第２篇機(jī)械振動機(jī)械波機(jī)械振動機(jī)械波第5章機(jī)械振動§5.1簡諧運(yùn)動的動力學(xué)特征§

5.2簡諧運(yùn)動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法§

5.3單擺§5.4簡諧運(yùn)動的能量§5.5簡諧運(yùn)動的合成§5.6阻尼振動受迫振動共振教學(xué)基本要求一掌握描述簡諧運(yùn)動的各個(gè)物理量（特別是相位）的物理意義及各量間的關(guān)系二掌握描述簡諧運(yùn)動的旋轉(zhuǎn)矢量法和圖線表示法，并會用于簡諧運(yùn)動規(guī)律的討論和分析.

三掌握簡諧運(yùn)動的基本特征，能建立一維簡諧運(yùn)動的微分方程，能根據(jù)給定的初始條件寫出一維簡諧運(yùn)動的運(yùn)動方程，并理解其物理意義.四理解同方向、同頻率簡諧運(yùn)動的合成規(guī)律，了解拍和相互垂直簡諧運(yùn)動合成的特點(diǎn).五了解阻尼振動、受迫振動和共振的發(fā)生條件及規(guī)律.機(jī)械振動、電磁振蕩機(jī)械波、電磁波德布羅意波——幾率波振動學(xué)是波動學(xué)的基礎(chǔ)波動——振動的傳播

振動——波動的成因振動和波動的關(guān)系第5章機(jī)械振動振動：任一物理量在某一定值附近往復(fù)變化機(jī)械振動

物體圍繞一固定位置往復(fù)運(yùn)動可分為直線、平面和空間振動.簡諧運(yùn)動

最簡單、最基本的振動.簡諧運(yùn)動復(fù)雜振動合成分解§5.1簡諧運(yùn)動的動力學(xué)特征彈簧振子——理想模型5.1.1簡諧運(yùn)動的特征及其運(yùn)動方程積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定動力學(xué)分析受力分析令可得（動力學(xué)方程）解方程得簡諧運(yùn)動的動力學(xué)微分方程微分方程的解：——振動表達(dá)式(簡諧運(yùn)動位移)

任何一個(gè)物理量，如果它隨時(shí)間的變化規(guī)律滿足簡諧運(yùn)動的微分方程，或遵從余弦(或正弦)規(guī)律，則廣義地說，這一物理量在作簡諧運(yùn)動。簡諧運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)方程諧振動方程1、運(yùn)動方程2、速度方程3、加速度方程圖圖圖取5.1.2簡諧運(yùn)動方程中的三個(gè)基本物理量1.角頻率:2秒內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)；單位：弧度/秒（rad/s)

T:周期：往復(fù)振動一次的時(shí)間ν：頻率：位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)；單位：赫茲（Hz）（1/s）僅依賴于系統(tǒng)本身的性質(zhì)，與初始條件無關(guān)。e.g.彈簧振子：單擺：２.振幅A:描述物體振動強(qiáng)弱的物理量離開平衡位置的最大位移；國際單位：mA與振動的能量有關(guān)。e.g.彈簧振子：３.初相位、相位和相位差存在一一對應(yīng)的關(guān)系;例：當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：1

）相位（描述振動狀態(tài)的物理量）2）相位在內(nèi)變化，質(zhì)點(diǎn)無相同的運(yùn)動狀態(tài)；相差為整數(shù)

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)全同.（周期性）3）初相位

描述質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的運(yùn)動狀態(tài).由初始條件決定(取或)振幅：初相位：４.振幅和初相位的求法設(shè)t=0時(shí)不是唯一的與坐標(biāo)正向有關(guān)，需要具體分析。（為什么不取π

？)例1:一輕彈簧，一端固定，另一端連接一定質(zhì)量的物體。整個(gè)系統(tǒng)位于水平面內(nèi)，系統(tǒng)的角頻率為6.0s-1。今將物體沿平面向右拉長到x0=0.04m處釋放，試求：(1)簡諧運(yùn)動表達(dá)式；(2)物體從初始位置運(yùn)動到第一次經(jīng)過A/2處時(shí)的速度。解：(1)(2)由(1)中結(jié)果依題意，v＜0旋轉(zhuǎn)矢量的模即為簡諧運(yùn)動的振幅。旋轉(zhuǎn)矢量

的角速度即為振動的角頻率。旋轉(zhuǎn)矢量

與x軸的夾角(t+)為簡諧運(yùn)動的相位。t=0時(shí)，與x軸的夾角即為簡諧振動的初相位?！?/p>

5.2簡諧運(yùn)動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法5.2.1旋轉(zhuǎn)矢量表示法周期：旋轉(zhuǎn)矢量

