TheContinuoustimeFourier本章的主要內(nèi)容:連續(xù)時(shí) 變換級(jí)數(shù) 變換之間的關(guān)系變換的性質(zhì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及系4.0引言級(jí)數(shù)在T趨于無窮大時(shí)的變化，就應(yīng)該能夠得 RepresentationofAperiodicSignals:TheContinuous-TimeFourierTransform一. 級(jí)數(shù) 變換T0增大時(shí)，頻譜的幅度隨T0的增大而下降；譜線間隔隨T0的增大而減小；但頻譜的包絡(luò)不變。再次

ak0

ωω(a)

(b)T000當(dāng)T時(shí) 2π k ω,00 k由于 k

也隨 終趨于0，考查T0akT0T0 T0ak

T0/ /

x(t)ejkω0t如果令limT0akXjω)

k 1X(jkωk00

jkωt1

X(

)ejkωt

X(

)ejkω 0

T0k

2πk 2πdω,0TT00T0kω0 x(t)1

連續(xù)分布、振幅為1Xjω)dω的復(fù)指數(shù)信號(hào)之和。m0k

T0,f00XX(jω)x(t)1 X(dω 若

dt則Xjω)

x(t)dt

sint

和周期信號(hào)的情況一樣，當(dāng)x(t) 點(diǎn)附近會(huì)產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象。三.常用信號(hào) 變.x(t)eatu(t), a

x(t1X(jω)

eatejωtdt0

a X(jω)

a2ω2

X(jω)tg- 1/

X(1ω

π/π/a

Xω

π/0x(t)ea0

a

X(jω)

eate a a a2對(duì)此例有X(jω)X( X(jω)

2 a

X(ωaδtx(t)δδtX(jω)

δ(t)ejωtdtX(1ω0這表明δ(t)h(t)才能完全描述一個(gè)LTI系統(tǒng)的特性，δ(t)

x(t)

t

1t1t

2sinωT 2Tsin ejωtdt 1

2TSa(ωT)2TSinc(1 顯然，將Xjω)中的ω代之以kω再乘以1T0T0

Sa(kωT)

sin

kω X(1tπω00XX(1tπ2ω00X( 1，ω0，ω

(稱為理想低通濾波器)x(t)1

ejωtdωsinWtWSa(Wt)WsincWtW(W(W/π(W/ππW0t

X(X(1ω011tX(πω0(W(W/ππW0tX(1ω0W對(duì)例5W，則x(t)將趨于W若x(t)1則 X(jω)W

δ(ω)ejωtdω x(t)四信號(hào)的帶寬BandwidthofSignals12X(jω下降到最12

周期信號(hào) 變TheFourierTransformationofPeriodicSignals 會(huì)給我們帶來不便 0 X(jω)2πδ(ωω0)所對(duì)應(yīng)的信0x(t)

X(jω)ejωtdω

δ(ωω)ejωtdωe若x(t)ejkω0t 0 kx(t)kk

ae k 級(jí)數(shù)的系數(shù)ak例1：x(tsinωt

1[ejω

ejωt 2X(jω)π[δ(ωω)δ(ωω ω0

X( jω j

x(t)cosωt

1[ejωtejωt X(jω)π[δ(ωω0)δ(ωω0ππX(πω00ω例3：x(t)δ(tnT T2T2 j2π T2T2ak

δ dt δ(t)dtTT TT X(jω)2πδ(ω2πTk 1X(1X(Ttω

T

0T

δ(t

X(jω)

T

δ(ω2πT1tsin2πT ak 1

πk12sin(2πkT1

TX(jω) δ(ω2πkTk

XX(ω22T1連續(xù)時(shí) 變換的性PropertiesoftheContinuous-TimeFourier 線性: x(t)X( y(t)Y( 時(shí)移:Timex(t)Xjω)

t0 X( 共軛對(duì)稱性:Conjugateand x(t)X( x*(t)X*(由Xjω

x(t)e

x*

X*(jω)

x*(t)e x*(t)X*(若x(t)是實(shí)信號(hào)， x(t)x*(t) X(jω)X*(若XjωReXjωjImXjω)] ImXjωImX(jω)] 如果x(t) X(jω)

x(t)ex(t)ejωtdtx(τ)ejωτdtX( 表明：實(shí)偶信號(hào) 又因?yàn)閄(jωX*表明Xjω)

