2．7探索勾股定理(一)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a.(1)若c＝25，b＝15，則a＝20；(2)若a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,2)，則c＝eq\f(1,2)eq\r(,2)；(3)若a＝1，c＝2，則b＝eq\r(3)．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝12，則BC邊上的中線AD＝6eq\r(,3)．(第2題)(第3題)3．如圖，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，CD是AB邊上的高線，則CD＝eq\f(12,5)．4．把直角三角形兩直角邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則斜邊長(zhǎng)(B)A.不變B.擴(kuò)大到原來(lái)的3倍C.擴(kuò)大到原來(lái)的6倍D.擴(kuò)大到原來(lái)的9倍5．已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm，有下列結(jié)論：①斜邊長(zhǎng)為25cm；②斜邊長(zhǎng)為5cm；③周長(zhǎng)為12cm；④面積為6cm2；⑤面積為12cm2.其中正確的是(BA．①②B．②③④C．②③⑤D．①④6．在一個(gè)直角三角形中，有兩邊長(zhǎng)分別為6和8，則下列說(shuō)法中正確的是(D)A．第三邊一定為10B．三角形的周長(zhǎng)為25C．三角形的面積為48D．第三邊可能為107．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，則BC∶AC∶AB的值為(C)A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶eq\r(3)∶2D．1∶2∶eq\r(3)8．在如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為(A)A．49cm2B．98cm2C．147cm2D．無(wú)法確定(第8題)(第9題)9．如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△ACP′重合．如果AP＝3，求線段PP′的長(zhǎng)．【解】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得△APB≌△AP′C.∴AP＝AP′＝3，∠BAP＝∠CAP′，∴∠CAP′＋∠PAC＝∠BAP＋∠PAC＝∠BAC＝90°，∴△PAP′為Rt△.由勾股定理，得PP′＝eq\r(PA2＋P′A2)＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(,2).10．為了美化環(huán)境，建設(shè)綠色校園，學(xué)校計(jì)劃鋪設(shè)一塊面積為30m2的等腰三角形綠地．已知等腰三角形一邊長(zhǎng)為10m，且頂角是銳角(第10題解①)【解】在等腰△ABC中，AB＝AC，面積為30m2若底邊長(zhǎng)BC＝10m(如解圖①)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D.∵S△ABC＝eq\f(1,2)AD·BC＝30，∴AD＝6，∵△ABC是等腰三角形，∴CD＝eq\f(1,2)BC＝5，∴AB＝AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(61).(第10題解②)若腰長(zhǎng)AB＝AC＝10m(如解圖②)，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D.∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BD＝30，∴BD＝6，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝8，∴CD＝2，∴BC＝eq\r(CD2＋BD2)＝2eq\r(10).綜上所述，這塊等腰三角形綠地另外兩邊的長(zhǎng)分別為eq\r(61)m，eq\r(61)m或10m，2eq\r(10)m.(第11題)11．如圖，在等邊△ABC中，AB＝a，BD是∠ABC的平分線，求BD的長(zhǎng)及△ABC的面積．【解】∵△ABC為等邊三角形，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)a.在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\f(\r(3),2)a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(\r(3),4)a2.12．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2的距離為2，l2，l3的距離為3，則AC的長(zhǎng)為2eq\r(17)．(第12題)【解】分別過(guò)A，C兩點(diǎn)作AD⊥l3，CE⊥l3，垂足分別為D，E，則AD＝3，CE＝2＋3＝5，∠DAB＋∠ABD＝90°.∵AB⊥BC，∴∠ABD＋∠EBC＝90°，∴∠DAB＝∠EBC.又∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC＝90°，∴△ADB≌△BEC(AAS)，∴AD＝BE，DB＝CE.在△ADB中，AB2＝AD2＋DB2＝32＋52＝34＝BC2.在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝34＋34＝68.∴AC＝2eq\r(17).13．如圖①，一架梯子AB長(zhǎng)2.5m，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為1.5m，梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上，如圖②所示，測(cè)得BD＝0.5m，求梯子頂端A下滑的距離．(第13題)【解】在Rt△ACB中，AC2＝AB2－BC2＝－＝4，∴AC＝2.∵BD＝，∴CD＝2.在Rt△ECD中，EC2＝ED2－CD2＝－22＝，∴EC＝.∴AE＝AC－EC＝2－＝(m)．答：梯子頂端下滑了0.5m.14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以AC，BC，AB為直徑向外畫(huà)半圓，則這三個(gè)半圓的面積之間有什么關(guān)系？(第14題)【解】設(shè)以AC為直徑的半圓面積為S1，則S1＝eq\f(1,2)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,8)πAC2.設(shè)以AB為直徑的半圓面積為S2，則S2＝eq\f(1,2)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,8)πAB2.設(shè)以BC為直徑的半圓面積為S3，則S3＝eq\f(1,2)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,8)πBC2.在Rt△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2，∴S1＋S3＝S2.15．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如圖①，根據(jù)勾股定理，則a2＋b2＝c2.若△ABC不是直角三角形，如圖②和圖③分別為銳角三角形和鈍角三角形，請(qǐng)你類(lèi)比勾股定理，試猜想a2＋b2與c2的關(guān)系，并說(shuō)明理由．(第15題)【解】當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，有a2＋b2>c2；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，有a2＋b2<c2.理由如下：①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.設(shè)CD＝x，則DB＝a－x，在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝b2－x2，在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝c2－(a－x)2，∴AD2＝b2－x2＝c2－(a－x)2，化簡(jiǎn)、整理，得a2＋b2＝c2＋2ax.∵a>0，x>0，∴2ax>0.∴a2＋b2>c2.②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)