旋轉(zhuǎn)一周，P點(diǎn)完成一次全振動。結(jié)論：投影點(diǎn)的運(yùn)動為簡諧運(yùn)動。繞O點(diǎn)以角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的矢量,在x軸上的投影正好描述了一個(gè)簡諧振動。2.旋轉(zhuǎn)矢量圖OX旋轉(zhuǎn)矢量長度＝振幅A角速度＝角頻率初始角＝初相φ5.2.2旋轉(zhuǎn)矢量圖的應(yīng)用１.求初相位向x軸負(fù)向運(yùn)動。向x軸正向運(yùn)動。２.用旋轉(zhuǎn)矢量圖比較各振動之間的相位關(guān)系(1)相位差當(dāng)二個(gè)振動的頻率相同時(shí)，相位差為xA3.用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運(yùn)動的圖(1)振動表達(dá)式；(2)t=0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；(3)如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x=-6cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。例2一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡諧運(yùn)動，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t=0時(shí),位移為6cm，且向x軸正方向運(yùn)動。求:解：A=12cm，T=2s，x0=6cm且v0＞0(1)xt=0時(shí)，x0=0.06m,6cmv0>0(2)(3)模振幅A角速度角頻率旋轉(zhuǎn)周期振動周期T=2/上的投影在oxAr上的投影端點(diǎn)速度在oxAr上的投影端點(diǎn)加速度在oxAr位移速度加速度x=Acos(t+0)v=-

Asin(t+0)a=-

2Acos(t+0)旋轉(zhuǎn)矢量簡諧振動符號或表達(dá)式初相

0t=0時(shí)，與ox夾角相位t+

0t時(shí)刻，與ox夾角旋轉(zhuǎn)矢量

與諧振動的對應(yīng)關(guān)系旋轉(zhuǎn)矢量法優(yōu)點(diǎn)：直觀地表達(dá)諧振動的各特征量便于解題,特別是確定初相位便于振動合成由x、v

的符號確定

所在的象限：

例3如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈簧的勁度系數(shù)，物體的質(zhì)量.

（1）把物體從平衡位置向右拉到處停下后再釋放，求簡諧運(yùn)動方程；（3）如果物體在處時(shí)速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其運(yùn)動方程.

（2）求物體從初位置運(yùn)動到第一次經(jīng)過處時(shí)的速度；0.05解（1）由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知解

由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知（負(fù)號表示速度沿軸負(fù)方向）

（2）求物體從初位置運(yùn)動到第一次經(jīng)過處時(shí)的速度；解（3）如果物體在處時(shí)速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其運(yùn)動方程.因?yàn)?，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知

例4一質(zhì)量為的物體作簡諧運(yùn)動，其振幅為，周期為，起始時(shí)刻物體在處，向軸負(fù)方向運(yùn)動（如圖）.試求

（1）時(shí)，物體所處的位置和所受的力；解代入代入上式得（2）由起始位置運(yùn)動到處所需要的最短時(shí)間.解法一

設(shè)由起始位置運(yùn)動到處所需要的最短時(shí)間為解法二起始時(shí)刻時(shí)刻§

5.3單擺Ol

mgT小球受力矩：根據(jù)轉(zhuǎn)動定律化簡得當(dāng)θ很小時(shí)，結(jié)論：單擺的振動是簡諧運(yùn)動。θ為振動角位移，振幅為θ0單擺運(yùn)動方程1、角頻率周期與振動系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)2、振幅3、初相由初始條件確定復(fù)擺*轉(zhuǎn)動正向（點(diǎn)為質(zhì)心）力矩令簡諧運(yùn)動的描述和特征4）加速度與位移成正比而方向相反2）簡諧運(yùn)動的動力學(xué)描述3）簡諧運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)描述復(fù)擺彈簧振子單擺1）物體受線性回復(fù)力作用平衡位置§5.4簡諧運(yùn)動的能量以彈簧振子為例一、能量的時(shí)間函數(shù)由可得（振幅的動力學(xué)意義）線性回復(fù)力是保守力，作簡諧運(yùn)動的系統(tǒng)機(jī)械能守恒簡諧運(yùn)動能量圖4T2T43T能量簡諧運(yùn)動能量曲線二、能量的位置函數(shù)簡諧運(yùn)動能量守恒，振幅不變討論：1、振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時(shí)間變化，但任一時(shí)刻總機(jī)械能保持不變。2、位移最大，勢能最大，但動能最小。在振動曲線的峰值。位移為0，勢能為0，但動能最大，在振動曲線的平衡位置。

