過程裝備控制工程基礎(chǔ)Email:zhqupc@Office：工科樓D座511室86983481Mobile第四章)左海強2014年秋季學(xué)期時域瞬態(tài)響應(yīng)法：分析控制系統(tǒng)的直接方法。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線T

2T

3T

4T

5T98.2%95%99.3%86.5%B0t163.2%A0.632時域瞬態(tài)響應(yīng)分析優(yōu)點：直觀-一階系統(tǒng)10t2%或5%二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線×-二階系統(tǒng)欠阻尼二階系統(tǒng)時域性能指標(biāo)(記住)0[s]欠阻尼二階系統(tǒng)極點與參數(shù)關(guān)系圖時域瞬態(tài)響應(yīng)分析缺點：

分析高階系統(tǒng)非常繁瑣

合理簡化（主導(dǎo)極點偶極子）用低階系統(tǒng)近似頻率響應(yīng)是時間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。頻率特性是系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的響應(yīng)特性。頻率特性分析法(頻域法)是利用系統(tǒng)的頻率特性來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍然是系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性等，是工程上廣為采用的控制系統(tǒng)分析和綜合的方法。頻率特性分析法是一種圖解的分析方法。

不必直接求解系統(tǒng)輸出的時域表達式，可以間接地運用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)性能，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根。

系統(tǒng)的頻域指標(biāo)和時域指標(biāo)之間存在著對應(yīng)關(guān)系。頻率特性分析中大量使用簡潔的曲線、圖表及經(jīng)驗公式，使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀。第四章控制系統(tǒng)的頻域特性

頻域特性的基本概念頻域響應(yīng)的極坐標(biāo)圖－乃氏圖(Nyquist圖)

頻域響應(yīng)的對數(shù)坐標(biāo)圖－伯德圖(Bode圖)

由頻率特性曲線求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)§4-1

頻率特性的基本概念

頻域法是工程上廣為采用的系統(tǒng)分析和綜合的間接方法。除了電路與頻率特性有著密切關(guān)系外，在機械工程中機械振動與頻率特性也有著密切的關(guān)系。數(shù)學(xué)依據(jù)傅里葉變換(FourierTransform)RC已知求穩(wěn)態(tài)時，其中，

設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

。定義系統(tǒng)輸出信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相對其正弦輸入信號的幅值之比

為系統(tǒng)的幅頻特性。 幅頻特性描述系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時在幅值上的增益特性（衰減或放大）。定義系統(tǒng)輸出信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相對其正弦輸入信號的相移為系統(tǒng)的相頻特性。

相頻特性描述系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時在相位上產(chǎn)生的滯后（）或超前（

）特性。上述定義的幅頻特性和相頻特性

統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性，它描述了系統(tǒng)對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

當(dāng)輸入為非正弦的周期信號時，其輸入可利用傅里葉級數(shù)展開成正弦波的疊加，其輸出為相應(yīng)的正弦波輸出的疊加，如下圖所示。

當(dāng)輸入為非周期信號時，可將該非周期信號看做周期T→∞的周期信號。傅里葉正變換式傅里葉反變換式時域→頻域頻域→時域傅氏正變換式拉氏正變換式傅氏變換與拉氏變換是類似的。除了積分下限不同外，只要將s換成，就可將已知的拉氏變換式變成相應(yīng)的傅氏變換式。拉氏變換可看作是一種單邊的廣義的傅氏變換，其積分區(qū)間是從0

到+∞。

函數(shù)適合進行拉氏變換的條件比傅氏變換的條件弱一些，因此適合函數(shù)的范圍也寬一些。

大多數(shù)機電系統(tǒng)可簡單地將拉氏變換G(s)中的s換成而直接得到相應(yīng)的傅氏變換式。系統(tǒng)頻率特性的表示形式系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)是一種復(fù)變函數(shù)，可以表示成如下形式：

是

的實部，稱為實頻特性。

是

的虛部，稱為虛頻特性。頻率特性函數(shù)也可以表示成如下形式：

是

的模，稱為幅頻特性。

是

的相角，稱為相頻特性。矢量圖表示如下：頻率特性的求取——解析法系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)

可由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

求得。函數(shù)。

將s平面的復(fù)變量

的取值范圍限定在虛軸上，即

所得到的傳遞函數(shù)

就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。頻率響應(yīng)是在特定情況下的傳遞求圖所示系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)。例4-1將s代之以

