軟計算10→蘊含：若---則---P→Q：如果P則Q不是獨立算子，可以表達為：P→Q←→┐P∨Q=（1-P）∨Q定義：P→Q為假，當且僅當P為真而Q為假P：天下雨Q：地濕P→Q：天下雨地就濕←→等價：當且僅當定義：P←→Q=（P→Q）∧（Q→P）=（（1-P）∨Q）∧（（1-Q）∨P）P：m是偶數(shù)Q：m2是偶數(shù)——P←→Q：m是偶數(shù)當且僅當m2是偶數(shù)3）推理規(guī)則命題是將自然語言抽象為嚴格的形式語言更重要的是如何用這種形式語言進行推理，即研究如何通過各種已知的條件（前提），通過某些推理規(guī)則得出一些新的結論最常用的推理規(guī)則有兩個：取式、拒取式取式：即所謂假言推理含義：當P→Q為真且P為真時，可推出Q為真的結論即：（P∧（P→Q））→Q1）P（前提）2）P（前件）→Q（后件）結論：Q前提與前件、后件與結論分別是相同的一件事拒取式：取式的對偶形式含義：當P→Q為真且Q為假時，可推出P必為假的結論即：（┐Q∧（P→Q））→┐P1）┐Q（前提）2）P（前件）→Q（后件）結論：┐P如，P→Q：天下雨地就濕

┐Q：地未濕

┐P：天未下雨2、模糊邏輯從普通邏輯中派生出來的。最大的不同在于：所處理的命題為模糊命題1）模糊命題：xisAA是模糊的，須用模糊集合表達如，P：廣州是一個大城市

Q：中國人口多P、Q的真值無法簡單確定，只能說“比較真”、“非常假”等，或者說P或Q的真值只可取閉區(qū)間[0，1]間的任意值2）修飾詞算子m：P’=xismAP’：廣州是一個稍微大的城市Q’：中國人口非常多m對模糊命題的操作，實際上是對命題的謂語中的模糊集的操作極A=A4，非常A=A2，較A=A1/2

