉(zhuǎn)盤，盤面被等提成四個(gè)扇形區(qū)域，并分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，0，1，2．若轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)盤停止后記錄指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字（當(dāng)指針價(jià)好指在分界線上時(shí)，不記，重轉(zhuǎn)），則記錄的兩個(gè)數(shù)字都是正數(shù)的概率為（）A． B． C． D．9．我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，固定點(diǎn)A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點(diǎn)D落在y軸正半軸上點(diǎn)D′處，則點(diǎn)C的相應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（）A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，）10．如圖，將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)O，B的相應(yīng)點(diǎn)分別為O′，B′，連接BB′，則圖中陰影部分的面積是（）A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣二．填空題（共5小題）11．計(jì)算：23﹣=．12．不等式組的解集是．13．已知點(diǎn)A（1，m），B（2，n）在反比例函數(shù)y=﹣的圖象上，則m與n的大小關(guān)系為．14．如圖1，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→A勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段BP的長(zhǎng)度y隨時(shí)間x變化的關(guān)系圖象，其中M為曲線部分的最低點(diǎn)，則△ABC的面積是．15．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，點(diǎn)M，N分別是邊BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，沿MN所在的直線折疊∠B，使點(diǎn)B的相應(yīng)點(diǎn)B′始終落在邊AC上，若△MB′C為直角三角形，則BM的長(zhǎng)為．三．解答題（共8小題）16．先化簡(jiǎn)，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x=+1，y=﹣1．17．為了了解同學(xué)們每月零花錢的數(shù)額，校園小記者隨機(jī)調(diào)查了本校部分同學(xué)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出了如下兩個(gè)尚不完整的記錄圖表．調(diào)查結(jié)果登記表組別分組（單位：元）人數(shù)A0≤x＜304B30≤x＜6016C60≤x＜90aD90≤x＜120bEx≥1202請(qǐng)根據(jù)以上圖表，解答下列問題：（1）填空：這次被調(diào)查的同學(xué)共有人，a+b=，m=；（2）求扇形記錄圖中扇形C的圓心角度數(shù)；（3）該校共有學(xué)生1000人，請(qǐng)估計(jì)每月零花錢的數(shù)額x在60≤x＜120范圍的人數(shù)．18．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CF∥AB，與過點(diǎn)B的切線交于點(diǎn)F，連接BD．（1）求證：BD=BF；（2）若AB=10，CD=4，求BC的長(zhǎng)．19．如圖所示，我國(guó)兩艘海監(jiān)船A，B在南海海域巡航，某一時(shí)刻，兩船同時(shí)收到指令，立即前往救援遇險(xiǎn)拋錨的漁船C，此時(shí)，B船在A船的正南方向5海里處，A船測(cè)得漁船C在其南偏東45°方向，B船測(cè)得漁船C在其南偏東53°方向，已知A船的航速為30海里/小時(shí)，B船的航速為25海里/小時(shí)，問C船至少要等待多長(zhǎng)時(shí)間才干得到救援？（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）20．如圖，一次函數(shù)y=﹣x+b與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（m，3）和B（3，1）．（1）填空：一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為；（2）點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，連接OP，若△POD的面積為S，求S的取值范圍．21．學(xué)?！鞍僮兡Х健鄙鐖F(tuán)準(zhǔn)備購(gòu)買A，B兩種魔方，已知購(gòu)買2個(gè)A種魔方和6個(gè)B種魔方共需130元，購(gòu)買3個(gè)A種魔方和4個(gè)B種魔方所需款數(shù)相同．（1）求這兩種魔方的單價(jià)；（2）結(jié)合社員們的需求，社團(tuán)決定購(gòu)買A，B兩種魔方共100個(gè)（其中A種魔方不超過50個(gè)）．某商店有兩種優(yōu)惠活動(dòng)，如圖所示．請(qǐng)根據(jù)以上信息，說明選擇哪種優(yōu)惠活動(dòng)購(gòu)買魔方更實(shí)惠．22．如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀測(cè)猜想圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=10，請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值．23．如圖，直線y=﹣x+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=﹣x2+bx+c通過點(diǎn)A，B．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；（2）M（m，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N．①點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動(dòng)，若以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②點(diǎn)M在x軸上自由運(yùn)動(dòng)，若三個(gè)點(diǎn)M，P，N中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外），則稱M，P，N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫出使得M，P，N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”的m的值．