，即得到系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)為RC例試求的幅頻特性和相頻特性。解：當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)建立，但不知道其內(nèi)部結(jié)構(gòu)或傳遞函數(shù)時。在系統(tǒng)中輸入一正弦信號，測出不同頻率時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的幅值和相位，便可得到其頻率特性。頻率特性的求取——實驗法

在系統(tǒng)的輸入端加入一定幅值的正弦信號，穩(wěn)定后系統(tǒng)的輸出也是正弦信號，記錄不同頻率的輸入、輸出的幅值和相位，即可求得系統(tǒng)的頻率特性。

正弦函數(shù)發(fā)生器被測系統(tǒng)0顯示記錄儀器幅頻特性相頻特性頻率特性的物理意義設(shè)輸入信號則穩(wěn)態(tài)輸出信號物理意義：“低通”濾波例RC當(dāng)輸入電壓得到R-C電路的穩(wěn)態(tài)輸出為結(jié)論：當(dāng)ω=0時，輸出與輸入的電壓不僅幅值相等，而且相位也完全一致。隨著ω的不斷增大，輸出電壓的幅值將不斷地衰減，相位也不斷地滯后。(一階慣性環(huán)節(jié)—低通濾波器)

§4-2

頻率響應(yīng)的極坐標(biāo)圖(奈奎斯特圖)1928年,提出著名的奈奎斯特采樣定理；1932年,提出著名的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)；美國有138項專利，涉及電話、電報、圖像傳輸系統(tǒng)等。乃奎斯特（H.Nyquist)美國Bell實驗室著名科學(xué)家1889~1976極坐標(biāo)圖(Polarplots)是反映頻率特性的幾何表示。當(dāng)ω

從0逐漸增長至+∞時，頻率特性作為一個矢量，其端點在復(fù)平面相對應(yīng)的軌跡就是頻率特性的極坐標(biāo)圖。極坐標(biāo)圖也稱為乃氏圖(Nyquistplots)或乃奎斯特曲線。0

0映射ω一、典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖1.比例環(huán)節(jié)0UjV理想的放大環(huán)節(jié)能夠無失真和無滯后地復(fù)現(xiàn)輸入信號。K(Nyquistplotsoftypicalsystems)0jVU2.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)對正弦輸入信號有900的滯后作用。0jVU3.

微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)對正弦輸入信號有900的超前作用。0jVU14.

一階慣性環(huán)節(jié)圓心在（0.5,0）半徑為0.5的半圓0.5015.

二階振蕩環(huán)節(jié)jVU在復(fù)數(shù)運算當(dāng)中，一定要根據(jù)復(fù)數(shù)所在象限正確寫出幅角的值。相角0o～－180o，與負(fù)虛軸有交點。令或得為與負(fù)虛軸交點。代入

振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性均與阻尼比ζ有關(guān)。當(dāng)阻尼比較小時，會產(chǎn)生諧振。諧振峰值Mr和諧振頻率ωr由幅頻特性的極值方程解出。(記住)016.

延遲環(huán)節(jié)jVU相角0o～－∞o，與實軸和虛軸有無窮多交點。(5)必要時畫出乃氏圖中間幾點；(6)勾畫出大致曲線。(1)寫出

和

表達式；(2)分別求出

和

時的

；(3)求乃氏圖與實軸的交點，可利用的關(guān)系式求出，也可以利用關(guān)系式（其中n為整數(shù)）求出；(4)求乃氏圖與虛軸的交點，可利用

的關(guān)系式求出，也可利用關(guān)系式（其中n為奇數(shù)）求出；二、乃氏圖的一般作圖步驟(CommonmethodofsketchingNyquistplots)

乃氏圖與實軸和虛軸有無窮多交點，隨著ω

增加，曲線距離原點越來越近，相角越來越負(fù)。0jVU0.67n階系統(tǒng)1.系統(tǒng)的型次K0jVU2.各型乃氏圖的低頻段0jVU

通常，機電系統(tǒng)頻率特性分母的階次大于分子的階次，故當(dāng)ω→∞時，乃氏圖曲線終止于坐標(biāo)原點處；而當(dāng)頻率特性分母的階次等于分子的階次，當(dāng)ω→∞時，乃氏圖曲線終止于坐標(biāo)實軸上的有限值。3.乃氏圖的高頻段