稍A=A1/4，不A=1-A，┐A：NOTA修飾詞算子是對模糊命題的一元運算AND，OR等是對模糊命題的二元運算3）模糊命題間的二元運算模糊命題間的二元運算的結果較普通命題間的運算具有更豐富的含義如，普：“這件衣服不大”和“這件衣服不小”：合取的結果是假模糊：“這件衣服不大”，“這件衣服不小”，進行AND運算的結果：這件衣服不大且不小或：這件衣服大小適中——模糊集xisA，xisB——二元運算——xisCC——一個新的模糊集模糊命題的運算，實際上是模糊集合間的運算若二個命題主題其主語指同一事物：xisAANDxisB=xisA∩BxisAORxisB=xisA∪B如，x大但并非很大——xisBANDNOTxisB2=xisB∩（1-B2）B——大若二個命題主題其主語指兩個事物：他胖且高，不能直接進行交、并的運算：xisAANDyisB=（x，y）isA×B其中，X、Y分別是A、B的論域。A×B是一個模糊集合，論域為X×Y，且定義：μA×B（x，y）=μA（x）∧μB（y）3）模糊關系與模糊命題的聯(lián)系A∩B、A∪B、A×B等均為二維空間中的模糊集合，而二元模糊關系也可用定義在二維空間中的模糊集合表示事實上，如“x比y大許多”，“x與y大致相等”等模糊關系，本質上就是一些模糊命題模糊關系與模糊命題的最重要的聯(lián)系在于：可以用模糊關系描述模糊命題間的蘊含運算“→”“→”：模糊控制中最重要的一種運算；“→”與模糊規(guī)則的形式完全一致：IF---THEN---ifxisAthenyisB，等價于：xisA→yisB一般，模糊命題的模糊運算可表達為一個模糊關系R：xisA→yisB等價于：（x，y）isR——模糊關系蘊涵運算沒有公認的明確的定義由A、B構成R的算法有許多。常用的有：R1=A×B：在模糊控制中被廣泛應用表達的是“μA×B（x，y）=μA（x）∧μB（y）”所描述的集合間的“AND”運算關系。R2=┐A+B，與蘊涵表達式：P→Q←→┐P∨Q非常類似只是二值與多值的區(qū)別R3=（A×B）∪（┐A×Y）：用來表達“如果x為A，則y為B”的蘊涵關系最為貼切。而（┐A×Y）表達了隱含命題：“如果x不為A，則y為---”一般可以記R為A→B：所以：xisA→yisB等價于：（x，y）isA→B4）模糊邏輯的基本運算模糊邏輯“補”：┐P=1-P模糊邏輯“取小”：P∧Q=min（P，Q）模糊邏輯“取大”：P∨Q=max（P，Q）模糊邏輯“蘊涵”：P→Q=（（1-P）∨Q）∧1模糊邏輯“等價”：P←→Q=（P→Q）∧（Q→P）此外，為模糊邏輯運算又定義了三種限界運算模糊邏輯“限界積”：P⊙Q=（P+Q-1）∨0=max（P+Q-1，0）模糊邏輯“限界和”：P⊕Q=（P+Q）∧1=min（P+Q，1）模糊邏輯“限界差”：P-Q=（P-Q）∨03、模糊語言變量及模糊語言算子模糊語言變量：語言變量用一個有五個元素的集合（X，T（X），U，G，M）來表征X：語言變量名；如“速度”T（X）：語言變量X的項集合，即語言變量語言值名的集合，且每個值都是定義在U上的模糊數(shù)xi；如：“T（速度）={很慢、慢、較慢、中等、較快、快、很快}”U：語言變量x的論域；如U=[0，120]KM/H；G：產生x數(shù)值名的語言值規(guī)則（語法規(guī)則），用于產生語言變量值M：與每個語言變量含義相聯(lián)系的算法規(guī)則（語意規(guī)則）它們的相互關系可利用圖來表示模糊語言算子：1）語氣算子：HλA=AλH2：很、非常；H4：極、非常非常H1/2：較、相當；H1/4：稍、略微λ大于1，稱為集中化算子，使模糊值的隸屬度的分布向中央集中，在圖形上，有使模糊值尖銳的傾向。值越大，隸屬函數(shù)曲線越尖銳λ小于1，稱為松散化算子，使模糊值的隸屬度的分布由中央向兩邊彌散，在圖形上，有使模糊值平坦化的傾向。值越小，隸屬函數(shù)曲線越平坦例2）模糊化算子：大約、近似。其作用是把肯定轉化為模糊對數(shù)字進行作用，就把精確數(shù)轉化為模糊數(shù)。如，精確數(shù)2，“大約2”為模糊數(shù)對模糊值進行作用，就使模糊值更模糊如“年輕”，“大約年輕”，更模糊了3）判定化算子：與模糊化算子的作用相反傾向于、偏向于等。其作用是可把模糊值進行肯定化處理。對模糊值作出傾向性判斷。其處理方法有點類似于“四舍五入”。常把隸屬度為0.5作為分界來判斷第六節(jié) 模糊推理1、什么是模糊推理是不確定性推理方法的一種，基礎是模糊邏輯，它是在二值邏輯三段論的基礎上發(fā)展起來的是一種以模糊判斷為前提，運用模糊語言規(guī)則，推出一個新的近似的模糊判斷結論的方法模糊推理是基于模糊關系合成的一種運算直接推理例子：例1：大前提：漂亮就是美麗 小前提：王小姐是個漂亮姑娘結論：王小姐是個美麗的姑娘“漂亮”“美麗”都是模糊概念但大前提中的前件和后件是明確等價的，所以可以直接替換，是一種直接推理，推理過程并無模糊性，與精確推理并無兩樣不是模糊推理！例2：大前提：友好是一種對稱的關系小前提：小王和小李友好結論：小李和小王友好“友好”是模糊關系概念，但由于它是明確對稱關系，所以從前提可以直接推理得到結論，并且推理過程并無模糊性，與精確推理是一樣的由此可見，若前提中雖用的是模糊概念，但可用直接推理方法得到結論的，實質仍是精確推理間接推理例子：例3：大前提：健康則長壽小前提：周先生健康 結論：周先生長壽 “健康”“長壽”都是模糊概念，但大前提的前件和小前提中的模糊判斷嚴格相同，而結論則與大前提中的后件嚴格相同，所以推理過程也無模糊性，其實質與傳統(tǒng)的邏輯推理一樣也不是模糊推理！！例4：大前提：健康則長壽小前提：老王很健康結論：老王似乎會很長壽小前提中的模糊判斷和大前提的前件不是嚴格相同，而是相近，有程度上的差別；其結論也應該與大前提中的后件相近通常又稱為假言推理或似然推理可見，決定是不是模糊邏輯推理，并不是看前提和結論中是否使用模糊概念而是看推理過程是否具有模糊性是模糊推理！2、模糊推理的直接法：即由A→B和A’直接推出結論B’：大前提：A→B 如果x是A，那么y是B小前提：A’現(xiàn)在x是A’ 結論：B’ 那么y是B’=A’·(A→B)結論B’可用A’與由A到B的推理關系進行合成而得到圖A與A’可以有差異，正因為如此，B與B’也不盡相同，充分體現(xiàn)了模糊的影響直接法是模糊控制使用最廣的方法對于如下形式模糊關系的合成：AX，RX×YB=R·A令X=[x1，x2，...xn]，Y=[y1，y2，...ym]A=∑j=1，naj/xj，B=∑i=1，mbi/yiR=∑i=1，m∑j=1，nrij/（xj，yi），rij=μR（xj，yi）——（xj，yi）對R的隸屬度μB（yi）=∨j=1，n[μR（xj，yi）∧μA（xj）]令bi=μB（yi），rij=μR（xj，yi），aj=μA（xj）則有：bi=∨j=1，n[rij∧aj]，i=1...m可寫成矩陣形式:A=（a1a2...an），B=（b1b2...bm）R=[rij]m×nb1r11……r1na1b2r21…..r2na2=………bmrm1……rmnan∨——+；∧——·直接法的主要運算依據(jù)為模糊關系的合成運算：B’=A’·（A→B）A’越接近于A，B’就將越接近于B一般，A和A’，B和B’并不一致，若一致，就退化為確定性推理了A→B可寫成RA→B，其隸屬函數(shù)可定義為：μA→B（x，y）=μA（x）→μB（y）則B’=A’·（A→B）的隸屬函數(shù)為μB’(y)=∨x{μA’（x）∧μA→B（x,y）}=∨x{μA’（x）∧[μA（x）→μB（y）]}合成運算的實現(xiàn)有各種不同方法，這決定于對蘊含運算的定義。如R1=A×B：表達的是“μA×B（x，y）=μA（x）∧μB（y）”R2=（A×B）∪（┐A×Y）：用來表達“如果x為A，則y為B”的蘊涵關系R3=┐A+B：返回與蘊涵表達式非常類似：P→Q←→┐P∨Q例：“若晴則暖”：A：晴天；B：暖和利用R3=┐A+B：推理圖B’=A’·（A→B）可以看作：B’=A’·R圖不同的R，則得到不同的推理結果。當A為正規(guī)時，若使用R1進行模糊推理，則無論B為任何值，均可由A、推出B的結論，而R2、R3卻不一定例扎德推理扎德：（A→B）=1∧（1-A+B）or：（A→B）=（A∧B）∨（1-A）則：μA→B（x，y）=μA（x）→μB（y）=[μA（x）∧μB（y）]∨[1-μA（x）]把x，y代入上式，若X論域上有m個元素，Y論域上有n個元素，則可得到m行n列的模糊矩陣：μA→B(x，y)=[μA→B（xi，yj）]m×n，i=1,…,m,j=1,…..,n例馬達尼推理方法在模糊控制中用得最多馬達尼：（A→B）=A∧BμA→B（x，y）=μA（x）→μB（y）

