第8章彎曲變形§8.1

梁的撓度和轉(zhuǎn)角§8.2梁的撓曲線近似微分方程及其積分§8.3疊加法求梁的位移§8.4梁的剛度條件及提高梁剛度的措施

8.1.1工程中的彎曲變形問題（觀看動(dòng)畫1.2

）§8.1

梁的撓度和轉(zhuǎn)角

但在另外一些情況下,有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形,以滿足特定的工作需要.

例如,車輛上的板彈簧,要求有足夠大的變形,以緩解車輛受到的沖擊和振動(dòng)作用.§8.1

梁的撓度和轉(zhuǎn)角（1）撓度

橫截面形心C（即軸線上的點(diǎn)）在垂直于x軸方向的線位移,稱為該截面的撓度.用w表示.§8.1

梁的撓度和轉(zhuǎn)角

8.1.2彎曲變形——撓度和轉(zhuǎn)角（2）轉(zhuǎn)角

橫截面對(duì)其原來(lái)位置的角位移,稱為該截面的轉(zhuǎn)角.用表示?！?.1

梁的撓度和轉(zhuǎn)角（3）撓曲線

梁變形后的軸線稱為撓曲線..式中,x

為梁變形前軸線上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo),w

為該點(diǎn)的撓度

撓曲線方程為§8.1

梁的撓度和轉(zhuǎn)角（4）撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系§8.1

梁的撓度和轉(zhuǎn)角（5）撓度和轉(zhuǎn)角符號(hào)的規(guī)定

撓度向下為正,向上為負(fù).

轉(zhuǎn)角自x轉(zhuǎn)至切線方向,逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正,順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù).§8.1

梁的撓度和轉(zhuǎn)角8.2.1梁的撓曲線近似微分方程推導(dǎo)公式1.純彎曲時(shí)曲率與彎矩的關(guān)系

橫力彎曲時(shí),M

和都是x的函數(shù).略去剪力對(duì)梁的位移的影響,則§8.2

梁的撓曲線微分方程及其積分2.由數(shù)學(xué)得到平面曲線的曲率§8.2

梁的撓曲線微分方程及其積分§8.2

梁的撓曲線微分方程及其積分再注意到在圖示坐標(biāo)系中，負(fù)彎矩對(duì)應(yīng)于正值w"

，正彎矩對(duì)應(yīng)于負(fù)值的w"，故從上列兩式應(yīng)有由于梁的撓曲線為一平坦的曲線，上式中的w2與1相比可略去，于是得撓曲線近似微分方程

此式稱為

梁的撓曲線近似微分方程

近似原因:（1）略去了剪力的影響;

（2）略去了

項(xiàng);

（3）§8.2

梁的撓曲線微分方程及其積分8.2.2用積分法求撓度和轉(zhuǎn)角

§8.2

梁的撓曲線微分方程及其積分（1）撓曲線近似微分方程的積分及邊界條件求等直梁的撓曲線方程時(shí)可將上式改寫為后進(jìn)行積分，再利用邊界條件確定積分常數(shù)。§8.2

梁的撓曲線微分方程及其積分

當(dāng)全梁各橫截面上的彎矩可用一個(gè)彎矩方程表示時(shí)(例如圖中所示情況)有

以上兩式中的積分常數(shù)C1，C2由邊界條件確定后即可得出梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程?！?.2

梁的撓曲線微分方程及其積分

邊界條件(這里也就是支座處的約束條件)的示例如下圖所示?！?.2

梁的撓曲線微分方程及其積分

若由于梁上的荷載不連續(xù)等原因使得梁的彎矩方程需分段寫出時(shí)，各段梁的撓曲線近似微分方程也就不同。而對(duì)各段梁的近似微分方程積分時(shí)，都將出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)。要確定這些積分常數(shù)，除利用支座處的約束條件外，還需利用相鄰兩段梁在交界處的連續(xù)條件。這兩類條件統(tǒng)稱為邊界條件?！?.2

梁的撓曲線微分方程及其積分

例:試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax?！?.2

梁的撓曲線微分方程及其積分解：該梁的彎矩方程為撓曲線近似微分方程為以x為自變量進(jìn)行積分得于是得該梁的邊界條件為：在x=0

處

，w=0§8.2

梁的撓曲線微分方程及其積分從而有轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程

根據(jù)該梁邊界條件和全梁橫截面上彎矩均為負(fù)值，以及撓曲線應(yīng)光滑連續(xù)描出了撓曲線的示意圖?？梢娫摿旱膓max和wmax均在x=l的自由端處。于是有§8.2

