定量資料的統(tǒng)計(jì)描述課程信箱主要內(nèi)容頻數(shù)分布表的編制和用途頻數(shù)分布的特征和類型集中趨勢(shì)指標(biāo)均數(shù)、幾何均數(shù)、中位數(shù)離散趨勢(shì)指標(biāo)極差、四分位數(shù)間距、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)百分位數(shù)計(jì)算器的應(yīng)用連續(xù)型資料和離散型資料連續(xù)型資料（continuousdata）

理論上在任何兩個(gè)連續(xù)型數(shù)據(jù)之間都還有無(wú)窮多個(gè)數(shù)據(jù)；只要測(cè)量?jī)x器足夠精確，連續(xù)型數(shù)據(jù)可以精確到小數(shù)點(diǎn)后第無(wú)限位，比如體重在60.1和60.2kg之間理論上存在著無(wú)限多個(gè)數(shù)據(jù)。離散型資料（discretedata)

往往是一種計(jì)數(shù)，這種計(jì)數(shù)只能是0和正整數(shù)，不會(huì)是負(fù)數(shù)，也沒(méi)有小數(shù)點(diǎn)；比如心率、脈搏、兒童齲齒個(gè)數(shù)、血小板數(shù)、某年某地交通事故死亡人數(shù)等。隨機(jī)變量和研究資料的類型頻數(shù)分布表

為了了解資料的分布特征，當(dāng)觀察值很多時(shí)，直接從原始數(shù)據(jù)很難得出概括的印象。這時(shí)可以通過(guò)資料的整理，編制頻數(shù)分布表（簡(jiǎn)稱頻數(shù)表），來(lái)顯示數(shù)據(jù)分布的范圍、數(shù)據(jù)最集中的區(qū)間和分布的形態(tài)。找出最大值和最小值，計(jì)算極差。極差（R）也叫全距，它是一組變量值中最大值與最小值之差。最大值為51.2kg，最小值為20.1kg，極差R=51.2-20.1=31.1kg。按極差大小決定組段數(shù)、組段和組距斯梯階公式：經(jīng)驗(yàn)劃分：組段數(shù)的多少一般根據(jù)觀察單位的多少來(lái)確定，過(guò)多或過(guò)少均不能更好地反映資料的分布特征，以能夠反映頻數(shù)分布的特點(diǎn)為宜，一般分為8~15組。本例初步確定為10個(gè)組。按極差大小決定組段數(shù)、組段和組距

相鄰組段下限值之差稱為組距，一般分組時(shí)取組距相等。組距=極差/組數(shù)，常取整數(shù)作組距，取整只是為了方便資料的整理匯總。本例組距=31.1/10=3.11≈3。頻數(shù)表的編制本例最小值為20.1，故取20為第一組的下限。第二組下限即20+3=23，余類推。

最后一個(gè)組段為50~53，包括最大值51.2。列表劃記，統(tǒng)計(jì)各組段頻數(shù)。計(jì)算頻率與累計(jì)頻率。150名12歲男童體重（kg）頻數(shù)分布表

組段頻數(shù)f頻率（%）累計(jì)頻數(shù)累計(jì)頻率（%）20~21.321.323~74.796.026~106.71912.729~1510.03422.732~2516.75939.335~3523.39462.738~2315.311778.041~1812.013590.044~85.314395.347~53.314898.750~5321.3150100.0合計(jì)150100.0某地150名12歲男童體重頻數(shù)分布圖

