第二章信號(hào)、系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的描述2.1.1微分方程的建立與求解

線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)是最常見(jiàn)最有用的一類(lèi)系統(tǒng)，描述這類(lèi)系統(tǒng)輸入—輸出特性的是常系數(shù)線性微分方程。從系統(tǒng)的模型——微分方程出發(fā)，在時(shí)域中研究輸入信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后響應(yīng)的變化規(guī)律，是研究系統(tǒng)時(shí)域特性的重要方法，這種方法就是時(shí)域分析法。2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的描述對(duì)任一節(jié)點(diǎn)，有

對(duì)任一回路，有

對(duì)于電阻R：電容C：電感L：2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的描述例2-1右圖是一階線性時(shí)不變系統(tǒng)。根據(jù)KVL：

根據(jù)VCR：

整理得：響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)激勵(lì)及其各階導(dǎo)數(shù)2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的描述例2-2右圖是二階線性時(shí)不變系統(tǒng)。

根據(jù)VCR：

根據(jù)KCL：根據(jù)KVL：

2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的描述n階LTI連續(xù)系統(tǒng)，其微分方程的一般形式為：式中，為系統(tǒng)的響應(yīng)變量（電流或電壓），為系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)（電流源或電壓源）。

2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的描述連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)可以用N階常系數(shù)微分方程描述。因此求連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)可以轉(zhuǎn)化為求解微分方程。求解微分方程的方法一般有兩種：時(shí)域經(jīng)典法和變換域法。

2.1.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的描述2.1.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)1.時(shí)域經(jīng)典法

時(shí)域經(jīng)典法可以把系統(tǒng)響應(yīng)分為齊次解和特解求解，或者用時(shí)域卷積法，把系統(tǒng)響應(yīng)分為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)求解。用齊次解和特解求解的一般思路和步驟是：(1)建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，即系統(tǒng)的微分方程；(2)根據(jù)方程的特征根確定齊次解的形式；(3)根據(jù)方程右邊激勵(lì)信號(hào)的形式確定特解形式；(4)將齊次解和特解相加得到方程的全解：(5)根據(jù)初始條件求解待定系數(shù)。2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的描述

線性動(dòng)態(tài)電路的完全響應(yīng)通?？煞譃榱爿斎腠憫?yīng)(ZIR,Zero-InputResponse)和零狀態(tài)響應(yīng)(ZSR,Zero-StateResponse)兩部分，即2.1.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的描述2.零輸入響應(yīng)（Zero-InputResponse）

從觀察的初始時(shí)刻起，不再施加輸入信號(hào)（即零輸入），僅由該時(shí)刻系統(tǒng)本身具有的初始狀態(tài)所引起的系統(tǒng)響應(yīng)稱(chēng)為零輸入響應(yīng)，或稱(chēng)為儲(chǔ)能響應(yīng)。2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的描述在研究以后的響應(yīng)時(shí)，時(shí)的值和稱(chēng)為初始狀態(tài)，而時(shí)的值和稱(chēng)為起始值（起始條件）。

2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的描述零輸入響應(yīng)可通過(guò)求解線性齊次微分方程得到。例2-3

解：步驟一：寫(xiě)出系統(tǒng)的微分方程：步驟二：零輸入響應(yīng)即輸入為0。微分方程可化為：步驟三：解該齊次微分方程：故系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的描述3.零狀態(tài)響應(yīng)（Zero-StateResponse）

在初始狀態(tài)為零的條件下，系統(tǒng)僅由外加輸入（激勵(lì)）信號(hào)引起的系統(tǒng)響應(yīng)，稱(chēng)為零狀態(tài)響應(yīng)，或稱(chēng)為受激響應(yīng)。2.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)1.沖激響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)屬于零狀態(tài)響應(yīng)，它的定義如下：LTI系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，由單位沖激信號(hào)引起的響應(yīng)稱(chēng)為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱(chēng)沖激響應(yīng)，記為h(t)。2.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)一般地，形如的一階系統(tǒng)，在作用下其微分方程為則沖激響應(yīng)為2.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)2.階躍響應(yīng)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)屬于零狀態(tài)響應(yīng)，它的定義如下：LTI系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，由單位階躍信號(hào)引起的響應(yīng)稱(chēng)為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱(chēng)階躍響應(yīng)，記為g(t)。2.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)一般地，形如的一階系統(tǒng)，在作用下其微分方程為則階躍響應(yīng)為2.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)h(t)與g(t)的關(guān)系：

