吳亞麗1線性系統(tǒng)的時間域理論線性系統(tǒng)時間域理論是以時間域數(shù)學(xué)模型為系統(tǒng)描述,直接在時間域內(nèi)分析和綜合線性系統(tǒng)的運動和特性的一種理論和方法。吳亞麗2提綱：第二章：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第三章：線性系統(tǒng)的運動分析第四章：線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性第五章：系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性第六章：線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合吳亞麗3提綱：第二章：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第三章：線性系統(tǒng)的運動分析第四章：線性系統(tǒng)的能控性和能觀測性第五章：系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性第六章：線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合本章提綱狀態(tài)和狀態(tài)空間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)輸入輸出模型導(dǎo)出狀態(tài)空間描述線性時不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程的約當規(guī)范型狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣吳亞麗4本章提綱狀態(tài)和狀態(tài)空間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)輸入輸出模型導(dǎo)出狀態(tài)空間描述線性時不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程的約當規(guī)范型狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣吳亞麗5

狀態(tài)和狀態(tài)空間

系統(tǒng)動態(tài)過程的數(shù)學(xué)描述吳亞麗6(1).系統(tǒng)的外部描述外部描述常被稱作為輸出—輸入描述例如.對SISO線性定常系統(tǒng):時間域的外部描述:復(fù)頻率域描述即傳遞函數(shù)描述(2)系統(tǒng)的內(nèi)部描述狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)內(nèi)部描述的基本形式,需要由兩個數(shù)學(xué)方程表征——狀態(tài)方程和輸出方程.(3)外部描述和內(nèi)部描述的比較

外部描述只是對系統(tǒng)的一種不完全描述,不能反映黑箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不能控或不能觀測的部分.

內(nèi)部描述則是系統(tǒng)的一種完全的描述,能夠完全反映系統(tǒng)的所有動力學(xué)特性.2/4,2/50基本概念(1)狀態(tài)：系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和將來的狀況(2)狀態(tài)變量：能夠完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小一組變量：表示系統(tǒng)時刻的狀態(tài)當時的輸入給定，且上述時的行為。狀態(tài)確定時，狀態(tài)變量能完全確定系統(tǒng)初始在(5)狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)與輸入之間關(guān)系的方程（組）作為分量的向量，即(3)狀態(tài)向量：以系統(tǒng)的n

個獨立狀態(tài)變量為(4)狀態(tài)空間:以狀態(tài)變量維空間。標軸構(gòu)成的坐輸出方程：描述系統(tǒng)輸出與狀態(tài)、輸入之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式(6)狀態(tài)變量的特點：(1)獨立性：狀態(tài)變量之間線性獨立.

(2)多樣性：狀態(tài)變量的選取并不唯一，實 際上存在無窮多種方案.

(3)等價性：兩個狀態(tài)向量之間只差一個非奇異

變換.(4)現(xiàn)實性：狀態(tài)變量通常取為涵義明確的物理量.(5)抽象性：狀態(tài)變量可以沒有直觀的物理意義.本章提綱狀態(tài)和狀態(tài)空間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)輸入輸出模型導(dǎo)出狀態(tài)空間描述線性時不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程的約當規(guī)范型狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣吳亞麗11描述系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量之間關(guān)系的方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式（動態(tài)方程或運動方程）.包括狀態(tài)方程（描述輸入和狀態(tài)變量之間的關(guān)系）和輸出方程（描述輸出和輸入、狀態(tài)變量之間的關(guān)系）吳亞麗12

線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述以上方程可表為形如1/7,5/50

連續(xù)系統(tǒng)典型例子：電路系統(tǒng)2/7,6/50

連續(xù)系統(tǒng)典型例子：機電系統(tǒng)以上方程可表為形如連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述動態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性時不變系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)3/7,7/50連續(xù)時間線性系統(tǒng)的方塊圖4/7,8/50直觀、簡明、形象地描述各個變量之間的關(guān)系。假設(shè)某個國家,城市人口為107,鄉(xiāng)村人口為9x107,每年4%的城市人口遷移去鄉(xiāng)村,2%的鄉(xiāng)村人口遷移去城市,整個國家的人口的自然增長率為1%.設(shè)k為離散時間變量,x1(k)、x2(k)為第k年的城市人口和鄉(xiāng)村人口,u(k)為第k年所采取的激勵性政策控制手段,設(shè)一個單位正控制措施可激勵5x104城市人口遷移鄉(xiāng)村,而一個單位負控制措施會導(dǎo)致5x104鄉(xiāng)村人口去城市,y(k)為第k年全國人口數(shù)5/7,9/50