所以XjωX*若x(tx(t)即信號(hào)是奇函數(shù)，同樣可以得出XjωX(jω)表明XjωXjωX* 表明Xjω若x(txe(txo(t)則有X(jω)Xe(jω)jXo(xe(t)Xe( Xe(jω)Re[X(xo(t)jXo( Xo(jω)Im[X(1t0ue1t0uet0u(t)ue(t)uou(t) uot0-u(uot0- tSgn(t)

t1eteat1eteat a alim a0

u(t)1u(t)1 x(t)X則dx(t)jωXjω)(可將微分運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算(將x(t)

tt

x(τ)dτ1XjωπX(0)δ(ω（時(shí)域積分特性 δ(t) u(t)1πδ x(t)X(

x(at)1X(jω) 當(dāng)a1時(shí)，有x(t)X(尺度變換特性表明：信號(hào)如果在時(shí)域擴(kuò)展a則其帶寬相應(yīng)壓縮a倍，反之亦然。這就從理論上對(duì)偶性:若x(t)Xjω)則Xjt2π證明：x(t)

1

X(

jωtdω2πx(ω)

X(jt

jωtdt2πx(ω)

X(jt

jωtdtX(jt)2π

X(jω)

x(t)e

X(jt)

x(ω)ejωtdω

2πx(ω

由x(t)X(有對(duì)偶關(guān)系X(jt)jω利用時(shí)移特性有X[j(tt0)]2πx(ωjω再次對(duì)偶有2πx(t)e 2πX[j(ωω0 x(t)X(jω)x(t)ejω0tX[j(ωω0

由X(jω)

x(t)ejωtdtdX(jω)

jtx(t)e jtx(t)

X(jωx(t)X( X(jt)2πxXjt)2π

dX(jt)2π2πjtx(t)由x(t)X(

X(jωjtx(t)dX(

x(t)X(

X(jt)2πtt

X(jτ)dτ[2πx(ω)2π2x(0)δx(t)

πx(0)δ(t)]2π

X(jτω由x(t)X(jω)ωx(t)πx(0)δ(t)

X(jτ

x(t)Xjω)

x(t)

dt

1

X(

2dω

卷積性 TheConvolution一.卷積特性： x(t)X( h(t)H(則x(th(t)Xjω)H 由x(t)

1

X(jω)ejωt

的。這個(gè)特征值就是Hjω h(t)e y(t)x(t)*h(t)

X(jω)H(jω)e Y(jω)X(數(shù)信號(hào)e

Hjω都存在，因此用頻率響應(yīng)表征系統(tǒng)|h(t)|dt 由x(tX根據(jù)系統(tǒng)的描述，求出HY(jω)X(jω)H(y(t)F1[Y(相乘性質(zhì)TheMultiplication若x1(t)X1( x2(t)X2( x(t)x(t)1X(jω)X( x1(t)X1(X1(jt)2π

x2(t)X2(X2(jt)2πx2X(jt)X(jt)4π2x(ω)x π2x x(t)x(t)1X(jω)X( 0例 x(t)X( e 2πδ(ωω0 X[j(ωω0

r(t)s(t)S(1ωr(t)s(t)S(1ωMt

s(t) P(jω)π[δ(ωω0)ωω ω例3同步解調(diào)r(t)cosωt1R(jω)π[δ(ωω)δ(ωω 1S(jω)1S[j(ω2ω)]1S[j(ω2ω ωωMH(2H(2ω0的系統(tǒng)即可從r(t)恢復(fù)出s(t只要

例4.

e

e

X(ωY(1ω

ωc W(ωωcω0ωcω0AF(ω1

H ωX中直接用一個(gè)帶通濾波器濾出的頻譜。表明整個(gè)系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)中心頻率為ω0的帶通濾波器，改變?chǔ)?即可實(shí)現(xiàn)中心頻率可變。變換的性質(zhì) 變換對(duì)列 由線性常系數(shù)微分方SystemsCharacterizedbyLinearCoefficientDifferentialNNak

dky(t)NN

dkx(t) k k 系統(tǒng)的輸入為x(t)ejωt時(shí)，系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)就y(tHjω)ejωt。表明在x(t)ejωt的情況下，求解LCCDEHjω)。但是這種方法太麻 a(jω)kY(jω)b(jω)kX( k k Y(jω)X(jω)H(bb(kkNH(jω)k Nka(kk個(gè)有理函數(shù)。由此可以看出，對(duì)由LCCDE的LTIh(t)時(shí)(比如時(shí)域分析時(shí))Hjω做反變換得到。 二.頻率響應(yīng)的求法：Nakk0NN

dky(tdt

MkM

dkx(tdtMa(jω)kY(jω)b(jω)k

X(kk

kkMkY(jω

b(jω)kH(jω)

k NX(jωN

k

ak(jω)例：d2y(t)

8y(t)

dt H(jω) jω3 jω3 (jω)26(jω) (4jω)(21

22 4h(t)1[e2te4t]u(t)1x(t)

W(j