第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1.4線(xiàn)性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性變換及其標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程建立的過(guò)程，無(wú)論是從實(shí)際物理系統(tǒng)出發(fā)，從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā)，還是從系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)，在狀態(tài)變量的選取方面都帶有很大的人為的隨意性，因此會(huì)得出不同的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程。2/6/202311.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

實(shí)際物理系統(tǒng)雖然結(jié)構(gòu)不可能變化，但不同的狀態(tài)變量取法就產(chǎn)生不同的動(dòng)態(tài)方程；

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖在取狀態(tài)變量之前需要進(jìn)行等效變換，而等效變換過(guò)程就有很大程度上的隨意性，因此會(huì)產(chǎn)生一定程度上的結(jié)構(gòu)差異，這也會(huì)導(dǎo)致動(dòng)態(tài)方程差異的產(chǎn)生；

從系統(tǒng)微分方程或傳遞函數(shù)出發(fā)的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題，更是會(huì)導(dǎo)致迥然不同的系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生，因而也肯定產(chǎn)生不同的動(dòng)態(tài)方程。同一系統(tǒng)選取不同的狀態(tài)變量便有不同形式的動(dòng)態(tài)方程。2/6/202321.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1）系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性為什么要進(jìn)行線(xiàn)性變換？①說(shuō)明狀態(tài)變量不同，但實(shí)際可以通過(guò)線(xiàn)性變換互相轉(zhuǎn)換；選擇不同的狀態(tài)變量，會(huì)得到不同的狀態(tài)空間表達(dá)式。實(shí)質(zhì)上不同的狀態(tài)變量可以通過(guò)非奇異交換實(shí)現(xiàn)。

②交換成標(biāo)準(zhǔn)形式可使后面的研究簡(jiǎn)化。2/6/202331.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式我們總可以找到任意一個(gè)非奇異矩陣，將原狀態(tài)矢量作線(xiàn)性變換，得到另一狀態(tài)矢量，設(shè)給定系統(tǒng)為:

設(shè)變換關(guān)系為:即代入上式，得到新的狀態(tài)空間表達(dá)式：

2/6/202341.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式由于為任意非奇異矩陣，故狀態(tài)空間表達(dá)式為非唯一的。通常稱(chēng)為變換矩陣。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線(xiàn)性變換的目的在于使陣規(guī)范化，以便于揭示系統(tǒng)特性及分析計(jì)算。其理論依據(jù)是非奇異變換不會(huì)改變系統(tǒng)原有的性質(zhì)。

對(duì)于上式，系統(tǒng)特征值為的根，經(jīng)過(guò)線(xiàn)性變換后為，則特征值為，而

2/6/202351.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式故有等價(jià)變換之稱(chēng)。待獲得所需結(jié)果以后，再引入反變換關(guān)系，換算回到原來(lái)的狀態(tài)空間中去，得出最終結(jié)果。2/6/202361.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式例:

若系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為:

即解：若取變換矩陣則變換后的狀態(tài)矢量將為即亦即新的狀態(tài)變量是原始狀態(tài)變量的線(xiàn)性組合。2/6/202371.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式從而得交換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為2/6/202381.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式書(shū)本例2）、3）舉了其他交換矩陣下（我們也可舉出任意的非奇異矩陣），可以得到不同的狀態(tài)空間表達(dá)式。2/6/202391.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2/6/2023101.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2/6/2023111.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2/6/2023121.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式原狀態(tài)空間表達(dá)式---------對(duì)角線(xiàn)型2/6/2023131.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2）系統(tǒng)特征值和特征向量（預(yù)備知識(shí)）n×n維系統(tǒng)矩陣A的特征值是下列特征方程的根：這些特征值也為稱(chēng)特征根。例如，考慮下列矩陣A：特征方程為：這里A的特征值就是特征方程的根，即-1、-2和-3。2/6/2023141.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型的對(duì)應(yīng)于特征值一非零向量，使

定義：設(shè)第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2）系統(tǒng)特征值和特征向量（預(yù)備知識(shí)）是一個(gè)的矩陣，若在向量空間中存在,則稱(chēng)為的特征值，任何滿(mǎn)足的非零向量稱(chēng)為的特征向量。（1）特征值的計(jì)算【例】求下列矩陣的特征值。2/6/2023151.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式解：

解出特征值，，2/6/2023161.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（2）特征向量的計(jì)算【例】求下列矩陣的特征向量。

解：（1）的特征值在上例中已求出，，2/6/2023171.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（2）計(jì)算對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，有。