離散系統(tǒng)典型例子：人口分布問題寫成矩陣形式5/7,9/50

離散系統(tǒng)典型例子：人口分布問題離散時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述離散時間線性時不變系統(tǒng)離散時間線性時變系統(tǒng)6/7,10/50離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的特點：一是:狀態(tài)方程形式上的差分型屬性（即：狀態(tài)方程為差分方程。）二是:描述方程的線性屬性。（狀態(tài)方程和輸出方程的右端，對狀態(tài)x和輸入u都

呈現(xiàn)為線性關(guān)系。）三是:變量取值時間的離散屬性（所有變量只能在離散時刻k取值）。離散時間線性系統(tǒng)的方塊圖7/7,11/50連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)的分類線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為向量函數(shù)若f,g的全部或至少一個組成元素為x、u的非線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。若f,g的全部組成元為x、u的線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)

對于線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)可以用泰勒展開方法化為線性系統(tǒng)。1/2,12/50時變系統(tǒng)和時不變系統(tǒng)若向量f,g不顯含時間變量t,該系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)

若向量f,g顯含時間變量t,該系統(tǒng)稱為時變系統(tǒng)

連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)

當且僅當系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量取值于連續(xù)時間點,反映變量間因果關(guān)系的動態(tài)過程為時間的連續(xù)過程,該系統(tǒng)稱為連續(xù)時間系統(tǒng)確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng)

稱一個系統(tǒng)為確定性系統(tǒng),當且僅當不論是系統(tǒng)的特性和參數(shù)還是系統(tǒng)的輸入和擾動,都是隨時間按確定的規(guī)律而變化的.2/2,13/50本章提綱狀態(tài)和狀態(tài)空間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)輸入輸出模型導(dǎo)出狀態(tài)空間描述線性時不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程的約當規(guī)范型狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣吳亞麗23由系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述

對于單輸入,單輸出線性時不變系統(tǒng),其微分方程描述其傳遞函數(shù)描述可以導(dǎo)出其狀態(tài)空間描述為如何獲得？結(jié)論1給定單輸入,單輸出線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導(dǎo)出(1)m=n,即系統(tǒng)為真情形(2)m<n,即系統(tǒng)為嚴真情形結(jié)論2給定單輸入,單輸出線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導(dǎo)出(1)m=0情形此時輸入輸出描述為:選取n個狀態(tài)變量其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為:其對應(yīng)的方框圖描述為:(2)m≠0情形此時輸入輸出描述為:a:令其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為:其中b:改寫為令

將：則：結(jié)論3給定單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述為：其極點即分母方程的根為兩兩互異實數(shù)，則對應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情形導(dǎo)出：(1)m<n，即系統(tǒng)為嚴真情形對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為(2)m=n，即系統(tǒng)為真情形令對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為：由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述例1

設(shè)系統(tǒng)方塊圖如下，試列寫其狀態(tài)空間描述解上圖等效為指定狀態(tài)變量組后，列寫變量間的關(guān)系方程：寫成矩陣形式例2

設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試列寫其狀態(tài)空間表達式。解可畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下寫出變量之間的關(guān)系寫成矩陣形式也可以畫出結(jié)構(gòu)圖為e11e13e12e2e3可寫出系統(tǒng)的動態(tài)方程為例3

