第9講隨機變量的方差

現(xiàn)有一批燈泡，其平均壽命為1000小時，那么我們能否僅僅根據(jù)其平均壽命評價這批燈泡的質(zhì)量的好壞呢？回答是否定的.事實上,其中絕大部分的壽命在950-1050小時；也有可能其中約有一半是高質(zhì)量的，而另一半質(zhì)量卻很差，其壽命大約有700小時.為了評價這批燈泡質(zhì)量的好壞,還需進(jìn)一步考慮率燈泡的壽命X與其平均壽命E(X)=1000的偏離程度.若偏離程度小，表示質(zhì)量比較穩(wěn)定，從這個意義的說，我們認(rèn)為質(zhì)量較好.檢查一批棉花的質(zhì)量時,人們不僅關(guān)心棉花纖維的平均長度,而且關(guān)心纖維的實際長度與平均長度的偏離程度。由此可見研究隨機變量與軍職的偏離程度是十分必要的.但是，對于任何一個隨機變量，根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)有因此，它不能作為這樣的度量.雖然他可以度量隨機變量與其均值的偏離程度，但是其表達(dá)式中的絕對值給我們的分析和運算帶來不便.

那么如何研究這樣的偏離程度？或者說用怎樣的量區(qū)度量這個偏離程度？第9講隨機變量的方差我們首先想到的是離差.那么，能不能用X-E(X)絕對值的平均值作為這樣的度量，即為此，我們可以X-E(X)平方的平均值進(jìn)行度量.即？第9講隨機變量的方差

一、方差的概念1.定義設(shè)X是一隨機變量，若E(X)存在，則稱為X的方差，記為D(X)或Var(X)，即

是與隨機變量X具有相同量綱的量，稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為(X)．

隨機變量X的方差表達(dá)了X的取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度.若D(X)

較小，則意味著X的取值比較集中在數(shù)學(xué)期望E(X)的附近；反之,若D(X)較大，則表明X的取值比較分散.因此，D(X)是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量X取值分散程度的一個尺度．2.方差的計算第9講隨機變量的方差

一、方差的概念

(2)若X是連續(xù)型隨機變量，且其密度函數(shù)為f(x).

則(1)若X是離散型隨機變量，且其分布律為P{X=xk}=pk,k=1,2,…，則2.方差的計算第9講隨機變量的方差

一、方差的概念

例1

甲，乙兩種牌號的手表，他們?nèi)兆邥r的誤差(單位:秒）分別為X和Y，其分布率為X-101p0.10.80.1Y-2-1012p0.10.30.20.30.1試評價甲，乙兩種牌號的手表的質(zhì)量.

解首先考慮兩種牌號手表日誤差的平均值.

其次，考慮兩種牌號手表日誤差的方差.X-101p0.10.80.1[X-E(X)]2101Y-2-1012[Y-E(Y)]241014p0.10.30.20.30.1

D(X)<D(Y)，這說明甲牌號手表日走時誤差集中在0附近的程度高于乙牌號的手表，當(dāng)然甲的質(zhì)量高于乙的質(zhì)量.

解隨機變量Ｘ的數(shù)學(xué)期望為

例2

已知隨機變量X的密度函數(shù)為試求D(X).第9講隨機變量的方差

一、方差的概念3.方差的計算公式

例3設(shè)隨機變量X是服從參數(shù)為p的0—1分布，試求隨機變量X的方差.第9講隨機變量的方差

一、方差的概念3.方差的計算公式

解由已知X的分布律為X01P1-pp

例4設(shè)隨機變量X是服從參數(shù)為

的泊松分布，試求隨機變量X的方差.

解由已知X的分布律為

例5

設(shè)隨機變量X

服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，求X

的方差.

解由已知X的密度函數(shù)為

解由已知X的密度函數(shù)為

例6

設(shè)隨機變量X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求X

的方差.

例7

設(shè)隨機變量X

服從正態(tài)分布，求X

的方差.

解由已知X的密度函數(shù)為所求方差標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)

例8

設(shè)隨機變量X的概率密度為試求D(X)，D(X2).

解由已知條件隨機變量X的數(shù)學(xué)期望

例9

設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為

已知E(X)=0.5，D(X)=0.15

，求常數(shù)a,b,c．

解由已知條件再由已知條件可得

例9

設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為

已知E(X)=0.5，D(X)=0.15

，求常數(shù)a,b,c．

解由已知條件第9講隨機變量的方差

一、方差的概念

二、方差的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=0.

2.設(shè)X是隨機變量，C是常數(shù)，則3.設(shè)X、Y是隨機變量，C是常數(shù)，則又第9講隨機變量的方差

一、方差的概念

二、方差的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=0.

2.設(shè)X是隨機變量，C是常數(shù)，則3.設(shè)X、Y是隨機變量，則4.設(shè)X、Y是相互獨立的隨機變量，則5.Ｄ(X)=0的充分必要條件是P{X=E(X)}=1.

例10

設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布，試求D(X).

解由二項分布的定義知，隨機變量X是n重貝努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),且在每次試驗中A發(fā)生的概率為p.引入隨機變量那么.

又Xk服從參數(shù)為p的0—1分布,所以再根據(jù)的獨立性，可得

例11

設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3，方差D(X)=5，試求.

解方法一

方法二泊松分布npqnp二項分布pqp0—1分布方差期望分布律名稱第9講隨機變量的方差

一、方差的概念

二、方差的性質(zhì)

三、幾個重要分布的方差正態(tài)分布指數(shù)分布均勻分布方差期望密度函數(shù)名稱第9講隨機變量的方差

一、方差的概念

二、方差的性質(zhì)

三、幾個重要分布的方差

四、切比雪夫(Chebyshew)不等式

定理設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=,方差D(X)=2,則對任意的正數(shù)，不等式或成立.

證僅就X為連續(xù)型隨機變量的情形予以證明.不妨設(shè)X的密度函數(shù)為f(x).

例12

設(shè)隨機變量X的分布密度為

試證

證由于

由方差的計算公式可得再根據(jù)切比雪夫不等式，有

例13

將編號分別為1~n的n

個球隨機地放入編號分別為1~n