§6-1工程中的彎曲變形問題§6-2撓曲線的微分方程§6-3用積分法求彎曲變形§6-4用疊加法求彎曲變形§6-5簡單超靜定梁§6-6提高彎曲剛度的一些措施§6-1工程中的彎曲變形問題在工程實(shí)踐中，對(duì)某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正常工作。搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動(dòng)作用?！?-2撓曲線的微分方程1.梁的撓曲線：梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線。B1Fxqqwyx2.梁位移的度量：②撓度：梁橫截面形心的豎向位移w，向上的撓度為正①轉(zhuǎn)角：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度q，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正③撓曲線方程：撓度作為軸線坐標(biāo)的函數(shù)—w=f(x)④轉(zhuǎn)角方程(小變形下)：轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系—3.計(jì)算位移的目的：剛度校核、解超靜定梁、適當(dāng)施工措施4.撓曲線的近似微分方程推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時(shí)，得到：忽略剪力對(duì)變形的影響由彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定可得，彎矩的符號(hào)與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)一致，所以撓曲線的近似微分方程為：由上式進(jìn)行積分，再利用邊界條件（boundarycondition）和連續(xù)條件(continuitycondition)確定積分常數(shù)。就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。①適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長構(gòu)件的平面彎曲。②可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點(diǎn)：計(jì)算較繁。5.討論：§6-3用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再積分一次得撓度方程為：例6-3-1求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。解1）由梁的整體平衡分析可得：2）寫出x截面的彎矩方程3）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次再積分一次ABF4）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度ABF例6-3-2求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC段：CB段：4）由邊界條件確定積分常數(shù)代入求解，得位移邊界條件光滑連續(xù)條件5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段：CB段：6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度令得，令得，梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：θAθB由邊界條件：得：§6-4用疊加法求彎曲變形設(shè)梁上有n個(gè)載荷同時(shí)作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為，撓度為y，則有：若梁上只有第i個(gè)載荷單獨(dú)作用，截面上彎矩為Mi(x)

，轉(zhuǎn)角為i，撓度為yi，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，故由于梁的邊界條件不變，因此重要結(jié)論：梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算彎曲變形的疊加原理。例6-4-1按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度。qqPP=+AAABBBCaa例6-4-2已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC；B截面的轉(zhuǎn)角B。二、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）：例6-4-4試按疊加原理求圖示等直外伸梁截面B的轉(zhuǎn)角B，以及A端和BC段中點(diǎn)D的撓度wA和wD。解：=例6-4-4剛架ABC承載如圖,各桿的抗彎剛度為EI,求剛架自由端C的水平位移和垂直位移.水平位移垂直位移§6-5簡單超靜定梁例6-5-1試求圖示系統(tǒng)的求全部未知力。解：建立靜定基確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)——靜定基。=q0LABLq0MABAq0LRBABxf幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程——變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：解：建立靜定基=例6-5-1結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力。LBCq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0ABxf=LBCq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程——變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）xf例6-5-3試求圖a所示系統(tǒng)中鋼桿AD內(nèi)的拉力FN。鋼梁和鋼桿的材料相同，彈性模量E已知；鋼桿的橫截面積A和鋼梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩I亦為已知。需要注意，因lDA亦即圖b中的是向下的，故上式中wAF為負(fù)的。于是根據(jù)位移(變形)相容條件得補(bǔ)充方程：由此求得§6-6提高彎曲剛度的一些措施一、改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩?cái)?shù)值改變支座形式改變載荷類型二、選擇合理的截面形狀三

、選用高強(qiáng)度材料，提高許用應(yīng)力值同類材料，“E”值相差不多，“b”相差較大，故換用同類材料只能提高強(qiáng)度，不能提高剛度和穩(wěn)定性