梁的撓曲線微分方程及其積分

由此題可見，當(dāng)以x為自變量對(duì)撓曲線近似微分方程進(jìn)行積分時(shí)，所得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程中的積分常數(shù)是有其幾何意義的：此例題所示的懸臂梁，q0=0，w0=0，因而也有C1=0，C2=0?！?.2

梁的撓曲線微分方程及其積分§8.2

梁的撓曲線微分方程及其積分兩式中的積分在坐標(biāo)原點(diǎn)處(即x=0處)總是等于零，從而有事實(shí)上，當(dāng)以x為自變量時(shí)§8.2

梁的撓曲線微分方程及其積分思考:

試求圖示等截面懸臂梁在所示坐標(biāo)系中的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。積分常數(shù)C1和C2等于零嗎？§8.2

梁的撓曲線微分方程及其積分

例:試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax?！?.2

梁的撓曲線微分方程及其積分解：該梁的彎矩方程為撓曲線近似微分方程為以x為自變量進(jìn)行積分得：§8.2

梁的撓曲線微分方程及其積分該梁的邊界條件為在x=0處w=0，在x=l處w=0于是有即從而有轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程

根據(jù)對(duì)稱性可知，兩支座處的轉(zhuǎn)角qA及qB的絕對(duì)值相等，且均為最大值，故最大撓度在跨中，其值為§8.2

梁的撓曲線微分方程及其積分疊加原理

§8.3

疊加法求梁的位移

當(dāng)梁的變形微小，且梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與梁上的荷載成線性關(guān)系。在此情況下，當(dāng)梁上有若干荷載或若干種荷載作用時(shí)，梁的某個(gè)截面處的撓度和轉(zhuǎn)角就等于每個(gè)荷載或每種荷載單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算梁的位移時(shí)的疊加原理。

(1)載荷疊加

多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和.

(2)結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）§8.3

疊加法求梁的位移

懸臂梁和簡(jiǎn)支梁在簡(jiǎn)單荷載(集中荷載，集中力偶，分布荷載)作用下，懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式，以及簡(jiǎn)支梁跨中撓度和支座截面轉(zhuǎn)角的表達(dá)式已在本教材的附錄Ⅳ中以及一些手冊(cè)中給出。根據(jù)這些資料靈活運(yùn)用疊加原理，往往可較方便地計(jì)算復(fù)雜荷載情況下梁的指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角?！?.3

疊加法求梁的位移§8.3

疊加法求梁的位移

例:試按疊加原理求圖a所示等直梁的跨中截面撓度wC和兩支座截面的轉(zhuǎn)角qA及qB。(a)

解：此梁wC及qA，qB實(shí)際上可不按疊加原理而直接利用本教材附錄Ⅳ表中序號(hào)13情況下的公式得出。這里是作為靈活運(yùn)用疊加原理的例子，假設(shè)沒有可直接利用的現(xiàn)成公式來(lái)講述的?！?.3

疊加法求梁的位移

作用在該簡(jiǎn)支梁左半跨上的均布荷載可視為與跨中截面C正對(duì)稱和反對(duì)稱荷載的疊加(圖b)。(b)(a)§8.3

疊加法求梁的位移

在集度為q/2的正對(duì)稱均布荷載作用下，利用本教材附錄Ⅳ表中序號(hào)8的公式有C注意到反對(duì)稱荷載作用下跨中截面不僅撓度為零，而且該截面上的彎矩亦為零，但轉(zhuǎn)角不等于零，因此可將左半跨梁AC和右半跨梁CB分別視為受集度為q/2的均布荷載作用而跨長(zhǎng)為l/2的簡(jiǎn)支梁。于是利用附錄Ⅳ表中序號(hào)8情況下的公式有

在集度為q/2的反對(duì)稱均布荷載作用下，由于撓曲線也是與跨中截面反對(duì)稱的，故有C§8.3

疊加法求梁的位移§8.3

疊加法求梁的位移按疊加原理得最大位移控制指定截面的位移控制例如滑動(dòng)軸承處:8.4.1梁的剛度計(jì)算§8.4

梁的剛度條件及提高梁剛度的措施[例]下圖為一空心圓桿,內(nèi)外徑分別為:d=40mm,D=80mm,桿的E=210GPa,工程規(guī)定C點(diǎn)的[w/L]=0.00001,B點(diǎn)的[]=0.001弧度,試核此桿的剛度.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF2BCDA=+F2BCaF2BCDAM=+F1=1kNADCF2=2kNCABB§8.4

梁的剛度條件及提高梁剛度的措施§8.4

梁的剛度條件及提高梁剛度的措施8.4.2提高梁剛度的措施減小梁的長(zhǎng)度增加約束

跨度微小改變，將導(dǎo)致?lián)隙蕊@著改變例如

l縮短

20％，dmax

將減少

48.8%（增加約束，制作成靜不定梁）