頻數(shù)分布的類型

頻數(shù)分布分為對(duì)稱分布和偏態(tài)分布兩種。對(duì)稱分布是指集中位置在正中，左右兩側(cè)頻數(shù)分布大體對(duì)稱，如上圖。某地150名12歲男童體重頻數(shù)分布圖實(shí)際應(yīng)用中，頻數(shù)分布的形態(tài)很重要，分布不同，計(jì)算的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)及方法也不同。偏態(tài)分布集中位置偏向一側(cè)，頻數(shù)分布不對(duì)稱。正、右偏態(tài)（峰）分布：集中位置偏于左側(cè)，頻數(shù)尾部向右側(cè)延伸，如一些以兒童為主的傳染病的年齡分布。鏈球菌感染咽炎患者潛伏期分布圖（正偏峰分布）負(fù)、左偏態(tài)（峰）分布：集中位置偏向右側(cè)，頻數(shù)尾部向左側(cè)延伸，如一些慢性病患者的年齡分布。207例某惡性腫瘤患者年齡分布（負(fù)偏峰分布）鏈球菌感染咽炎患者潛伏期分布圖（正偏峰分布）頻數(shù)表的用途

作為統(tǒng)計(jì)資料描述的一種表達(dá)方式，可以揭示資料分布類型與特征。便于發(fā)現(xiàn)資料中遠(yuǎn)離群體的某些特大或特小的可疑值，必要時(shí)經(jīng)檢驗(yàn)后舍去。作為正態(tài)性判斷的圖示法。便于計(jì)算統(tǒng)計(jì)指標(biāo)和進(jìn)一步分析處理。集中趨勢(shì)指標(biāo)

平均數(shù)（average）用來(lái)描述一組變量的集中趨勢(shì)、中心位置或平均水平，常作為一組資料的代表值，使資料產(chǎn)生簡(jiǎn)明概括的印象，又便于組間的比較。平均數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用必須具備同質(zhì)基礎(chǔ)。常用的平均數(shù)有均數(shù)、幾何均數(shù)和中位數(shù)。均數(shù)（mean）均數(shù)是算術(shù)均數(shù)的簡(jiǎn)稱，它反映了一組觀察值在數(shù)量上的平均水平。總體均數(shù)用希臘字母μ表示，樣本均數(shù)用表示。均數(shù)的計(jì)算

均數(shù)的計(jì)算方法有直接法和加權(quán)法，計(jì)算機(jī)運(yùn)算中多采用直接法。均數(shù)的計(jì)算加權(quán)法

當(dāng)資料中相同觀察值較多時(shí)，可將相同觀察值的個(gè)數(shù)，即頻數(shù)f乘以該觀察值x，以代替相同觀察值逐個(gè)相加。對(duì)于頻數(shù)表資料，可用各組段的頻數(shù)為f，以相應(yīng)的組中值為x，代入公式計(jì)算均數(shù)。組中值：該組段下限和上限的均值，或該組段下限和下一個(gè)組段下限的均值。組中值組段組中值頻數(shù)f頻率（%）20~21.521.323~24.574.726~27.5106.729~30.51510.032~33.52516.735~36.53523.338~39.52315.341~42.51812.044~45.585.347~48.553.350~5351.521.3合計(jì)150100.0均數(shù)的應(yīng)用

描述呈對(duì)稱分布的資料，特別是正態(tài)分布或者近似正態(tài)分布的資料的平均水平，因?yàn)檫@時(shí)均數(shù)位于分布的中心，最能反映分布的集中趨勢(shì)。幾何均數(shù)（geometricmean，G）有些醫(yī)學(xué)資料，如抗體的滴度、細(xì)菌計(jì)數(shù)、傳染病的潛伏期等，其頻數(shù)分布明顯偏態(tài)，各觀察值之間呈倍數(shù)變化，這時(shí)應(yīng)該用幾何均數(shù)反映其平均增（減）倍數(shù)。用途：用于描述等比級(jí)數(shù)資料和對(duì)數(shù)正態(tài)分布資料等的平均水平。幾何均數(shù)的計(jì)算直接法：是將n個(gè)觀察值x1，x2，x3…xn的乘積開(kāi)n次方所得的根。加權(quán)法：幾何均數(shù)應(yīng)用的注意事項(xiàng)觀察值不能為0。因?yàn)?不能取對(duì)數(shù)，也不能與任何其它數(shù)呈對(duì)數(shù)關(guān)系。可以把所有的變量值均加上一個(gè)較小的常數(shù)，如加0.001。觀察值不能同時(shí)有正值和負(fù)值。若全是負(fù)值，計(jì)算時(shí)可把負(fù)號(hào)去掉，得出結(jié)果后再加上負(fù)號(hào)。中位數(shù)（median,M）中位數(shù)是將一組觀察值從小到大按順序排列，位次居中的數(shù)值對(duì)應(yīng)的觀察值就是中位數(shù)。因而全部觀察值中，大于和小于中位數(shù)的觀察值的個(gè)數(shù)相等。用途：中位數(shù)常用于描述偏態(tài)分布或末端無(wú)確定數(shù)據(jù)時(shí)資料的平均水平或集中位置。因?yàn)橹形粩?shù)不是由全部觀察值的數(shù)量值綜合計(jì)算出來(lái)的，只受居中變量值波動(dòng)的影響，不受兩端特小值和特大值的影響。直接法計(jì)算中位數(shù)

