題型專項(九)幾何圖形的綜合題種類1與三角形相關(guān)的幾何綜合題1．(2016·黃石)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2∠DAE＝2α.如圖1，若點D對于直線AE的對稱點為F，求證：△ADF∽△ABC；(2)222如圖2，在(1)的條件下，若α＝45°，求證：DE＝BD＋CE；(3)如圖3，若α＝45°，點E在BC的延伸線上，則等式222DE＝BD＋CE還可以建立嗎？請說明原因．解：(1)∵D，F(xiàn)對于直線AE對稱，AD＝AF，∠DAE＝∠FAE＝α.∴∠DAF＝2α＝∠BAC.ABAD又∵AC＝AF＝1，∴△DAF∽△BAC.∵∠DAF＝2α＝∠BAC，∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF.又∵AB＝AC，AD＝AF，∴△BAD≌△CAF.BD＝CF.∴∠ACF＝∠ABD＝45°.∴∠ECF＝90°.DE＝EF，2222∴DE＝EF＝EC＋CF，222∴DE＝BD＋CE.222(3)等式DE＝BD＋CE建立，原因：將△CAE順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△BAF.BF＝CE③，AF＝AE.∵∠ACE＝135°＝∠ABF，∠ABC＝45°，222∴∠FBD＝90°，即DF＝BF＋BD④.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，∠BAF＝∠CAE，∴∠BAF＋∠FAC＝∠CAE＋∠FAC＝2α.∴∠DAF＝∠FAE－∠DAE＝2α－α＝α.又∵AF＝AE，AD＝AD，∴△DAF≌△DAE即DF＝DE⑤.將③、⑤代入④式，得222DE＝BD＋CE.2．(2016·丹東)如圖1，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點M，N分別是斜邊AB，DE的中點，點P為AD的中點，連結(jié)AE，BD.猜想PM與PN的數(shù)目關(guān)系及地點關(guān)系，請直接寫出結(jié)論；現(xiàn)將圖1中的△CDE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)，獲得圖2，AE與MP，BD分別交于點G，H.請判斷(1)中的結(jié)論能否建立？若建立，請證明；若不建立，請說明原因；(3)若圖2中的等腰直角三角形變?yōu)橹苯侨切?，?/p>

BC＝kAC，CD＝kCE，如圖

3，寫出PM與PN的數(shù)目關(guān)系，并加以證明．解：(1)PM＝PN，PM⊥PN.結(jié)論PM＝PN，PM⊥PN依舊建立．證明：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°.∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE.∴∠ACE＝∠BCD.∴△ACE≌△BCD.∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD.令A(yù)E與BC交于點O.∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD，∴∠BHO＝∠ACO＝90°.∵點P，M，N分別為AD，AB，DE的中點，11PM＝2BD，PM∥BD；PN＝2AE，PN∥AE.PM＝PN.∴∠MGE＋∠BHA＝180°.∴∠MGE＝90°.∴∠MPN＝90°.PM⊥PN.(3)PM＝kPN.證明：∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB＝∠ECD＝90°.∴∠ACB＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE.∴∠ACE＝∠BCD.BCCDBC＝kAC，CD＝kCE，∴＝＝k.ACCE∴△BCD∽△ACE.∴BD＝kAE.∵點P，M，N分別為AD，AB，DE的中點，11∴PM＝2BD，PN＝2AE.PM＝kPN.13．(2016·重慶B卷)已知△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，CD＝2BC，DE⊥CE，DE＝CE，連結(jié)AE，點M是AE的中點．如圖1，若點D在BC邊上，連結(jié)CM，當(dāng)AB＝4時，求CM的長；如圖2，若點D在△ABC的內(nèi)部，連結(jié)BD，點N是BD中點，連結(jié)MN，NE，求證MN⊥AE；如圖3，將圖2中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，使∠BCD＝30°，連結(jié)BD，點N是MNBD中點，連結(jié)MN，探究的值并直接寫出結(jié)果．AC解：(1)∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，1CD＝2BC，2CD＝BD＝AD＝2AB＝22.DE＝CE，DE⊥CE，2DE＝CE＝2CD＝2，∠DCE＝45°.∴∠ACE＝90°.∵點M是AE的中點，112CM＝2AE＝2AC＋CE＝5.延伸EN到NF，使NE＝NF，連結(jié)BF，AF，在△FBN和△EDN中，F(xiàn)N＝EN，F(xiàn)NB＝∠END，BN＝DN，∴△FBN≌△EDN.BF＝DE＝CE，∠FBN＝∠NDE.∴∠ACE＝90°－∠DCB，∠ABF＝∠BDE－∠ABN＝∠180°－∠DBC－∠DCB－∠EDC－∠ABN＝180°－(∠DBC＋∠ABN)－45°－∠DCB＝90°－∠DCB.∴∠ACE＝∠ABF，∴△ABF≌△ACE.∴∠FAB＝∠EAC.∴∠FAE＝∠BAC＝90°.∵M(jìn)N∥AF，∴MN⊥AE.MN7＝.AC44．(2016·沈陽)在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，獲得△ADE，旋轉(zhuǎn)角為α(0°＜α＜180°)，點B的對應(yīng)點為點D，點C的對應(yīng)點為點E，連結(jié)BD，BE.如圖，當(dāng)α＝60°時，延伸BE交AD于點F.①求證：△ABD是等邊三角形；②求證：BF⊥AD，AF＝DF；③請直接寫出BE的長；在旋轉(zhuǎn)過程中，過點D作DG垂直于直線AB，垂足為點G，連結(jié)CE，當(dāng)∠DAG＝∠ACB，且線段DG與線段AE無公共點時，請直接寫出BE＋CE的值．解：(1)①∵證明：△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°獲得△ADE，AB＝AD，∠BAD＝60°.∴△ABD是等邊三角形．②證明：∵△ABD是等邊三角形，∴AB＝BD.∵△A