=[μA（x）∧μB（y）]馬達尼推理過程：μB’（y）=∨x{μA’（x）∧[μA（x）∧μB（y）]}=∨x{μA’（x）∧μA（x）}∧μB（y）=a∧μB（y）a=∨x{μA’（x）∧μA（x）}，是指模糊集合A與A’交集的高度a=Height（A∩A’）可以看成是A’對A的適配程度即隸屬度結論B’可用此適配度a與模糊集合B’進行模糊“與”即取小運算而得到在圖形上，就是用a去切割B，便可得到推理結果所以馬達尼推理方法又形象地被稱為削頂法若A與A’完全一致，則a=1，結論B’與B完全一致馬達尼推理圖例：設在論域T（溫度）={0，20，40，60，80，100}，P（壓力）={1，2，3，4，5，6，7}上定義模糊子集的隸屬函數(shù)：μA（溫度高）=0/0+0.1/20+0.3/40+0.6/60+0.85/80+1/100μB（壓力大）=0/1+0.1/2+0.3/3+0.5/4+0.7/5+0.85/6+1/7現(xiàn)在的條件是：如果溫度高，那么壓力就大那么，當溫度較高時，壓力如何？根據(jù)經驗，可定義溫度較高的隸屬函數(shù)為：μA’（溫度較高）=0.1/0+0.15/20+0.4/40+0.75/60+1/80+0.8/100則可計算A’對A的隸屬度aa=Height（A∩A’）=Height(0∧0.1/0+0.1∧0.15/20+0.3∧0.4/40+0.6∧0.75/60+0.85∧1/80+1∧0.8/100)=Height(0/0+0.1/20+0.3/40+0.6/60+0.85/80+0.8/100)=0.85用0.85去切割B隸屬函數(shù)：μB’（壓力）=a∧μB（壓力大）=0.85∧(0/1+0.1/2+0.3/3+0.5/4+0.7/5+0.85/6+1/7)=(0/1+0.1/2+0.3/3+0.5/4+0.7/5+0.85/6+0.85/7)對比“壓力大”的隸屬函數(shù)，可認為此式為“壓力較大”的隸屬函數(shù)用模糊語言來表達，推理結論就是“壓力較大”，這與我們平常的推理結果相一致說明這種模糊推理方法是一種實用的近似推理方法3、模糊條件推理如果什么什么，那么怎么怎么，否則怎么怎么：用語言規(guī)則表示，即：如果是A，那么是B，否則是C其邏輯表達式是：（A→B）∨（A-→C）A是論域X上的模糊子集，B、C是論域Y上的模糊子集圖（A→B）∨（A-→C）表達的模糊關系R是X×Y上的子集：R=（A×B）∪（A-×C）或R=（A×B）+（A-×C）則：μR（x，y）=μA→B∪A-→C（x，y）=[μA（x）∧μB（y）]∨[（1-μA（x））∧μC（y）]，則B’=A’·R=A’·[(A×B）∪（A-×C）]OR=A’·[(A→B）∨（A-→C）]例4、多輸入模糊推理如果A且B，那么C

