機(jī)械振動和電磁振蕩第十章模型（彈簧振子）什么是振動？振動:任何物理量在某一定值附近隨時間周期性變化力學(xué)量（如位移、速度）電磁量（如I、V、E、B）如何研究振動？推廣1．掌握描述諧振動和簡諧波動的各物理量（特別是位相和位相差）的物理意義及各量的相互關(guān)系。2．掌握旋轉(zhuǎn)矢量法，并能用以分析有關(guān)問題。3．掌握諧振動的基本特征。能根據(jù)給定的初始條件建立一維諧振動的運(yùn)動方程，并理解其物理意義。理解諧振動的能量及其特點(diǎn)。4．理解兩個同方向、同頻率諧振動的合成規(guī)律，以及合振動振幅極大和極小的條件?！?0-0教學(xué)基本要求

簡諧振動：物體運(yùn)動時，離開平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)規(guī)律隨時間變化。一、簡諧振動的特征及其表達(dá)式§10-1諧振動連接在一起的一個忽略了質(zhì)量的彈簧和一個不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。彈簧振子：——理想模型忽略物體運(yùn)動時的一切阻力；忽略彈簧的質(zhì)量；忽略物體的彈性.受力情況：mgNF“–”表示力與位移的方向相反.物體在任意位置x

所受的力為——動力學(xué)方程由牛頓第二定律知受力分析：解此二階常系數(shù)線性微分方程可得——運(yùn)動方程——動力學(xué)方程振幅角頻率初相位為積分常數(shù)x可代表任意物理量或用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運(yùn)動的

圖

此式表示出了作簡諧振動物體的位移隨時間變化的關(guān)系.x-t曲線稱之為振動曲線.

簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程為0對振動速度求導(dǎo)得振動的加速度為

從以上兩式可知，作簡諧振動物體的速度和加速度是時間的周期函數(shù)，而且加速度和位移成正比但方向相反.對運(yùn)動學(xué)方程求導(dǎo)得振動速度為

簡諧振動中質(zhì)點(diǎn)位移、速度、加速度與時間的關(guān)系:初始相位為零時

1.振幅:

物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。

2周期和頻率

周期：物體作一次完全振動所經(jīng)歷的時間。頻率：單位時間內(nèi)物體所作完全振動的次數(shù)。二、描述諧振動的特征量(簡諧振動的三要素)角頻率:

物體在秒內(nèi)所作的完全振動的次數(shù)。利用上述關(guān)系式，得諧振動表達(dá)式：對于彈簧振子，因有，得3.相位和初相相位：決定簡諧運(yùn)動狀態(tài)的物理量。初相位：t

=0

時的相位。怎樣用初始條件求振幅和初相位？

假設(shè)作簡諧振動的物體在初始時刻的速度和位移分別為和解之可得存在兩個值，可根據(jù)在到之間，通常進(jìn)行取舍。

相位概念可用于比較兩個諧振動之間在振動步調(diào)上的差異。設(shè)有兩個同頻率的諧振動，表達(dá)式分別為相位究竟是什么東西？A/2二者的相位差為b.當(dāng)時,稱兩個振動為反相；a.當(dāng)

時,稱兩個振動為同相；討論：d.當(dāng)

時,稱第二個振動落后第一個振動

。c.當(dāng)

時,稱第二個振動超前第一個振動；

相位可以用來比較不同物理量變化的步調(diào)。對于簡諧振動的位移、速度和加速度，存在:

速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。簡諧振動的表達(dá)式振動三要素：振幅A：給出了簡諧振動的振動范圍角頻率：決定于振動系統(tǒng)的固有屬性；初相位：決定于初始時刻的狀態(tài)。彈簧振子解析法例題分析1.一個質(zhì)量為m的物體系于一倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧下，掛在固定的支架上，由于物體的重量使彈簧伸長了l=9.810-2m.如圖所示，如果給物體一個向下的瞬時沖擊力，使它具有向下的速度v=1ms-1，它就上下振動起來，試寫出振動方程.解:物體處于平衡時的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)o，向下為y

軸的正向，如圖所示當(dāng)物體偏離平衡位置時它所受的合力為-ky，因此動力學(xué)方程為平衡時受力分析則上式變?yōu)?/p>

物體在作簡諧振動，只要求出三要素，即可寫出振動方程.