將原始觀察值按大小順序排列：n為奇數(shù)時(shí)，

n為偶數(shù)時(shí)，

例：臨床觀察7名某病患者，其潛伏期（天）分別為：2，3，3，5，6，9，16，求其平均潛伏天數(shù)。M＝5臨床觀察8名某病患者，其潛伏期（天）分別為：2，3，3，5，6，9，16，20求其平均潛伏天數(shù)。M＝（5+6）/2＝5.5頻數(shù)表法計(jì)算中位數(shù)

頻數(shù)表法是以第50位百分位數(shù)（P50）作為中位數(shù)。百分位數(shù)（percentile，P）是指把一組資料的全部觀測(cè)值分為兩部分，理論上講，有x%的觀測(cè)值比Px小，有（100-x）%的觀測(cè)值比Px大。頻數(shù)表法

M=P50Lx:第x百分位數(shù)所在組段的下限；fx：第x百分位數(shù)所在組段的頻數(shù)；ix：第x百分位數(shù)所在組段的組距；ΣfL：小于L各組段的累計(jì)頻數(shù)。某醫(yī)師檢測(cè)120例鏈球菌感染咽炎患者咽痛至發(fā)熱出現(xiàn)的時(shí)間（小時(shí)），試計(jì)算中位數(shù)、第25、75百分位數(shù)。潛伏期病例數(shù)累計(jì)頻數(shù)累計(jì)頻率（%）12-221.724-202218.336-365848.348-288671.760-109680.072-810486.784-811293.396-411696.7108-4120100.0合計(jì)120中位數(shù)所在組段P25所在組段P75所在組段某醫(yī)師檢測(cè)120例鏈球菌感染咽炎患者咽痛至發(fā)熱出現(xiàn)的時(shí)間（小時(shí)），試計(jì)算中位數(shù)、第25、75百分位數(shù)。百分位數(shù)的應(yīng)用

百分位數(shù)用于描述樣本或總體觀察值序列在某百分位置水平，多個(gè)百分位數(shù)結(jié)合應(yīng)用時(shí)，可更全面地描述總體或樣本的分布特征，可用來(lái)確定醫(yī)學(xué)參考值范圍。由于位于中部的百分位數(shù)比較穩(wěn)定，所以最常用的百分位數(shù)是中位數(shù)，它有較好的代表性。離散程度指標(biāo)三組同性別、同年齡兒童的體重（kg）如下，分析其集中趨勢(shì)與離散趨勢(shì)。甲組2628303234Mean=30kgR=8S=3.16乙組2427303336Mean

