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一、可積的必要條件二、可積的充要條件三可積條件三、可積函數(shù)類一、可積的必要條件定理9.2若函數(shù)在上可積，則在上必定有界。證：（用反證法）。在上無界，則對于的任一分割T，必存在屬于T的某個小區(qū)間在上無界，在的各個小區(qū)間上任意取定并記若，使得：現(xiàn)對任意大的正數(shù)M，由于在上無界，故存在于是有：這與在上可積相矛盾，從而定理得證。注：任何可積函數(shù)一定是有界的，但有界函數(shù)卻不一定可積。例1證明狄理克雷函數(shù)在上有界但不可積。證顯然對于的任一分割，由有理數(shù)和無理數(shù)在實數(shù)中的稠密性，在屬于的任一小區(qū)間當取全為有理數(shù)時，當取全為無理數(shù)時，所以無論多么小，只要點集取法不同，全取有理數(shù)或全取無理數(shù)，積分和有不同極限，即在不可積二可積的的充要條件任給顯然有Riemann可積的第一充要條件

f(x)在[a,b]上Riemann可積其中：xi-1xixi-1xiRiemann可積的第二充要條件f(x)在[a,b]上Riemann可積其中：xi-1xiRiemann可積的第三充要條件

f(x)在[a,b]上Riemann可積

注：連續(xù)函數(shù)、只有有限個間斷點的有界函數(shù)和閉區(qū)間上的單調(diào)函

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