化工問題的建模 與數學分析方法——ModellingandAnalyticalMethodsforProblemsinChemicalEngineering第二章常微分方程

1、二階線性常系數方程的解法2、二階變系數方程的級數解法3、一階微分方程組的矩陣解法4、穩(wěn)定性問題分析第二章常微分方程——二階常系數方程一、二階常系數方程的解法

1。齊次方程通解 設

得第二章常微分方程——二階變系數方程二、二階變系數方程的解法1、級數解法

廣義冪級數

代入方程，比較系數法確定參數c和

an

第二章常微分方程——二階變系數方程 設

代入，得

第二章常微分方程——二階變系數方程首項xc的系數為0——指標方程第n項xn+c的系數為0

——遞推公式

第二章常微分方程——二階變系數方程2。Bessel方程及其級數解

稱為k階Bessel方程。采用冪級數解法，得首項系數為0的指標方程

第二章常微分方程——二階變系數方程遞推公式

第一解

第二章常微分方程——二階變系數方程第二解分為以下三種情況

i)k為分數

ii)k=0

第二章常微分方程——二階變系數方程iii)k為整數

第二章常微分方程——二階變系數方程

3、Legendre方程與Legendre函數 設

代入，得

第二章常微分方程——二階變系數方程遞推公式 根據冪級數收斂判別法知，在x=±1處級數發(fā)散，但物理上函數又是有界的，因此只有參數l取整數才能保證級數在x=±1處收斂，此時級數成為Legendre多項式

第二章常微分方程——一階常系數方程組三、一階常系數方程組的矩陣解法

齊次方程

第二章常微分方程——一階常系數方程組設代入方程得 從中可解出n個特征根和特征向量，構成基解矩陣第二章常微分方程——一階常系數方程組通解或

y=Yc 常數c由初始條件確定

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析 流動的穩(wěn)定性——雷諾實驗、圓柱型水流 反應器的熱穩(wěn)定性——飛溫與熄火 平行平板間的熱對流穩(wěn)定性——Benard現象 壓桿、板殼的屈曲穩(wěn)定性穩(wěn)定性分析方法 線性穩(wěn)定性分析：小擾動的線性化動態(tài)分析，獲得失穩(wěn)判據。 非線性穩(wěn)定性理論：分叉、混沌，非線性科學問題。

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析1、線性穩(wěn)定性分析方法 目的——獲取失穩(wěn)判據； 方法——穩(wěn)態(tài)附近對小擾動線性展開，由特征根確定非線性動力系統(tǒng) 定常態(tài)f(ys)=0

設x(t)為小擾動，令

y(t)=ys+x(t)

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析代入原方程，泰勒展開，保留線性項通解穩(wěn)定性判別

若A的特征根都是負的，則零解是漸近穩(wěn)定的；若至少有一個根的是正的，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；若都為零，則不定。

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析Routh－Hurwitz判定行列式

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析Routh指出，若采用如下的判定函數RiR0=△0,R1=△1,R2=△2

/△1,…,Rn

=△n

/△n-1=an則當所有的判定函數為正值時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。Hurwitz則證明了以下定理：實系數的n次代數方程的一切根的實部都是負數的充分必要條件是所有判定行列式均大于0。

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析3）tr2－4<0，tr0

：1，2

為復數，穩(wěn)態(tài)點振蕩焦點4）tr

＝0，>0，1，2都是純虛數

穩(wěn)態(tài)點為中心點

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析3、化學反應器的熱穩(wěn)定性

取 x=cA－cAs,y=T－Ts

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析將反應項與移熱項線性展開特征根方程

第二章常微分方程——線性穩(wěn)定性分析漸近穩(wěn)定性條件