2023年中招考試數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2023?河南）下列各數(shù)中比1大的數(shù)是（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：2＞0＞﹣1＞﹣3，故選：A．2．（2023?河南）2023年，我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)成74.4萬億元，數(shù)據(jù)“74.4萬億”用科學(xué)記數(shù)法表達(dá)（）A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×1015【解答】解：將74.4萬億用科學(xué)記數(shù)法表達(dá)為：7.44×1013．故選：B．3．（2023?河南）某幾何體的左視圖如圖所示，則該幾何體不也許是（）A． B． C． D．【解答】解：從左視圖可以發(fā)現(xiàn)：該幾何體共有兩列，正方體的個(gè)數(shù)分別為2，1，D不符合，故選D．4．（2023?河南）解分式方程﹣2=，去分母得（）A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3【解答】解：分式方程整理得：﹣2=﹣，去分母得：1﹣2（x﹣1）=﹣3，故選A5．（2023?河南）八年級(jí)某同學(xué)6次數(shù)學(xué)小測(cè)驗(yàn)的成績(jī)分別為：80分，85分，95分，95分，95分，100分，則該同學(xué)這6次成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分【解答】解：位于中間位置的兩數(shù)分別是95分和95分，故中位數(shù)為95分，數(shù)據(jù)95出現(xiàn)了3次，最多，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是95分，故選A．6．（2023?河南）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選B．7．（2023?河南）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，添加下列條件不能鑒定?ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2【解答】解：A、對(duì)的．對(duì)角線垂直的平行四邊形的菱形．B、對(duì)的．鄰邊相等的平行四邊形是菱形．C、錯(cuò)誤．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，不一定是菱形．D、對(duì)的．可以證明平行四邊形ABCD的鄰邊相等，即可鑒定是菱形．故選C．8．（2023?河南）如圖是一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課制作的一個(gè)轉(zhuǎn)盤，盤面被等提成四個(gè)扇形區(qū)域，并分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，0，1，2．若轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)盤停止后記錄指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字（當(dāng)指針價(jià)好指在分界線上時(shí)，不記，重轉(zhuǎn)），則記錄的兩個(gè)數(shù)字都是正數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：畫樹狀圖得：∵共有16種等也許的結(jié)果，兩個(gè)數(shù)字都是正數(shù)的有4種情況，∴兩個(gè)數(shù)字都是正數(shù)的概率是：=．故選：C．9．（2023?河南）我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，固定點(diǎn)A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點(diǎn)D落在y軸正半軸上點(diǎn)D′處，則點(diǎn)C的相應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（）A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，）【解答】解：∵AD′=AD=2，AO=AB=1，∴OD′==，∵C′D′=2，C′D′∥AB，∴C（2，），故選D．10．（2023?河南）如圖，將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)O，B的相應(yīng)點(diǎn)分別為O′，B′，連接BB′，則圖中陰影部分的面積是（）A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣【解答】解：連接OO′，BO′，∵將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，∴∠OAO′=60°，∴△OAO′是等邊三角形，∴∠AOO′=60°，∵∠AOB=120°，∴∠O′OB=60°，∴△OO′B是等邊三角形，∴∠AO′B=120°，∵∠AO′B′=120°，∴∠B′O′B=120°，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴圖中陰影部分的面積=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）=×1×2﹣（﹣×2×）=2﹣．故選C．二．填空題（共5小題）11．（2023?河南）計(jì)算：23﹣=6．【解答】解：23﹣=8﹣2=6，故答案為：6．