§2.3阻尼對振動的影響具有阻尼的單自由度體系的振動模型如圖(a)所示。k11m圖(a)Fp(t)CI(t)Fp(t)mS(t)R(t)對隔離體列動力平衡方程得(2-18)這就是單自由度體系有阻尼運動(微分)方程。體系的阻尼特性用阻尼減振器表示。阻尼系數(shù)為C，取質(zhì)量m為隔離體，靜平衡位置為位移計算起點，y方向向下。作用質(zhì)量m上的力有2.3.1有阻尼的自由振動在(2-18)式中令干擾力Fp(t)=0，即得考慮粘滯阻尼作用時單自由度體系自由振動的運動方程為(2-19)令：則上式可改寫為

這是一個齊次的常系數(shù)線性常微分方程，其解的形式為y=ert，代入上式得特征方程為解之得于是(2-20)式的通解為(2-20)k11mC其具體的表達形式取決于特征值的根式內(nèi)的具體結(jié)果。討論如下(a)當(dāng)<1(即弱阻尼情況)

此時r1和r2為兩個共軛的復(fù)根利用毆拉公式解可以寫成設(shè)初始條件為y(0)=y0，，可得則(2-21)改寫成單項的形式為(2-22)由(2-22)式可以看出，弱阻尼的自由振動是一種衰減振動，雖然它不是嚴格意義的周期運動，但質(zhì)點在相鄰兩次通過靜平衡位置時的時間間隔是相等的把這種振動稱為衰減性周期振動;y0v0ty圖(b)若用An表示時刻tn的振幅，An+1表示經(jīng)過了一個周期T′后的振幅，則有阻尼的自由振動的yt曲線如圖(b)所示。y0v0ty圖(b)上式說明，相隔一個周期后的兩個振幅之比為常數(shù)，即振幅是按等比級數(shù)衰減的。在有阻尼的振動問題中，是一個非常重要的參數(shù)，稱為阻尼比，工程中常根據(jù)上式來確定阻尼比。對上式兩邊取對數(shù)得(2-23)稱為對數(shù)遞減率(b)=1此時r1和r2為兩個相等的實根(2-20)式的解為(2-20)(2-24)其yt曲線如圖(c)所示。ty0v0y圖(c)(2-24)式表明，體系從初始位置出發(fā)，逐步返回到靜平衡位置，無振動發(fā)生。這是因為阻尼作用較大，體系受干擾偏離平衡位置所積蓄的初始能量，在恢復(fù)到平衡位置的過程中全部消耗于克服阻尼的影響，沒有多余的能量來引起振動。這種情況稱為臨界阻尼。此時的阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù)，用ccr表示。(c)﹥1此時r1和r2為兩個不等的負根(2-20)式的解可以寫成為(2-25)其yt曲線如圖(c)類似。它也無振動發(fā)生。這種情況稱為強阻尼或過度阻尼。在實際工程中很小遇到這種情況，故不再進一步討論。（2-20）ty0v0y圖(c)例2.8

圖示門架為一單層建筑的計算簡圖。設(shè)橫梁的EI=，EA=，房蓋系統(tǒng)和橫梁的重量及立柱部分質(zhì)量可以認為集中于橫梁上。設(shè)總重量為W，為了確定水平振動時門架的動力特征，進行以下振動實驗：在橫梁加一水平力Fp=98kN，門架的側(cè)移y0=0.5cm，然后突然釋放，使結(jié)構(gòu)作自由振動，并測得一個周期后橫梁擺回側(cè)移為y1=0.4cm，周期為T′=1.5s。求門架水平振動的阻尼系數(shù)C及5周后的振幅。解分析：求阻尼系數(shù)

C

EI=∞EA=∞m例2.8圖屬于弱阻尼情況，故可取T=T'=1.5s則阻尼系數(shù)為在橫梁加一水平力Fp=98kN，門架的側(cè)移y0=0.5cm2.3.2有阻尼的受迫振動