設(shè)畫出結(jié)構(gòu)圖動態(tài)方程為本章提綱狀態(tài)和狀態(tài)空間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)輸入輸出模型導(dǎo)出狀態(tài)空間描述線性時不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程的約當規(guī)范型狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣吳亞麗對連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)(1)特征多項式均為實常數(shù)(2)特征方程式(3)凱萊-哈密爾頓（Caley-Hamilton）定理對系統(tǒng)矩陣A，有且僅有所有為線性無關(guān)，都可表示為它們的線性組合特征多項式相關(guān)概念(4)最小多項式的各個元多項式之間互質(zhì)定義Φ（s）為系統(tǒng)矩陣A的最小多項式，最小多項式Φ（s）也滿足凱萊-哈密爾頓定理，即Φ（A）=0(5)系統(tǒng)矩陣的循環(huán)性如果系統(tǒng)矩陣A的特征多項式α(s)和最小多項式Φ（s）之間只存在常數(shù)類型的公因子k，即則稱系統(tǒng)矩陣A是循環(huán)的。(6)特征多項式的計算預(yù)解矩陣①基于跡計算的特征多項式迭代算法②基于分解計算的特征多項式迭代算法特征值(1)特征值的代數(shù)屬性系統(tǒng)特征值就是使特征矩陣(sI－A)降秩的所有s值(2)特征值集對n維線性時不變系統(tǒng)，有且僅有n個特征值，特征值的全體構(gòu)成系統(tǒng)的特征值集。(3)特征值的形態(tài)特征值的形態(tài)要么為實數(shù)，要么為共軛復(fù)數(shù)特征值相關(guān)概念與定義(5)特征值的代數(shù)重數(shù)代數(shù)重數(shù)σi代表特征值集Λ中值為λi的特征值個數(shù)(6)特征值的幾何重數(shù)(7)特征值重數(shù)和類型的關(guān)系對n維線性時不變系統(tǒng)，若λi∈A為單特征值，則其代數(shù)重數(shù)σi和幾何重數(shù)αi之間必有(4)特征值類型

系統(tǒng)特征值可區(qū)分為“單特征值”和“重特征值”兩種類型吳亞麗46特征向量和廣義特征向量特征向量相關(guān)概念與定義(1)特征向量的幾何特性(2)特征向量的不唯一性(3)單特征值所屬特征向量的屬性對n維線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣A的屬于特征值{λ1、λ2、…λn}的相應(yīng)一組特征向量{v1、v2、…vn}為線性無關(guān)，當且僅當特征值{λ1、λ2、…λn}為兩兩互異。(4)廣義特征向量對n維線性時不變系統(tǒng)，設(shè)λi為n×n維系統(tǒng)矩陣A的一個σi重特征值，則本章提綱狀態(tài)和狀態(tài)空間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)輸入輸出模型導(dǎo)出狀態(tài)空間描述線性時不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程的約當規(guī)范型狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣吳亞麗48結(jié)論4

狀態(tài)方程的約當規(guī)范形特征值為兩兩互異的情形對n個特征值{λ1、λ2、…λn}兩兩互異的n維線性時不變系統(tǒng)，基于n個特征向量構(gòu)造變換陣p=[v1、v2、…vn]，則狀態(tài)方程可通過線性非奇異變換而化為約當規(guī)范形結(jié)論5

特征值包含重值的情形對包含重特征值的n維線性時不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的特征值基于相應(yīng)于各特征值的廣義特征向量組所組成的變換陣Q，令可將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為約當規(guī)范形：其中，Ji為相應(yīng)于特征值λi的約當塊：吳亞麗52吳亞麗53吳亞麗54吳亞麗55吳亞麗56吳亞麗57本章提綱狀態(tài)和狀態(tài)空間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)輸入輸出模型導(dǎo)出狀態(tài)空間描述線性時不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程的約當規(guī)范型狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣吳亞麗58由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣

定義單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即多輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換因果關(guān)系：稱G(s)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。其中(1)G(s)的函數(shù)屬性傳遞函數(shù)矩陣G(s)在函數(shù)屬性上是復(fù)變量s的q×p有理分式矩陣。(2)G(s)的真性和嚴真性當且僅當G(s)是真或嚴真時，G(s)才是物理上可實現(xiàn)的(3)G(s)的特征多項式和最小多項式

G(s)的相關(guān)性質(zhì)(5)G(s)的循環(huán)性若稱G(s)是循環(huán)的(6)G(s)正則性和奇異性(4)G(s)的極點G(s)的極點定義為方程式的根G(s)基于(A,B,C,D)的表達式考慮連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)則設(shè)G(s)的首一化特征多項式為αG(s)，A的特征多項式為α(s)，若必有若系統(tǒng)能控能觀測，則表G(s)的極點集合為ΛG，A的特征值集合Λ，若ΛG≠Λ，則ΛG?Λ；若系統(tǒng)能控能觀測，則ΛG=Λ。結(jié)論7

G(s)的實用計算關(guān)系式令

則本章提綱狀態(tài)和狀態(tài)空間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)輸入輸出模型導(dǎo)出狀態(tài)空間描述線性時不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程的約當規(guī)范型狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣吳亞麗64線性系統(tǒng)在坐標變換下的特性結(jié)論8實質(zhì)是把系統(tǒng)在空間一個坐標系上的表征化為另一個坐標系上的表征。坐標變換的幾何含義和代數(shù)表征