第7章彎曲變形※

工程問題中的彎曲變形※

撓曲線的近似微分方程※

用積分法求彎曲變形※

用疊加法求彎曲變形※

簡單靜不定梁※

提高彎曲剛度的措施§7-1概述

在工程實(shí)踐中，對(duì)某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正常工作。一、工程實(shí)踐中的彎曲變形問題

搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。FF

但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。

例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。二、彎曲變形的基本概念FxlxABl描述截面上任一點(diǎn)的位移:1、形心軸的線位移

——撓度v2、截面繞形心軸的角位移

——轉(zhuǎn)角ABF二、彎曲變形的基本概念xlxlF

變彎的形心軸——

撓曲線F

撓度隨坐標(biāo)變化的方程——撓曲線方程F

忽略剪切變形

+

梁的轉(zhuǎn)角一般很小——正負(fù)號(hào)確定——確定坐標(biāo)系:v向上為正,逆時(shí)針為正.方程簡化小變形時(shí)：xvxv§7-3用積分法求彎曲變形F

C、D為積分常數(shù)，它由位移邊界與連續(xù)條件確定。邊界條件：梁截面的已知位移條件

連續(xù)條件：分段處撓曲軸應(yīng)滿足的連續(xù)、光滑條件連續(xù):光滑:ACDMFB$

撓曲線在B、C點(diǎn)連續(xù)且光滑例2：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定max和vmax。llxxy解：由邊界條件：得：lxxy梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：xyABPlx梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：xy例4：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定max

和vmax

。ABPCxxy解：AC段:ABPCx由對(duì)稱條件：由邊界條件：得：得：畫撓曲線的大致形狀A(yù)DBC+_Q+MF

根據(jù)彎矩圖定凹凸性，F(xiàn)

彎矩圖過零點(diǎn)處為拐點(diǎn)，F(xiàn)

支座限定支座處的位移。凹凸凹直線大致形狀§7-4用疊加法求彎曲變形一、用疊加法計(jì)算梁的變形當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。

在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下,載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。MP例5：用疊加法求vC、A、

B。PM例6：若圖示梁B端的轉(zhuǎn)角B=0，則力偶矩

M等于多少？PMABaCaMABCPABC解：例8：已知E

為常數(shù)，I2=2I1，求WC，C。FABCFABC剛化AB段：ABCF僅考慮BC段變形：剛化BC段：F僅考慮AB段變形：FABCABCFFFABCEFABCEFABCEFABC對(duì)稱性在變形分析中的應(yīng)用F/2CFB例9：已知E

為常數(shù)，I2=2I1，求WC，B。例10：利用對(duì)稱性求下面梁中點(diǎn)撓度與轉(zhuǎn)角

反對(duì)稱,撓度為0(彎矩為0,拐點(diǎn))對(duì)稱,轉(zhuǎn)角為0qACBBACq/2ACq/2反對(duì)稱,撓度為0(彎矩為0,拐點(diǎn))ACq/2Cq/2二、梁的剛度計(jì)算剛度條件：[v]、[]是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工作時(shí)的要求。CL9TU40例11：圖示工字鋼梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[v]=l／500，E=200GPa，[]=100MPa。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁的許可載荷[P]，并校核強(qiáng)度。PzI20a解：由剛度條件:因此滿足強(qiáng)度要求§7-5用變形比較法解靜不定梁靜不定度與多余約束多余約束

凡是多余維持平衡所必須的約束多余反力

與多余約束相應(yīng)的支反力或支力偶矩靜不定度

＝支反力（力偶）數(shù)－有效平衡方程數(shù)靜不定度＝多余約束數(shù)5-3=2度靜不定6-3

=

3度靜不定相當(dāng)系統(tǒng)：受力與原靜不定梁相同的靜定梁，相當(dāng)系統(tǒng)的選擇不是唯一的。相當(dāng)系統(tǒng)1相當(dāng)系統(tǒng)2相當(dāng)系統(tǒng)qABAFBqABABMA總結(jié)：分析方法與分析步驟1、判斷靜不定度（確定多余約束數(shù)）；2、解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)；3、列出多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件(位移邊界條件)；4、結(jié)合平衡方程，求多余支反力。解除多余約束，代之以支反力；分析相當(dāng)系統(tǒng)，使多余約束點(diǎn)處滿足位移邊界條件F

靜定基相當(dāng)系統(tǒng)不唯一，一般選擇求解起來最簡單的一種。方法：步驟：AB靜定基:相當(dāng)系統(tǒng)：AB靜定基與相當(dāng)系統(tǒng)的選?。簈ABFBqABABMA例12：求圖示梁的支反力。qABFBqAB解：解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)。2.建立變形協(xié)調(diào)條件3.聯(lián)立求解qAB解2：解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)。2.建立變形協(xié)調(diào)條件3.聯(lián)立求解ABMA例13：為了提高懸臂梁AB的強(qiáng)度和剛度，用短梁CD加固。設(shè)二梁EI相同，試求：(1)二梁接觸處的壓力；(2)加固前后AB梁最大彎矩的比值；(3)加固前后B點(diǎn)撓度的比值。aaABCDPABCDPFD解：(1)變形協(xié)調(diào)條件解：(2)加固前后AB梁的最大彎矩ABPPABFD解：(3)加固前后B點(diǎn)撓度ABPPABFDABAB存在裝配誤差的靜不定問題分析例:直徑為d

的圓截面梁,支座B

下沉，max=?AB解：§7-6提高彎曲剛度的措施依據(jù)對(duì)比強(qiáng)度問題或讓材料遠(yuǎn)離截面中性軸，例如例如工字形與盒形薄壁截面與梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)相似點(diǎn)

與的比較合理安排約束與加載方式（分散載荷等）合理安排約束與加載方式lqqFq=F/l（1）強(qiáng)度是局部量，剛度是整體量（積分）.

輔梁、等強(qiáng)度梁是合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)的有效手段，提高梁的剛度須整體加強(qiáng)

小孔顯著影響強(qiáng)度，但對(duì)剛度影響甚微與梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)的不同點(diǎn)(2)強(qiáng)度與材料和相關(guān)