設(shè)，即有:計(jì)算整理后有：

2/6/2023181.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式令：，則解出：（3）同理可算出的特征向量：的特征向量:2/6/2023191.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型線(xiàn)性定常系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后，特征多項(xiàng)式不變特征方程不變傳遞函數(shù)不變

第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2/6/2023201.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

動(dòng)態(tài)方程的可逆線(xiàn)性變換其中P是n×n矩陣2/6/2023211.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式?jīng)]有改變。2/6/2023221.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣沒(méi)有改變2/6/2023231.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

【例】設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求系統(tǒng)的特征方程和特征值。2/6/2023241.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

解：系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根為-1、-2和-3。矩陣A的特征值也為-1、-2和-3。兩者是一樣的。2/6/2023251.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

【例】對(duì)前面例子之系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換，其變換關(guān)系為

試求變換后系統(tǒng)的特征方程和特征值。2/6/2023261.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

解：

根據(jù)題意求變換矩陣代入2/6/2023271.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

特征方程為特征值為-1，-2，-3，與上例結(jié)果相同?？傻?/6/2023281.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型即則必存在非奇異矩陣T，經(jīng)過(guò)變換，狀態(tài)方程化為對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型。第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式3）狀態(tài)空間表達(dá)式變換為對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型定理：對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng)，如果其特征值是兩兩相異的，a)系數(shù)矩陣A具有任意形式2/6/2023291.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式其中如果特征值包含有q個(gè)重根時(shí)，則將狀態(tài)方程化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型2/6/2023301.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式證明：①先證特征值無(wú)重根設(shè)λ是A的n個(gè)互異特征根，是A對(duì)應(yīng)于這些特征值的特征矢量。由于特征值互異，故特征矢量線(xiàn)性無(wú)關(guān)。它們構(gòu)成的矩陣必為非奇異，即存在。由特征矢量的意義：2/6/2023311.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式兩端左乘從而，證得經(jīng)非奇異矩陣T變換后，系統(tǒng)矩陣為對(duì)角矩陣2/6/2023321.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式解：A的特征值互異，則變換矩陣[例]試將下列方程變換為對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型2/6/2023331.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式則經(jīng)變換后各有關(guān)矩陣分別為2/6/2023341.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式為2/6/2023351.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（b）A為陣為標(biāo)準(zhǔn)型，即為友矩陣2/6/2023361.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式⑴A的特征值無(wú)重根時(shí)，其變換矩陣是一個(gè)范德蒙德（Vandermonde）矩陣，如下所示：2/6/2023371.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式⑵A的特征值有重根時(shí)，以有的三重根為例：2/6/2023381.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式得2/6/2023391.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式【例】試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。

2/6/2023401.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2/6/2023411.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式4）狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型（1）約當(dāng)塊和約當(dāng)陣約當(dāng)塊：、的矩陣，形如2/6/2023421.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式由若干個(gè)約當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角線(xiàn)矩陣稱(chēng)為約當(dāng)矩陣：

2/6/2023431.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如果A陣具有重實(shí)特征根，又可分為兩種情況：①A陣雖有重特征值，但矩陣A仍然有n個(gè)獨(dú)立的特征向量。這種情況同特征值互異時(shí)一樣，仍可以把A化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。②另一種情況是矩陣A不但具有重特征值，而且其獨(dú)立特征向量的個(gè)數(shù)也低于n。對(duì)于這種情況，A陣雖不能變換為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型，但可以變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。2/6/2023441.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

2/6/2023451.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式②當(dāng)A的特征值包含m個(gè)重根時(shí)2/6/2023461.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式②當(dāng)A的特征值包含m

個(gè)重根時(shí)---A為一般形式不加證明地給出變換矩陣T：其中，是對(duì)應(yīng)于(n-m)個(gè)單根的特征矢量，求法同前，對(duì)應(yīng)于m個(gè)重根的各向量的求得，應(yīng)根據(jù)下式計(jì)算顯然，仍為對(duì)應(yīng)的特征矢量，其余則稱(chēng)之為廣義特征矢量。2/6/2023471.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式【例】試將下列動(dòng)態(tài)方程變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。

2/6/2023481.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2/6/2023491.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2/6/2023501.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2/6/2023511.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2/6/2023521.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2/6/2023531.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2/6/2023541.4狀態(tài)空間表達(dá)式的線(xiàn)性系統(tǒng)及標(biāo)準(zhǔn)型③設(shè)A為友矩陣，具有m重實(shí)特征值，第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式且只有一個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量與之對(duì)應(yīng)，則使A化為約當(dāng)陣J的變換陣P為：