2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫靜電場(chǎng)邊值問題的唯一性定理例題典型的靜電問題給定導(dǎo)體系中各導(dǎo)體的電量或電勢(shì)以及各導(dǎo)體的形狀、相對(duì)位置（統(tǒng)稱邊界條件），求空間電場(chǎng)分布，即在一定邊界條件下求解靜電場(chǎng)的邊值問題泛定方程＋邊界條件例題確定電荷分布：空腔內(nèi)表面一定會(huì)感應(yīng)出與點(diǎn)電荷q等量的負(fù)電荷-q，外表面所帶總電量為Q+q。由于空腔具有球?qū)ΨQ性，且點(diǎn)電荷處于球心，因此內(nèi)、外表面的電荷均勻分布在球面上。2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫如圖所示，孤立球形導(dǎo)體空腔本身帶正電Q，內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，在其球心處放置一點(diǎn)電荷，帶正電q，求空腔內(nèi)、外表面的電荷分布和和空腔內(nèi)外各點(diǎn)的電場(chǎng)分布求場(chǎng)強(qiáng)分布電荷分布決定電場(chǎng)分布，那么剩下的問題就是根據(jù)已知的電荷分布，用庫(kù)侖定律和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理來求各區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)。我們可以先分別求出電荷q、-q及Q+q單獨(dú)存在時(shí)在空間各區(qū)域產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分布，再利用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，求出空間各區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)分布2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫設(shè)空間某點(diǎn)到球殼中心的距離為r，則q

、-q、Q+q及它們?cè)诟鲄^(qū)域的疊加結(jié)果為：

點(diǎn)電荷q

內(nèi)表面-q

外表面Q+q

疊加結(jié)果2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫

00

00

表中列出的疊加結(jié)果就是達(dá)到靜電平衡以后，空腔內(nèi)外各區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)分布。2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫即便是點(diǎn)電荷偏心放置，點(diǎn)電荷和內(nèi)殼上的負(fù)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)在內(nèi)殼外疊加為零，外殼形狀決定外殼上的電荷分布2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫唯一性定理對(duì)于靜電場(chǎng)，給定一組邊界條件，空間能否存在不同的恒定電場(chǎng)分布？——回答：否！邊界條件可將空間里電場(chǎng)的分布唯一地確定下來該定理對(duì)包括靜電屏蔽在內(nèi)的許多靜電問題的正確解釋,至關(guān)重要理論證明在電動(dòng)力學(xué)中給出，p59

給出普物方式的論證論證分三步：引理——疊加原理——證明2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫幾個(gè)引理引理一：在無(wú)電荷的空間里電勢(shì)不可能有極大值和極小值證明（反證）若有極大，則極大極小若有極小，同樣證明2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫引理二：若所有導(dǎo)體的電勢(shì)為0，則導(dǎo)體以外空間的電勢(shì)處處為0即意味著空間電勢(shì)有極大值，違背引理一證明（反證）在無(wú)電荷空間里電勢(shì)分布連續(xù)變化，若空間有電勢(shì)大于0（或小于0）的點(diǎn)，而邊界上電勢(shì)又處處等于零——必出現(xiàn)極大值或極小值——矛盾推廣：若完全由導(dǎo)體所包圍的空間里各導(dǎo)體的電勢(shì)都相等（設(shè)為U0），則空間電勢(shì)等于常量U02023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫引理三：若所有導(dǎo)體都不帶電，則各導(dǎo)體的電勢(shì)都相等證明（反證）若不相等，必有一個(gè)最高，如圖設(shè)U1>U2、U3，——導(dǎo)體1是電場(chǎng)線的起點(diǎn)——其表面只有正電荷——但與導(dǎo)體1上的總電量為0矛盾引理二(＋)引理三可推論：所有導(dǎo)體都不帶電的情況下空間各處的電勢(shì)也和導(dǎo)體一樣，等于同一常量2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫疊加原理在給定各帶電導(dǎo)體的幾何形狀、相對(duì)位置后，賦予兩組邊界條件：UⅠ、UⅡ1：給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)UⅠk

（或總電量QⅠk）2：給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)UⅡk

（或總電量QⅡk)設(shè)UⅠ、UⅡ滿足上述兩條件，則它們的線性組合

U=a

UⅠ+bUⅡ必滿足條件3:

3：給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)Uk=a

UⅠk+bUⅡk

（或總電量Qk=QⅠk

a

k+bQⅡk）

特例：

取UⅠk＝

UⅡk，則U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)滿足

4：給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)為0為什么？引理二2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫唯一性定理給定每個(gè)導(dǎo)體電勢(shì)的情形設(shè)對(duì)應(yīng)同一組邊值

有兩種恒定的電勢(shì)分布根據(jù)引理二所有導(dǎo)體上電勢(shì)都為0，導(dǎo)體以外空間電勢(shì)處處為0說明場(chǎng)分布是唯一的2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫與電勢(shì)參考點(diǎn)有關(guān)，不影響電勢(shì)梯度給定每個(gè)導(dǎo)體上總電量的情形

第k個(gè)導(dǎo)體上的電量電量與場(chǎng)強(qiáng)、電勢(shì)的關(guān)系設(shè)對(duì)應(yīng)同一組邊值有兩種恒定電勢(shì)分布說明場(chǎng)分布是唯一的2023/2/7北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫解釋靜電屏蔽唯一性定理表明：一旦找到某種電荷分布，既不違背導(dǎo)體平衡特性，又是物理實(shí)在，則這種電荷分布就是唯一可能的分布。

圖中是根據(jù)導(dǎo)體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)處處為零判斷存在兩種實(shí)在的電荷分布的迭加就是唯一的分布

2006.12北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編電像法——解靜電問題的一種特殊方法實(shí)質(zhì)：用假想的不存在的點(diǎn)電荷，去代替未知的邊界面（或介質(zhì)交界面）上的真實(shí)電荷（如感生電荷或極化電荷）代替的條件：不改變所求問題中的方程，邊值關(guān)系和邊界條件假想電荷的個(gè)數(shù)、電量極位置由方程和邊界條件決定2006.12北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編幾種常用的導(dǎo)體鏡像面平面鏡像無(wú)限大平面兩無(wú)限大平面相交角形導(dǎo)體球面鏡像導(dǎo)體柱面鏡像2006.12北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編接地?zé)o限大導(dǎo)體板