例5質(zhì)量為的物體，以振幅作簡諧運(yùn)動，其最大加速度為，求：（1）振動的周期；（2）通過平衡位置的動能；（3）總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等？解（1）（2）（3）（4）時(shí)，由§5.5簡諧運(yùn)動的合成5.5.1兩個(gè)同方向同頻率簡諧運(yùn)動的合成設(shè)：某一質(zhì)點(diǎn)在直線上同時(shí)參與兩個(gè)獨(dú)立的同頻率的簡諧運(yùn)動，其運(yùn)動表達(dá)式分別表示為令：則，顯然，兩個(gè)同方向同頻率的諧振動的合成仍為諧振動。其中，合振幅：合振動的初位相：旋轉(zhuǎn)矢量法推導(dǎo)：x由幾何關(guān)系：注意：φ的具體象限要根據(jù)φ1、φ2確定。討論：合振動的加強(qiáng)和減弱討論：合振動的加強(qiáng)和減弱1、位相差△j=j1

-j2

=2kπk=0，±1，±2，±3，……合振幅加強(qiáng)：2、位相差△j=j1-j2=(2k+1)πk=0，±1，±2，±3，……合振幅減弱：3.一般情況例6:兩個(gè)同方向的簡諧運(yùn)動曲線(如圖所示)

(1)求合振動的振幅。(2)求合振動的振動方程。xTt解:(1)

t=0時(shí)，＞0＜0故，互為反相，

合振幅最小(2)t=0時(shí)的旋轉(zhuǎn)矢量圖：x例7:兩個(gè)同方向，同頻率的簡諧運(yùn)動，其合振動的振幅為20cm，與第一個(gè)振動的相位差為。若第一個(gè)振動的振幅為。則(1)第二個(gè)振動的振幅為多少？(2)兩簡諧運(yùn)動的相位差為多少？解：(1)依題意根據(jù)余弦定理(2)根據(jù)正弦定理5.5.2同方向不同頻率簡諧運(yùn)動的合成拍旋轉(zhuǎn)矢量：相對于的轉(zhuǎn)動角速度為平行四邊形形狀變化，的大小也在變化，合運(yùn)動非簡諧運(yùn)動。設(shè)振幅隨時(shí)間變化振動項(xiàng)當(dāng)?shù)舜讼嗖詈苄r(shí)，振幅隨時(shí)間變化振動項(xiàng)當(dāng)?shù)舜讼嗖詈苄r(shí)，振幅隨時(shí)間緩慢變化簡諧因子快速變化第一項(xiàng)緩慢變化，第二項(xiàng)快速變化“拍(beat)”——調(diào)制頻率——載頻O合振動出現(xiàn)一次最強(qiáng)拍的周期：拍的頻率(簡稱拍頻)：5.5.3相互垂直的簡諧運(yùn)動的合成1.相互垂直的同頻率簡諧運(yùn)動的合成討論：1、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡為直線2、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡為正橢圓結(jié)論：

兩相互垂直同頻率簡諧運(yùn)動的合成，其振動軌跡為一橢圓(又稱“橢圓運(yùn)動”)。橢圓軌跡的形狀取決于振幅和相位差。2.相互垂直的不同頻率簡諧運(yùn)動的合成兩個(gè)互相垂直、不同頻率的簡諧運(yùn)動的合成時(shí)，如果它們的頻率之比為整數(shù)時(shí)，會產(chǎn)生的穩(wěn)定的封閉曲線，其形狀與頻率比和相位差有關(guān)，這種圖形叫做李薩如(J.A.Lissajous)圖。在李薩如圖形中：曲線與平行于x軸的直線的切點(diǎn)數(shù)曲線與平行于y軸的直線的切點(diǎn)數(shù)=兩簡諧運(yùn)動的頻率比

其中頻率為1:1的利薩如圖為橢圓，在一定的相位差條件下，退化為一直線。振動系統(tǒng)在回復(fù)力和阻尼力共同作用下發(fā)生的減幅振動稱為阻尼振動(dampedvibration)。在物體速度較小時(shí)，阻尼力的大小與速率成正比，方向與速度相反。為阻尼系數(shù)Oxx根據(jù)牛頓第二定律，

稱為阻尼(damping)因子動力學(xué)方程：微分方程的特征方程為：討論:§5.6阻尼振動受迫振動共振5.6.1阻尼振動討論1.小阻尼情況:阻力很小方程解：周期:結(jié)論：阻尼較小時(shí)，振動為減幅振動，振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律迅速減少。阻尼越大，減幅越迅速。振動周期大于自由振動周期。2.過阻尼(overdamping)情況：阻力很大結(jié)論：阻尼較大時(shí)，振動從最大位移緩慢回到平衡位置，不作往復(fù)運(yùn)動。結(jié)論：此時(shí)為“臨界阻尼”的情況。是質(zhì)點(diǎn)不作往復(fù)運(yùn)動的一個(gè)極限。3.臨界阻尼(criticaldamping)情況方程解得：5.6.2受迫振動共振1.受迫振動