=30kgR=12S=4.74丙組2629303134Mean

=30kgR=8S=2.91哪一組數(shù)值的代表性好？離散程度指標(biāo)離散趨勢(shì)即個(gè)體值之間的變異程度，數(shù)據(jù)越分散，變異程度越高。極差四分位數(shù)間距方差標(biāo)準(zhǔn)差變異系數(shù)極差（range，R）極差也叫全距，表示一組觀察值中最大值與最小值之差，反映個(gè)體差異的范圍。極差大，說(shuō)明變異度大，各變量值離均數(shù)越遠(yuǎn)，數(shù)據(jù)越分散；反之亦然。缺點(diǎn)：由于計(jì)算極差時(shí)只采用了最大值和最小值，未考慮組內(nèi)其它數(shù)據(jù)的變異程度，因此用極差反映變異度不夠全面，穩(wěn)定性也差；當(dāng)樣本例數(shù)增大時(shí)，得到較大或較小觀察值的機(jī)會(huì)可能會(huì)變大，所以極差也可能更大。四分位數(shù)間距（quartilerange,QR）QR=QU-QL=P75–P25四分位數(shù)間距包含一半的觀測(cè)值，其值越大，變異程度越大；其值越小，變異程度越小。優(yōu)點(diǎn)：采用四分位數(shù)間距來(lái)反映一組資料的變異程度，比極差穩(wěn)定。實(shí)際工作中，常與中位數(shù)結(jié)合使用，描述偏態(tài)分布資料的分布特征。

缺點(diǎn)：不能全面地反映所有觀察值的變異程度。離散趨勢(shì)指標(biāo)極差R離均差（x-μ）離均差總和(x)=0離均差平方和(x)2

均方（方差）σ2=(x)2/N

標(biāo)準(zhǔn)差四分位數(shù)間距QR方差與標(biāo)準(zhǔn)差但是在實(shí)際工作中，總體方差往往是未知的，常用樣本方差s2來(lái)估計(jì)。在公式中，用代替，用n代替N，這時(shí)計(jì)算的結(jié)果往往比總體方差σ2要小，所以分母用n-1來(lái)代替N，即公式變?yōu)椋簶颖痉讲顂2是總體方差σ2的無(wú)偏估計(jì)。N-1：自由度，常用ν或df表示，是指隨機(jī)樣本研究中，可獨(dú)立地隨機(jī)選擇變動(dòng)的觀測(cè)值的個(gè)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差（s，SD）的計(jì)算通常所說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)差為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算包括直接法和加權(quán)法兩種。標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)差是反映數(shù)據(jù)變異程度的指標(biāo)，其大小受每一個(gè)觀察值的影響，變異程度大，標(biāo)準(zhǔn)差也大。常用于描述對(duì)稱分布，尤其是正態(tài)分布或近似正態(tài)分布資料的離散程度。各觀察值同加（或減）一個(gè)不為零的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差仍保持不變；但每一個(gè)觀察值同乘（或除）一個(gè)不為零的常數(shù)，其標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差乘（或除）以該常數(shù)的絕對(duì)值。誰(shuí)的離散程度大？身高：Mean=172cm，SD=8cm體重：Mean=63kg，SD=6kg身高（30歲）：Mean=172cm，SD=8cm身高（3歲）：Mean=98cm，SD=5cm變異系數(shù)（CV）

CV=s/×100%它是反映相對(duì)變異度的指標(biāo)。變異系數(shù)常用于：測(cè)量單位不同的幾組資料變異度的比較；均數(shù)相差懸殊的幾組資料變異度的比較。誰(shuí)的離散程度大？身高：Mean=172cm，SD=8cm，CV=0.047體重：Mean=63kg，SD=6kg，CV=0.095身高（30歲）：Mean=172cm，SD=8cm，CV=0.047身高（3歲）：Mean=98cm，SD=5cm，CV=0.051計(jì)算器功能簡(jiǎn)介MODE或D·R·G：模式轉(zhuǎn)換DEG：degree角度RAD：radian弧度GRA：gradient梯度INV、SHIFT或2ndF：第二功能SD或

STAT：統(tǒng)計(jì)功能

，Σx，Σx2,σn（σXσ），σn-1（sX,s），n。X、data或DT：數(shù)據(jù)儲(chǔ)存

Xi

×fdata小結(jié)

頻數(shù)的分布特征：集中趨勢(shì)和離散趨勢(shì)。頻數(shù)的分布類型：對(duì)稱分布和偏態(tài)分布。平均數(shù)是描述頻數(shù)分布集中位置的指標(biāo)，