以物體處于平衡位置且向下運(yùn)動時為計時起點(diǎn)，則y0=0，v0=1ms-1，于是有該物體的振動方程為求解振動三要素中的初相位：（一）解析法（二）圖像法由振動曲線決定初相(給定振動曲線，寫出振動方程)為四象限角

t0xx0t0A28、一水平彈簧簡諧振子的振動曲線如圖所示．當(dāng)振子處在位移為零、速度為-ωA、加速度為零和彈性力為零的狀態(tài)時，應(yīng)對應(yīng)于曲線上的________點(diǎn)．當(dāng)振子處在位移的絕對值為A、速度為零、加速度為-ω2A和彈性力為-kA的狀態(tài)時，應(yīng)對應(yīng)于曲線上的____________點(diǎn)．a(chǎn),eb,f30、一簡諧振動用余弦函數(shù)表示，其振動曲線如圖所示，則此簡諧振動的三個特征量為A=________；ω=__________；φ=___________．10cm(p/6)rad/sp/36、已知一質(zhì)點(diǎn)沿ｙ軸作簡諧振動．其振動方程為．與之對應(yīng)的振動曲線是(D)-A-Aoyt

oyt(C)AAAoyt

Aoyt

(A)(B)求解振動三要素中的初相位：（一）解析法（二）圖像法（三）旋轉(zhuǎn)矢量法

旋轉(zhuǎn)矢量:一長度等于振幅A的矢量在紙平面

可直觀地領(lǐng)會簡諧振動表達(dá)式中各個物理量的意義。三、諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法內(nèi)繞O點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，其角速度與諧振動的角頻率相等，這個矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。在任意刻t，矢量端點(diǎn)在x軸上的投影為沿ox軸作簡諧振動的物體在t時刻相對于原點(diǎn)的位移.所以簡諧振動可以用旋轉(zhuǎn)矢量表示.旋轉(zhuǎn)矢量的模簡諧振動的振幅旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動角速度簡諧振動角頻率旋轉(zhuǎn)矢量法優(yōu)點(diǎn)：直觀地表達(dá)諧振動的各特征量便于解題,特別是確定初相位便于振動合成由x、v

的符號確定

所在的象限：24o解：作t=0時刻的旋轉(zhuǎn)矢量求：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動到x=-12cm處所需最短時間。已知：

A=24cm,T=3s,t=0時作x=-12cm處的旋轉(zhuǎn)矢量12-12補(bǔ)充知識：利用旋轉(zhuǎn)矢量法作x-t

圖:xx(cm)t(s)t=0OOT速度、加速度的旋轉(zhuǎn)矢量表示法：M

點(diǎn):

沿X軸的投影為簡諧運(yùn)動的速度、加速度表達(dá)式。兩個同頻率的簡諧運(yùn)動：相位之差為采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為例題10-1

一物體沿x軸作簡諧振動，振幅A=0.12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時,物體的位移x=0.06m,且向x軸正向運(yùn)動。求:(1)簡諧振動表達(dá)式;(2)t=T/4時物體的位置、速度和加速度;(3)物體從x=-0.06

m向x軸負(fù)方向運(yùn)動，第一次回到平衡位置所需時間。解:

(1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),諧振動方程寫為初始條件：t=0s,x0=0.06m,可得其中A=0.12m,T=2s,據(jù)初始條件