有阻尼體系（設(shè)<1）在一般動力荷載Fp(t)作用下，其動力位移也可表示為杜哈梅積分。由（2-21）式知，單獨由初始速度v0(y0=0)引起的振動為利用上式，象無阻尼情況一樣，可以導(dǎo)出瞬時沖量dS=Fp(t)d

t

引起的動力響應(yīng)為把一般動力荷載的加載過程看成為無窮多個瞬時沖量組成的，則對于t=

到t=+d的時間段上沖量dS=Fp()d來說，它所引起的動力響應(yīng)為（2-21）tFp(t)t圖(b)dS=Fp()dd則當(dāng)初始條件全為零時，一般動力荷載Fp(t)所引起的動力響應(yīng)為(2-26)下面討論當(dāng)初始條件全為零時，簡諧荷載Fp(t)所引起的動力響應(yīng)。將上式代入（2-26）式得積分可得上式說明，振動由兩部分組成第一部分振動的頻率與干擾力的頻率一致第二部分振動的頻率則與體系的衰減振動圓頻率'一致。由于阻尼的作用，頻率為’的那一部分振動（稱為伴生自由振動）因含有衰減因子e-t，將因衰減而很快消失。最后只剩下頻率為的那一部分振動(稱為穩(wěn)態(tài)受迫振動)下面討論穩(wěn)態(tài)受迫振動的一些性質(zhì)。由(2-27)式知，穩(wěn)態(tài)受迫振動的方程為將其表示為單項的形式為(2-28)式中(2-29)則振幅A又可改寫為

(2-30)(2-27)(2-30)由上式可知，動力系數(shù)不僅與頻比有關(guān)，而且與阻尼比有關(guān)。下圖給出了不同的值時曲線。4.03.02.01.00.51.01.52.0=1=0.5=0.2=0由圖可以看出(1)當(dāng)<<1(<<)時，1這表明當(dāng)體系的干擾力頻率遠小于體系的自振頻率時體系的振動的很慢，可近似地將Fpsint作為靜力荷載來計算。4.03.02.01.00.51.01.52.0=1=0.5=0.2=0(2)當(dāng)>>1(>>)時，0這表明當(dāng)體系的干擾力頻率遠大于體系的自振頻率時，體系振動的很快，且質(zhì)量m接近于不動或在靜平衡位置附近做幅度微小的高頻振動。(3)當(dāng)1()時，則很大這時阻尼比

對的影響很大。在0.75<<1.25（習(xí)慣上稱為共振區(qū)）的范圍內(nèi)，阻尼力顯著地減小了受迫振動的位移，但在此范圍以外的區(qū)域，阻尼力的影響較小，可近似地按無阻尼計算。4.03.02.01.00.51.01.52.0=1=0.5=0.2=0(4)的最大值并不發(fā)生在=1處。利用求極值的方法，不難求得，當(dāng)時的取得最大值。但因阻尼比很小，在工程計算時，仍近似地將=1時的值作為最大值，并稱此時的振動為共振。此時的動力系數(shù)為(2-31)(5)

此外，由(2-28)式知，動力響應(yīng)為干擾力Fp(t)不同步。其相位差為(2-28)當(dāng)<1時，0<</2

當(dāng)>1時，/2<<

當(dāng)=1時，

=/2

也就是說，只要有阻尼的存在，位移總是滯后于振動荷載。共振時，將=/2代入動力響應(yīng)方程可得可知共振時慣性力與彈性恢復(fù)力相互平衡。注意到共振(=1)時，。則阻尼力為這說明，共振時干擾力與阻尼力相互平衡，故運動呈穩(wěn)態(tài)，而在無阻尼受迫振動時，因無此阻尼項與干擾力相平衡，故出現(xiàn)位移與內(nèi)力無限增大現(xiàn)象。例2.9

如圖示結(jié)構(gòu)當(dāng)初始條件為零時，求地面水平運動引起的動力反應(yīng)。解地面在水平方向若發(fā)生運動,體系將產(chǎn)生受迫振動。如地震或臨近的動力設(shè)備對結(jié)構(gòu)的影響都屬于該類問題。如題2.9圖所示單自由度體系，在質(zhì)量m上并沒有直接作用動力荷載。設(shè)地面的水平運動為yg(t)，于是質(zhì)量m發(fā)生了相對地面的位移y(t)，在任一時刻t，質(zhì)量m的絕對位移為