前面我們學(xué)習(xí)了一階系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的求法。若我們碰到二階，三階等多階系統(tǒng)，要求解其系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，解微分方程的方法就會(huì)比較復(fù)雜。那么，對(duì)于一般的LTI系統(tǒng)，沖激響應(yīng)h(t)已知，對(duì)于任意的輸入信號(hào)如何快捷的求解出系統(tǒng)的ZSR？h(t)任意f(t)2.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的卷積分析方法積分結(jié)果一般是關(guān)于參變量t的函數(shù)。2.3.1連續(xù)信號(hào)的卷積積分及其性質(zhì)：1.卷積解析法2.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的卷積分析方法圖形掃描法的步驟：①④②③⑤卷積的結(jié)果一定是關(guān)于t的函數(shù)。2.卷積圖解法例：求卷積積分。-220t2*20t3/4-2202203/4-203/4-220203/4t-2tt-2t①①②③-20t2432.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的卷積分析方法3.卷積的性質(zhì)（1）交換律把積分變量改換成，即可證明此定律2.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的卷積分析方法（2）分配律分配律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。f(t)++并聯(lián)系統(tǒng)的返回2.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的卷積分析方法（3）結(jié)合律結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，等于組成串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。串聯(lián)系統(tǒng)的f(t)返回2.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的卷積分析方法（4）延時(shí)特性：根據(jù)時(shí)不變特性，有若2.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的卷積分析方法（5）微分特性：兩函數(shù)卷積后的導(dǎo)數(shù)等于其中一函數(shù)導(dǎo)數(shù)與另一函數(shù)之卷積。2.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的卷積分析方法（6）積分特性：兩函數(shù)卷積后的積分等于其中一函數(shù)積分與另一函數(shù)之卷積。2.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的卷積分析方法4.奇異信號(hào)的卷積某函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積就是它本身。利用微分特性2.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的卷積分析方法2.3.2連續(xù)系統(tǒng)的卷積分析方法：LTI系統(tǒng)任意f(t)若LTI系統(tǒng)的f(t)，h(t)已知，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為h(t)任意f(t)注意事項(xiàng)：若信號(hào)f(t)，h(t)都為因果信號(hào)，例總結(jié)：從例題可看出，系統(tǒng)時(shí)域分析是借助卷積來(lái)實(shí)現(xiàn)的。所以，理解卷積的物理概念很重要。其次，就是卷積的計(jì)算是分析的基礎(chǔ)。f(t)f(t)++2.4.1差分方程描述：2.4離散時(shí)間系統(tǒng)的描述離散時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)離散系統(tǒng)，指輸入信號(hào)是離散信號(hào)，輸出也是離散信號(hào)的系統(tǒng)。離散時(shí)間LTI系統(tǒng)可以用常系數(shù)線性差分方程來(lái)描述，其一般形式表示為：例1：y(n)表示一個(gè)國(guó)家在第n年的人口數(shù)，a、b分別代表出生率和死亡率，是常數(shù)。設(shè)f(n)是國(guó)外移民的凈增數(shù)，則該國(guó)在第n+1年的人口總數(shù)y(n+1)為多少？y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+f(n)=(a-b+1)y(n)+f(n)所以，有

y(n+1)+(b-a-1)y(n)=f(n)例2：某人還款f(n)元，銀行月利息為r，試問(wèn)用戶在第n個(gè)月末的欠款余額y(n)?有

y(n)=(1+r)y(n-1)-f(n)2.4離散時(shí)間系統(tǒng)的描述1.經(jīng)典法基本步驟：1）求系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（差分方程、傳輸算子等）；2)寫(xiě)出特征方程，并求出特征根（自然頻率）；3）根據(jù)特征根，求對(duì)應(yīng)齊次方程通解y0(k)；4）根據(jù)激勵(lì)形式求非齊次方程特解yt(k)；5）寫(xiě)出非齊次方程通解y(k)=y0(k)+yt(k)：6）根據(jù)初始值求待定系數(shù)；7）寫(xiě)出給定條件下非齊次方程解。不同特征根對(duì)應(yīng)的齊次解形式

常用激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)的特解形式

2.零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.4.2離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬系統(tǒng)的聯(lián)結(jié)方式有三種:1.系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)h(n)2.4.2離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬2.系統(tǒng)的并聯(lián)h(n)2.4.2離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬3.系統(tǒng)的反饋2.5離散系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)

單位沖激響應(yīng)求解方法:

迭代法和等效初始條件法。2.5離散系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)

1）迭代法

一階系統(tǒng)當(dāng)f(k)=(k),y(k)=h(k)時(shí)，有

2.5離散系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)

1）迭代法高階系統(tǒng)：解：例：求單位序列響應(yīng)h(k)，已知描述系統(tǒng)的差分方程為遞推求初值：代入通解求待定系數(shù)：2.5離散系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)

2.單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)求解方法主要有：（1）用經(jīng)典法求解差分方程；（2）利用單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)的關(guān)系：，

2.6離散系統(tǒng)的卷積和分析方法

2.6.1離散信號(hào)的卷積和及其性質(zhì)1.圖解法求卷積和1）f(k)、h(k)

f(m)、h(m)2）h(m)

h(-m)（折疊）3）h(k-m)（平移）4）f(m)h(k-m)（相乘）5）求和計(jì)算例：用圖解法求圖示信號(hào)的卷積和y(k)=f(k)*h(k)。2.6離散系統(tǒng)的卷積和分析方法

2.卷積和的性質(zhì)（