現(xiàn)在A’且B’結論：那么C’A和A’、B和B’、C和C’分別是不同論域X、Y、Z上的模糊集合A且B，即AANDB，其意義是：μAandB（x，y）=μA（x）∧μB（y）“如果A且B，那么C”的數(shù)學表達式是：μA（x）∧μB（y）→μC（z）按照mamdani推理方法，定義：A→B=A∧B，則上式變成：[μA（x）∧μB（y）]∧μC（z）由此，得到推理結果為：C’=(A’ANDB’)·[(AANDB)→C]其隸屬函數(shù)為：μC’（z）=∨x{μA’（x）∧[μA（x）∧μC（z）]}∩∨x{μB’（y）∧[μB（y）∧μC（z）]}=∨x{μA’（x）∧μA（x）}∧μC（z）∩∨x{μB’（y）∧μB（y）}∧μC（z）=（aA∧μC（z））∩(aB∧μC（z））=（aA∧aB

）∧μC（z）即分別求出A’對A，B’對B的隸屬度aA

，、aB，并取這二者之中小的一個值作為總的模糊推理前件的隸屬度再以此為基準去切割推理后件的隸屬函數(shù)，便得到結論C’圖兩輸入的情況很容易推廣到多輸入的情況。只要分別先求出各輸入對推理前件中相應條件的隸屬度，再取其中最小的一個作為總的模糊推理前件的隸屬度，去切割推理后件的隸屬函數(shù)，便可得到推理的結論5、多輸入多規(guī)則推理以兩輸入多規(guī)則情況為例,設有n條規(guī)則 如果A1

且B1，那么C1否則如果A2

且B2，那么C2否則 如果A3

且B3，那么C3 --------否則 如果An

且Bn，那么Cn

現(xiàn)在A’且B’

結論：那么C’Ai和A’、Bi和B’、Ci和C’分別是不同論域X、Y、Z上的模糊集合Ai且Bi，即AiANDBi，其意義是：μAiandBi（x，y）=μAi（x）∧μBi（y）“如果Ai且Bi，那么Ci”的數(shù)學表達式是：μAi（x）∧μBi（y）→μCi（z）按照mamdani推理，定義：A→B=A∧B，則上式變成：[μAi（x）∧μBi（y）]∧μCi（z）“否則”的意義是“OR”即“或”，在推理過程中可寫成并集形式，則推理結果為：C’=(A’ANDB’)·{[(A1ANDB1)→C1]∪….∪[(AnANDBn)→Cn]}=C’1∪C’2∪…….∪C’n其中C’i=(A’ANDB’)·[(AiANDBi)→Ci]=[A’·(Ai→Ci)]∩[B’·(Bi→Ci)]其隸屬函數(shù)為：μCi’（z）=∨x{μA’（x）∧[μAi（x）∧μCi（z）]}∩∨x{μB’（y）∧[μBi（y）∧μCi（z）]}=∨x{μA’（x）∧μAi（x）}∧μCi（z）∩∨x{μB’（y）∧μBi（y）}∧μCi（z）=（aAi∧μCi（z））∩(aBi∧μCi（z））=（aAi∧aBi