一般在系統(tǒng)頻率特性分母上加極點，使系統(tǒng)相角滯后；而在系統(tǒng)頻率特性分子上加零點，使系統(tǒng)相角超前。而中頻部分的Nyquist曲線形狀與頻率特性的參數(shù)密切相關(guān)。

例:0jVU4.乃氏圖的負(fù)頻段令ω從?∞增長到0，相應(yīng)得出的乃氏圖是與ω從0增長到+∞得出的乃氏圖以實軸對稱的?！?-3

頻率響應(yīng)的對數(shù)坐標(biāo)圖(伯德圖bodeplots)伯德（H.W.Bode)，1905~1982，美國Bell實驗室著名科學(xué)家

對數(shù)坐標(biāo)圖是將幅值對頻率的關(guān)系和相位對頻率的關(guān)系分別畫在兩張圖上，用半對數(shù)坐標(biāo)紙繪制，頻率坐標(biāo)按對數(shù)分度，幅值和相角坐標(biāo)則以線性分度。對數(shù)坐標(biāo)圖也稱伯德圖(Bode圖)。伯德圖幅值L(ω)所用的單位分貝(dB)定義為n(dB)=20lgN幅頻特性坐標(biāo)若ω2

=10ω1

，則稱從ω1

到ω2為十倍頻程，以dec(decade)表示。相頻特性坐標(biāo)00.11101002040-20單位:dB(分貝)00.1110100十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程線性分度對數(shù)分度線性分度-1012lgω單位:弧度/秒半對數(shù)坐標(biāo)紙對于一般線性定常系統(tǒng)：伯德圖的優(yōu)點以有限的紙張表示很寬的頻率范圍（橫坐標(biāo)所需的對數(shù)刻度數(shù)，取決于感興趣的頻率范圍）。對于突出頻率特性的低頻段很方便。幅值采用分貝做單位，從而簡化幅頻特性中的乘除運算為加減運算。幅頻特性可用折線近似表示，系統(tǒng)的幅頻特性用組成該系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的幅頻特性折線疊加，作圖非常方便。一、典型環(huán)節(jié)的伯德圖1.比例環(huán)節(jié)00K=1K>1K<1(Bodeplotsoftypicalsystems)2.積分環(huán)節(jié)-20000.110120積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條在ω=1處穿過零分貝線，并以每增加10倍頻降低20dB的速度變化的曲線。-403.微分環(huán)節(jié)000.1101204.一階慣性環(huán)節(jié)00用低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示。

(P130

表4-1、4-2修正表)漸近線漸近線轉(zhuǎn)角頻率3dB

精確曲線5.一階微分環(huán)節(jié)006.二階振蕩環(huán)節(jié)00-40近似于2重積分7.延遲環(huán)節(jié)000.1110100二、一般系統(tǒng)伯德圖作圖方法幅頻特性—由各典型環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性疊加；相頻特性—由各典型環(huán)節(jié)相頻特性疊加。3.畫各自近似幅頻折線和相頻曲線并疊加04020-40-200.221468103L1(ω)L2(ω)L3(ω)L4(ω)L5(ω)φ1(ω)φ2(ω)φ3(ω)φ4(ω)φ5(ω)20lg7.5分段法求對數(shù)頻率特性將開環(huán)系統(tǒng)寫成典型環(huán)節(jié)時間常數(shù)的實系數(shù)形式實際繪制對數(shù)幅頻特性曲線時按以下步驟一次完成。確定K、值以及各個典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率并將各轉(zhuǎn)折頻率從小到大標(biāo)注在坐標(biāo)橫軸（頻率ω）上。2.繪制低頻段Bode圖（第一段線段）

＝00dB/decL(ω)=20lgK

＝1-20dB/dec斜率由積分環(huán)節(jié)決定

＝2-40dB/dec在ω

＝1處，L(1)=20lgK以低頻漸近線作為分段直線的第一段，從低頻端開始沿頻率增大的方向，每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率改變一次分段直線的斜率：當(dāng)遇到ωj時，斜率變化量為-20dB/dec

當(dāng)遇到ωl時，斜率變化量為-40dB/dec

當(dāng)遇到ωi時，斜率變化量為+20dB/dec

當(dāng)遇到ωk時，斜率變化量為+40dB/dec4.分段直線的最后一段斜率為-20(n-m)dB/dec5.在轉(zhuǎn)折頻率附近進行修正，可得到較準(zhǔn)確曲線。對數(shù)相頻特性曲線的繪制利用典型環(huán)節(jié)的各對數(shù)相頻特性相疊加;

