第3章組合前沿的數(shù)學《金融經(jīng)濟學基礎》本章大綱偏好與分布資產(chǎn)組合前沿資產(chǎn)組合前沿的一些數(shù)學性質(zhì)1、偏好與分布一般來說，僅僅用資產(chǎn)組合的預期回報率和預期回報率的方差并不能包含經(jīng)濟行為主體投資行為所需的全部信息。但是馬可維茨通過效用函數(shù)和投資收益的分布作了相應假設之后證明，經(jīng)濟行為主體的預期效用能夠僅僅表示為資產(chǎn)組合的預期回報率和預期回報率的方差的函數(shù)。對于任意的分布和效用函數(shù)，期望效用并不能僅僅由預期收益（率）和方差這兩個元素來描述。所以均值－方差分析的運用是存在限制條件的。均值－方差分析方法的使用條件和范圍考察未來收益分布為任意分布的情況此時為了使經(jīng)濟行為主體的偏好能夠為均值和方差完全刻畫，我們必須假定經(jīng)濟行為主體的效用函數(shù)是一個二次型效用函數(shù)，即經(jīng)濟行為主體的效用函數(shù)或以表達為。此時于是經(jīng)濟行為主體的預期效用可以由時期1的財富變量的兩個中心矩來定義二次型效用函數(shù)對于經(jīng)濟行為主體的偏好關系的刻畫存在著以下兩個主要的缺點：第一，二次型效用函數(shù)顯示經(jīng)濟行為主體對于收益或財富具有饜足性，即個體收益的總效用存在著極大值，超過這點之后，收益增加的邊際效用為負。第二，遞增的絕對風險厭惡與現(xiàn)實中經(jīng)濟行為主體行為存在矛盾。風險資產(chǎn)的報酬率服從于多元正態(tài)分布的情形在任意偏好的情況下，如果三階及三階以上高階矩可以表示為均值和方差的函數(shù)，則我們就可以使用均值－方差分析來考察經(jīng)濟行為主體的效用函數(shù)。在正態(tài)分布的條件下，前面泰勒展開式的三階及三階以上高階矩可以表示為一階矩和二階矩（均值和方差）的函數(shù)。因此，就可以完全地由均值和方差表示。正態(tài)分布對于加法運算保持不變，即多個正態(tài)分布變量之和仍為正態(tài)分布。

前沿組合前沿資產(chǎn)組合：如果在所有具有相同預期收益率的資產(chǎn)組合中，這一資產(chǎn)組合具有最小的方差值，則該資產(chǎn)組合就是前沿資產(chǎn)組合。資產(chǎn)組合p是一支前沿資產(chǎn)組合當且僅當是它的資產(chǎn)組合權重wp

是下面二次規(guī)劃問題的解

s.t.

。其中：e表示N種風險資產(chǎn)的預期回報率所構成的向量，表示資產(chǎn)組合的預期回報率，i表示分量為1的N維向量。構造一個拉格朗日函數(shù)，是以下函數(shù)式的解：（其中，和是兩個正值的常數(shù)。）求解可得

其中

且B＞0，C＞0，并且可以斷定D＞0。我們可以得出一個預期收益率為的前沿資產(chǎn)組合的唯一權重集合其中

從以上（3.9.4）式人們可以看出，是預期收益率為0的前沿資產(chǎn)組合的權重向量；是預期收益率為1的前沿資產(chǎn)組合的權重向量。均值－方差平面中的前沿組合關系式（8.11a）也可以等價地寫成最小方差資產(chǎn)組合的收益率和其他任意資產(chǎn)組合（不單是前沿資產(chǎn)組合）的收益率的協(xié)方差，總是同最小方差資產(chǎn)組合收益率的方差相等。有效資產(chǎn)組合：在整個資產(chǎn)組合前沿曲線中，所有那些預期收益率嚴格大于最小方差資產(chǎn)組合收益率的資產(chǎn)組合稱之為有效資產(chǎn)組合；無效資產(chǎn)組合：那些既不是有效資產(chǎn)組合，又不是最小方差組合的資產(chǎn)組合稱之為無效資產(chǎn)組合。前沿資產(chǎn)的線性組合也落在資產(chǎn)前沿上。任意一支有效資產(chǎn)組合的凸組合仍然是一支有效資產(chǎn)組合。因此有效資產(chǎn)組合的集合是一個凸組合。從幾何學的角度看，的位置的確定：在標準差－預期收益率的坐標系平上是過資產(chǎn)前沿組合的切線在預期收益率坐標軸上的截距。任意資產(chǎn)組合（不要求是前沿組合）的預期收益率與一個前沿資產(chǎn)組合的預期收益率之間的關系特征：其中：是之外的任意一個前沿資產(chǎn)組合，上式也可以寫成

（3.16.2）、（3.16.3）、（3.16.5）是等價的關系式。我們總可以將資產(chǎn)組合的收益率寫成其中引入無風險資產(chǎn)的情形現(xiàn)假定是一支由所有N＋1種資產(chǎn)組合而成的前沿資產(chǎn)組合，表示這支前沿資產(chǎn)組合中的風險資產(chǎn)權重的N維向量。這樣，是以下規(guī)劃問題的解其中仍然表示風險資產(chǎn)的預期收益率的N維向量，表示無風險資產(chǎn)的收益率。

情形1：

這是圖3.18.1表示的圖形。（圖見下頁）在圖中點是射線與風險資產(chǎn)的組合前沿相切的切點。線段上任意一支資產(chǎn)組合都是風險資產(chǎn)組合和無風險資產(chǎn)的凸組合。在線段之外的射線上資產(chǎn)組合都涉及賣空無風險資產(chǎn)并將收益買入風險資產(chǎn)組合的投資行為。在射線上的資產(chǎn)組合涉及賣空風險資產(chǎn)組合，同時以其收益買入無風險資產(chǎn)的投資行為。如果經(jīng)濟行為主體是風險厭惡者，資產(chǎn)投資組合的有效集位于射線。情形2：

這是圖3.18.2表示的圖形。（圖見下頁）射線上資產(chǎn)組合是通過賣空風險資產(chǎn)并運用收益買入無風險資產(chǎn)組合而得。在射線上的資產(chǎn)組合涉及正值地購買風險資產(chǎn)組合。如果經(jīng)濟行為主體是風險厭惡者，資產(chǎn)投資組合的有效集位于射線。情形3：

這是圖3.18.3表示的圖形。（圖見下頁）包括無風險資產(chǎn)在內(nèi)的所有資產(chǎn)的資產(chǎn)組合前沿的預期