12．（2023?河南）不等式組的解集是﹣1＜x≤2．【解答】解：解不等式①0得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣1，∴不等式組的解集是﹣1＜x≤2，故答案為﹣1＜x≤2．13．（2023?河南）已知點(diǎn)A（1，m），B（2，n）在反比例函數(shù)y=﹣的圖象上，則m與n的大小關(guān)系為m＜n．【解答】解：∵反比例函數(shù)y=﹣中k=﹣2＜0，∴此函數(shù)的圖象在二、四象限內(nèi)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∵0＜1＜2，∴A、B兩點(diǎn)均在第四象限，∴m＜n．故答案為m＜n．14．（2023?河南）如圖1，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C→A勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段BP的長(zhǎng)度y隨時(shí)間x變化的關(guān)系圖象，其中M為曲線部分的最低點(diǎn)，則△ABC的面積是12．【解答】解：根據(jù)圖象可知點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)BP不斷增大，由圖象可知：點(diǎn)P從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP的最大值為5，即BC=5，由于M是曲線部分的最低點(diǎn)，∴此時(shí)BP最小，即BP⊥AC，BP=4，∴由勾股定理可知：PC=3，由于圖象的曲線部分是軸對(duì)稱圖形，∴PA=3，∴AC=6，∴△ABC的面積為：×4×6=12故答案為：1215．（2023?河南）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，點(diǎn)M，N分別是邊BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，沿MN所在的直線折疊∠B，使點(diǎn)B的相應(yīng)點(diǎn)B′始終落在邊AC上，若△MB′C為直角三角形，則BM的長(zhǎng)為+或1．【解答】解：①如圖1，當(dāng)∠B′MC=90°，B′與A重合，M是BC的中點(diǎn)，∴BM=BC=+；②如圖2，當(dāng)∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM=MB′，∵沿MN所在的直線折疊∠B，使點(diǎn)B的相應(yīng)點(diǎn)B′，∴BM=B′M，∴CM=BM，∵BC=+1，∴CM+BM=BM+BM=+1，∴BM=1，綜上所述，若△MB′C為直角三角形，則BM的長(zhǎng)為+或1，故答案為：+或1．三．解答題（共8小題）16．（2023?河南）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x=+1，y=﹣1．【解答】解：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y）=4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy=9xy當(dāng)x=+1，y=﹣1時(shí)，原式=9（+1）（﹣1）=9×（2﹣1）=9×1=917．（2023?河南）為了了解同學(xué)們每月零花錢的數(shù)額，校園小記者隨機(jī)調(diào)查了本校部分同學(xué)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出了如下兩個(gè)尚不完整的記錄圖表．調(diào)查結(jié)果登記表組別分組（單位：元）人數(shù)A0≤x＜304B30≤x＜6016C60≤x＜90aD90≤x＜120bEx≥1202請(qǐng)根據(jù)以上圖表，解答下列問題：（1）填空：這次被調(diào)查的同學(xué)共有50人，a+b=28，m=8；（2）求扇形記錄圖中扇形C的圓心角度數(shù)；（3）該校共有學(xué)生1000人，請(qǐng)估計(jì)每月零花錢的數(shù)額x在60≤x＜120范圍的人數(shù)．【解答】解：（1）調(diào)查的總?cè)藬?shù)是16÷32%=50（人），則b=50×16%=8，a=50﹣4﹣16﹣8﹣2=20，A組所占的比例是=8%，則m=8．a(chǎn)+b=8+20=28．故答案是：50，28，8；（2）扇形記錄圖中扇形C的圓心角度數(shù)是360°×=144°；（3）每月零花錢的數(shù)額x在60≤x＜120范圍的人數(shù)是1000×=560（人）．18．（2023?河南）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CF∥AB，與過點(diǎn)B的切線交于點(diǎn)F，連接BD．（1）求證：BD=BF；（2）若AB=10，CD=4，求BC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠BDA=90°，∴BD⊥AC，∠BDC=90°，∵BF切⊙O于B，∴AB⊥BF，∵CF∥AB，∴CF⊥BF，∠FCB=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠ACB=∠FCB，∵BD⊥AC，BF⊥CF，∴BD=BF；（2）解：∵AB=10，AB=AC，∴AC=10，∵CD=4，∴AD=10﹣4=6，在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD==8，在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC==4．19．（2023?河南）如圖所示，我國(guó)兩艘海監(jiān)船A，B在南海海域巡航，某一時(shí)刻，兩船同時(shí)收到指令，立即前往救援遇險(xiǎn)拋錨的漁船C，此時(shí)，B船在A船的正南方向5海里處，A船測(cè)得漁船C在其南偏東45°方向，B船測(cè)得漁船C在其南偏東53°方向，已知A船的航速為30海里/小時(shí)，B船的航速為25海里/小時(shí)，問C船至少要等待多長(zhǎng)時(shí)間才干得到救援？（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）【解答】解：如圖作CE⊥AB于E．