一階微分方程常見類型及解法_第1頁
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13-12023/2/7類型一、可分離變量微分方程第二節(jié)

一階微分方程

的常見類型及解法類型二、齊次方程類型四*、可用簡單變量代換求解的

微分方程類型三、一階線性微分方程

（含貝努利方程）13-22023/2/7分離變量

類型一、可分離變量的微分方程兩邊同時積分可分離變量的微分方程已分離變量的微分方程13-32023/2/7例1.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說明：在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.13-42023/2/7例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得由初始條件得C=1,故所求特解為13-52023/2/7類型二、齊次方程⑴令⑵代入原方程得⑷兩邊積分,得⑸積分后再用代替u,便得原方程的通解.求解步驟:⑶分離變量:13-62023/2/7例3.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(C

為任意常數(shù))。13-72023/2/7例4.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即(C

為任意常數(shù))13-82023/2/7類型三、一階線性微分方程若,若,稱為一階線性非齊次微分方程.稱為一階線性齊次微分方程;13-92023/2/71.解一階線性齊次微分方程分離變量得兩邊積分得故通解為13-102023/2/7對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解2.解一階線性非齊次微分方程常數(shù)變易法:則故原方程的通解【即即設(shè)通解兩端積分得】13-112023/2/7例5.解方程

解:原方程通解為13-122023/2/71.解伯努利方程①變形得②令③利用一階線性非齊次微分方程的方法求解，

并將變換回代。求解方法：即13-132023/2/7例6.解方程

解:原方程為是伯努利方程，13-142023/2/7類型四、可用簡單變量代換求解的微分方程

解題思路:13-152023/2/7例7.

求下列微分方程的通解:解:

令則故有即解得（C為任意常數(shù)）所求通解:13-162023/2/7例8.

求下列微分方程的通解13-172023/2/713-182023/2/713-192023/2/713-202023/2

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