O若用旋轉(zhuǎn)矢量法求解，根據(jù)初始條件可畫出振幅的初始位置，如下圖所示。A得從而可得(2)由(1)求得的簡諧振動表達(dá)式得在t=T/4=0.5s時，從前面所列的表達(dá)式可得(2)t=T/4時物體的位置、速度和加速度(3)當(dāng)x=-0.06m時，該時刻設(shè)為t1,得因該時刻速度為負(fù)，應(yīng)舍去，設(shè)物體在t2時刻第一次回到平衡位置，相位是(3)物體從x=-0.06m向x軸負(fù)方向運(yùn)動，第一次回到平衡位置所需時間因此從x=-0.06m處第一次回到平衡位置的時間：另解：從t1時刻到t2時刻所對應(yīng)的相差為例.已知x—t曲線,寫出振動方程解1作業(yè)：P4610－1，10－2，10－31.單擺一根不會伸長的細(xì)線，上端固定，下端懸掛一個四、幾種常見的諧振動很小重物，重物略加移動就可以在豎直平面內(nèi)來回擺動。單擺受力分析如右圖所示，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律可得很小時（小于），可取其中單擺在擺角很小時，在平衡位置附近作角諧振動，周期的表達(dá)式可寫為轉(zhuǎn)角由初始條件求得。角振幅和初相

根據(jù)上述周期的級數(shù)公式，可以將周期計算到所要求的任何精度。當(dāng)不是很小，物體不再作諧振動，而單擺周期的關(guān)系為與角振幅很小時單擺的周期。為2.復(fù)擺一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復(fù)擺(物理擺)。

剛體的質(zhì)心為C,對過O

點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J,O、C

兩點(diǎn)間距離的距離為h。據(jù)轉(zhuǎn)動定律，得角度較小時若令例題10-2

一質(zhì)量為m的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為h，如不計水的阻力，求此船在豎直方向的振動周期。解：

船靜止時浮力與重力平衡，

船在任一位置時，以水面為坐標(biāo)原點(diǎn),豎直向下的坐標(biāo)軸為y軸，船的位移用y表示。船的位移為y時船所受合力為船在豎直方向作簡諧振動，其角頻率和周期為因得動能勢能以水平彈簧振子為例討論簡諧振動系統(tǒng)的能量。系統(tǒng)總的機(jī)械能：五、簡諧振動的能量簡諧振動的機(jī)械能守恒。能量平均值上述結(jié)果對任一諧振系統(tǒng)均成立?？紤]到，系統(tǒng)總能量為，表明諧振子的動能、勢能和總能量隨時間的變化曲線:*六、用能量法解諧振動問題步驟：一階微分方程，再根據(jù)初始條件，即可求出振動從給定系統(tǒng)的能量關(guān)系式出發(fā)，得到振動的方程。例題10-3

在橫截面為S的U形管中有適量液體，液體總長度為，質(zhì)量為，密度為，求液面上下起伏的振動頻率（忽略液體與管壁間的摩擦）。解：選如圖所示坐標(biāo)系，兩液面相齊時的平衡位置為勢能零點(diǎn)。系統(tǒng)的勢能為液體的動能為由能量守恒得對時間求導(dǎo)，并整理可得液體作簡諧振動，其角頻率及周期分別為又因?yàn)?/p>

解：設(shè)棒長為2R,質(zhì)量為m，在且不計

例題10-4

一勻質(zhì)細(xì)桿AB的兩端,用長度都為棒扭動時,其質(zhì)心沿上下運(yùn)動。因扭動角度很小，可近似認(rèn)為細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。扭動角度為時,質(zhì)量的細(xì)繩懸掛起來,當(dāng)棒以微小角度繞中心軸細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動角度為，則有扭動時，求證其運(yùn)動周期為：。

hc是棒的質(zhì)心相對棒平衡時質(zhì)心位置的高度,有系統(tǒng)機(jī)械能守恒將上式兩端對時間求導(dǎo)，并利用關(guān)系常量例題10-5

勁度系數(shù)為k、原長為l