在Rt△ACE中，∵∠A=45°，∴AE=EC，設(shè)AE=EC=x，則BE=x﹣5，在Rt△BCE中，∵tan53°=，∴=，解得x=20，∴AE=EC=20，∴AC=20=28.2，BC==25，∴A船到C的時(shí)間≈=0.94小時(shí)，B船到C的時(shí)間==1小時(shí)，∴C船至少要等待0.94小時(shí)才干得到救援．20．（2023?河南）如圖，一次函數(shù)y=﹣x+b與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（m，3）和B（3，1）．（1）填空：一次函數(shù)的解析式為y=﹣x+4，反比例函數(shù)的解析式為y=；（2）點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，連接OP，若△POD的面積為S，求S的取值范圍．【解答】解：（1）將B（3，1）代入y=，∴k=3，將A（m，3）代入y=，∴m=1，∴A（1，3），將A（1，3）代入代入y=﹣x+b，∴b=4，∴y=﹣x+4（2）設(shè)P（x，y），由（1）可知：1≤x≤3，∴PD=y=﹣x+4，OD=x，∴S=x（﹣x+4），∴由二次函數(shù)的圖象可知：S的取值范圍為：≤S≤2故答案為：（1）y=﹣x+4；y=．21．（2023?河南）學(xué)?！鞍僮兡Х健鄙鐖F(tuán)準(zhǔn)備購(gòu)買A，B兩種魔方，已知購(gòu)買2個(gè)A種魔方和6個(gè)B種魔方共需130元，購(gòu)買3個(gè)A種魔方和4個(gè)B種魔方所需款數(shù)相同．（1）求這兩種魔方的單價(jià)；（2）結(jié)合社員們的需求，社團(tuán)決定購(gòu)買A，B兩種魔方共100個(gè)（其中A種魔方不超過50個(gè)）．某商店有兩種優(yōu)惠活動(dòng)，如圖所示．請(qǐng)根據(jù)以上信息，說明選擇哪種優(yōu)惠活動(dòng)購(gòu)買魔方更實(shí)惠．【解答】（按買3個(gè)A種魔方和買4個(gè)B種魔方錢數(shù)相同解答）解：（1）設(shè)A種魔方的單價(jià)為x元/個(gè)，B種魔方的單價(jià)為y元/個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：．答：A種魔方的單價(jià)為20元/個(gè)，B種魔方的單價(jià)為15元/個(gè)．（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種魔方m個(gè)（0≤m≤50），總價(jià)格為w元，則購(gòu)進(jìn)B種魔方（100﹣m）個(gè)，根據(jù)題意得：w活動(dòng)一=20m×0.8+15（100﹣m）×0.4=10m+600；w活動(dòng)二=20m+15（100﹣m﹣m）=﹣10m+1500．當(dāng)w活動(dòng)一＜w活動(dòng)二時(shí)，有10m+600＜﹣10m+1500，解得：m＜45；當(dāng)w活動(dòng)一=w活動(dòng)二時(shí)，有10m+600=﹣10m+1500，解得：m=45；當(dāng)w活動(dòng)一＞w活動(dòng)二時(shí)，有10m+600＞﹣10m+1500，解得：45＜m≤50．綜上所述：當(dāng)m＜45時(shí)，選擇活動(dòng)一購(gòu)買魔方更實(shí)惠；當(dāng)m=45時(shí)，選擇兩種活動(dòng)費(fèi)用相同；當(dāng)m＞45時(shí)，選擇活動(dòng)二購(gòu)買魔方更實(shí)惠．（按購(gòu)買3個(gè)A種魔方和4個(gè)B種魔方需要130元解答）解：（1）設(shè)A種魔方的單價(jià)為x元/個(gè)，B種魔方的單價(jià)為y元/個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：．答：A種魔方的單價(jià)為26元/個(gè)，B種魔方的單價(jià)為13元/個(gè)．（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種魔方m個(gè)（0≤m≤50），總價(jià)格為w元，則購(gòu)進(jìn)B種魔方（100﹣m）個(gè)，根據(jù)題意得：w活動(dòng)一=26m×0.8+13（100﹣m）×0.4=15.6m+520；w活動(dòng)二=26m+13（100﹣m﹣m）=1300．當(dāng)w活動(dòng)一＜w活動(dòng)二時(shí)，有15.6m+520＜1300，解得：m＜50；當(dāng)w活動(dòng)一=w活動(dòng)二時(shí)，有15.6m+520=1300，解得：m=50；當(dāng)w活動(dòng)一＞w活動(dòng)二時(shí)，有15.6m+520＞1300，不等式無解．綜上所述：當(dāng)m＜50時(shí)，選擇活動(dòng)一購(gòu)買魔方更實(shí)惠；當(dāng)m=50時(shí)，選擇兩種活動(dòng)費(fèi)用相同．22．（2023?河南）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀測(cè)猜想圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是PM=PN，位置關(guān)系是PM⊥PN；（2）探究證明把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=10，請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值．【解答】解：（1）∵點(diǎn)P，N是BC，CD的中點(diǎn)，∴PN∥BD，PN=BD，∵點(diǎn)P，M是CD，DE的中點(diǎn)，∴PM∥CE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案為：PM=PN，PM⊥PN，（2）由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同（1）的方法，運(yùn)用三角形的中位線得，PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，（3）如圖2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大時(shí)，△PMN的面積最大，∴DE∥BC且DE在頂點(diǎn)A上面，∴MN最大=AM+AN，連接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，∴MN最大=2+5=7，∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2=．23．（2023?河南