）∧μCi（z）i=1,2,…..n如果有兩條兩輸入規(guī)則，那么得到兩個結論：μC’1（z）=（aA1∧aB1

）∧μC1（z）μC’2（z）=（aA2∧aB2

）∧μC2（z）其意義為分別從不同的規(guī)則得到不同的結論，幾何意義是分別在不同規(guī)則中，用各自模糊推理前件的總隸屬度，去切割本推理規(guī)則中后件的隸屬函數(shù)，得到輸出結果再對這所有的結論求模糊邏輯和（并）運算，便得到總的推理結論，即：

C’=C’1∪C’2∪…….∪C’n圖這種推理方法簡單，得到廣泛的應用。但缺點是其推理結果經常不夠平滑為此，有人主張把從推理前件到后件削頂法的“與”運算改成“代數(shù)乘”運算，這樣得到的推理結論就不呈平臺梯形，而是原隸屬函數(shù)的等底縮小圖這種處理的結果經過對各個規(guī)則結論“并”運算后，總推理結果的平滑性得到改善。前一種方法稱為“邏輯與——邏輯與——邏輯或”方法圖后一種方法稱為“邏輯與——代數(shù)乘——邏輯或”方法圖例子——汽車拐彎時的駕駛汽車在拐彎時的駕駛為例1）、描述規(guī)則假設使用四條規(guī)則（實際情況復雜得多）：規(guī)則1：如果彎小，且車速小，則速度不變；規(guī)則2：如果彎小，且車速大，則減速；規(guī)則3：如果彎大，且車速小，則加速；規(guī)則4：如果彎大，且車速大，則速度不變；2）、將語言變量用隸屬函數(shù)表現(xiàn)規(guī)則大多是用語言來表示的，進行模糊控制時必須從語言變換為數(shù)值隸屬函數(shù)就能實現(xiàn)該功能如彎的大小，用半徑表示，可分成彎大、彎小同樣，車速低、車速高、提速、減速的隸屬函數(shù)都可作出圖3）、求對于輸入的各規(guī)則的推理結果假設彎半徑為60M，車速為50KM/H4）、從各規(guī)則的推理結果求最終推理結果

圖6、解模糊判決法通過模糊推理得到的結果是一個模糊集合或隸屬函數(shù)但在實際應用時，特別是在模糊控制中，必須要得到一個確定的值才行在推理得到的模糊集合中取一個相對最能代表這個模糊集合的單值的過程，就是解模糊判決解模糊判決可以采用不同的方法，用不同的方法所得到的結果也是不同的理論上用重心法比較合理，但計算較復雜，對實時性要求高的系統(tǒng)不宜采納最簡單的方法是最大隸屬度方法，這種方法取所有模糊集合或隸屬函數(shù)中隸屬度最大的那個值作為輸出，但該方法沒顧及到其他隸屬度較小的值的影響，代表性不好，故常用于簡單的系統(tǒng)介于這2者之間的還有各種平均法，如加權平均法、隸屬度限幅元素平均法，等1）重心法：取模糊隸屬度函數(shù)曲線與橫坐標軸圍成面積的重心作為代表點：u=∫xμN（x）dx/∫μN（x）dx但實際上，我們是通過計算輸出范圍內整個采樣點的重心：u=∑xi·μN（xi）/∑μN（xi）2）最大隸屬度法這種方法最簡單。只要在推理結論的模糊集合中取隸屬度最大的那個元素作為輸出量即可如果該隸屬函數(shù)是梯形平頂?shù)模敲淳哂凶畲箅`屬度的元素可能不止一個，這時就要對這所有取最大隸屬度的元素求其平均值3）系數(shù)加權平均法u=∑ki·xi/∑ki系數(shù)ki的選擇要根據(jù)實際情況而定，不同的系數(shù)就決定系統(tǒng)有不同的響應特性當ki=μN（xi）時，就是重心法4）隸屬度限幅元素平均法用所確定的隸屬度值α對隸屬度函數(shù)曲線進行切割，再對切割后等于該隸屬度的所有元素進行平均，用這個平均值作為輸出執(zhí)行量，這種方法就稱為隸屬度限幅α-cut元素平均法例：假設“水溫適中”的隸屬度函數(shù)為：μN（xi）={X：0.0／0十0.0／10十0.33／20十0.67／30十1.0／40十1.0／50十0.75／60十0.5／70十0.25／80十0.0／90十0.0／100}利用重心法，則：u=(0·0.0十10·0.0十20·0.33十30·0.67十40·1.0十50·1.0十60·0.75