直接利用相頻特性表達式進行計算。方法：先比例，后積分，然后按照轉(zhuǎn)折頻率由小到大的順序依次繪制各自近似的伯德圖，在各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處相應(yīng)改變斜率。

對數(shù)幅頻特性的低頻段的頻率特性為K/(jω)，表現(xiàn)為過點(1,20lgK)，斜率為-20dB/dec的直線頻率趨于無窮大時，漸近線斜率為-20(n-m)dB/dec

相角在頻率趨于無窮大時為-(n-m)×900

真正畫伯德圖時，并不需要先畫出各環(huán)節(jié)伯德圖，可根據(jù)靜態(tài)放大倍數(shù)和各環(huán)節(jié)時間常數(shù)直接畫出整個系統(tǒng)伯德圖。例1：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制開環(huán)對數(shù)漸進幅頻特性曲線。例2：設(shè)某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的對數(shù)漸進幅頻特性和對數(shù)相頻特性。1.K=10，

＝0

慣性環(huán)節(jié)：T1=0.25即ω1=4s-1

振蕩環(huán)節(jié)：T2=0.5即ω

2=2s-12.

低頻段L(ω)=20lgK＝20dB3.

繪制近似對數(shù)幅頻特性曲線4.

相頻特性(Minimumphasesystems)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在

S右半平面上既無極點、又無零點的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)；否則，為非最小相位系統(tǒng)。對于相同階次的基本環(huán)節(jié)，當(dāng)頻率ω

從0變到+∞時，最小相位的基本環(huán)節(jié)造成的相移是最小的。最小相位系統(tǒng)的相頻特性和幅頻特性是一一對應(yīng)的，知道了系統(tǒng)幅頻特性，其相頻特性就唯一確定。三、最小相位系統(tǒng)有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)屬于非最小相位系統(tǒng)。把延遲環(huán)節(jié)用零點和極點的形式近似表達時（泰勒級數(shù)展開），會發(fā)現(xiàn)它具有正實部零點。00020lg(T1/T2)結(jié)論:對于相同階次的基本環(huán)節(jié),當(dāng)ω從0到∞連續(xù)變化時,最小相位的基本環(huán)節(jié)造成的相移是最小的。對于最小相位系統(tǒng)，知道了幅頻特性，其相頻特性就唯一確定，而非最小相位系統(tǒng)則不唯一確定。工程實用中的大多數(shù)系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，為了簡化工作量，對于最小相位系統(tǒng)的伯德圖，可以只畫出對數(shù)幅頻特性。[例]具有延遲環(huán)節(jié)的開環(huán)頻率特性為：，試畫出伯德圖。[解]：

可見，加入了延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)其幅頻特性不變，相位特性滯后了。

§4-4

由頻率特性曲線求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)

有許多系統(tǒng)的物理模型很難抽象得準(zhǔn)確，其傳遞函數(shù)也很難用純數(shù)學(xué)分析的方法求出。對于這類系統(tǒng)，可以通過實驗測出系統(tǒng)的頻率特性曲線，進而求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

由伯德圖的作圖過程可知，幅頻曲線的轉(zhuǎn)折點對應(yīng)的頻率是時間常數(shù)的倒數(shù)。 下面討論如何確定靜態(tài)放大倍數(shù)。頻率特性曲線時間常數(shù)靜態(tài)放大倍數(shù)傳遞函數(shù)1.對于0型系統(tǒng)可見，0型系統(tǒng)幅頻特性伯德圖在低頻處的高度為20lgK0[-40][-20][-20]2.對于I型系統(tǒng)

可見，如果系統(tǒng)各轉(zhuǎn)角頻率均大于1，I型系統(tǒng)幅頻特性伯德圖在ω=1處的高度

；。1[-20][-40][-60][-40][-60]

如果系統(tǒng)有的轉(zhuǎn)角頻率小于1，則首段-20dB/dec斜率線的延長線與ω=1線的交點高度為。1[-20][-40][-40]3.對于

II

型系統(tǒng)1[-40][-60][-40][-20][-40]可見，如果系統(tǒng)各轉(zhuǎn)角頻率均大于1，II型系統(tǒng)幅頻特性伯德圖在ω=1

處的高度；[-60]

如果系統(tǒng)有的轉(zhuǎn)角頻率小于1，則首段-40dB/dec斜率線的延長線與ω=1

線的交點高度為。1[-40][-40][-20][-40]例：