2/37專題02輕松破解求函數(shù)值域或最值的十大題型題型一：觀察法 1題型二：配方法 2題型三：圖象法 4題型四：分離常數(shù)法 7題型五：判別式法 8題型六：換元法 10題型七：單調性法 11題型八：基本不等式法 13題型九：反解法 16題型十：由函數(shù)的值域（或最值）求參 17題型一：觀察法通過對函數(shù)詳解式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數(shù)的值域或最值.1.（24-25高一上·河南駐馬店·月考）函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，所以，所以函數(shù)的值域為.故選：B.2.（24-25高一上·重慶沙坪壩·月考）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．R【答案】C【詳解】函數(shù)的定義域為，則，則，則，則函數(shù)的值域為.故選：C3.（24-25高一上·云南麗江·月考）函數(shù)在的值域為.【答案】【詳解】因為，則，可得，所以在的值域為.4.（23-24高一上·湖北·期中）已知函數(shù)滿足，則函數(shù)值域為.【答案】【詳解】令，則，所以，所以的詳解式為，其中.當時，，所以值域為.題型二：配方法對二次函數(shù)型的詳解式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域或最值.5.（24-25高一上·河南開封·月考）已知函數(shù)，則的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，故，故函數(shù)值域為.故選：B6．（24-25高一上·湖北武漢·期中）已知，函數(shù)的值域是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意得圖象的對稱軸為，而，故當時，，當時，，函數(shù)的值域是，故選：C7．函數(shù)，的值域為.【答案】【詳解】二次函數(shù)的開口向上，對稱軸為，所以當時，取得最小值為，當時，取得最大值為，所以函數(shù)的值域為.故答案為：8.（24-25高一上·江西南昌·月考）函數(shù)的值域為.【答案】【詳解】因為二次函數(shù)的值域為，所以的定義域是，值域為.9．（24-25高一上·浙江杭州·月考）函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的值域為．【答案】【詳解】由題意可知，要有意義，則需，即，即函數(shù)定義域為，又，對稱軸方程為，所以當時，，當時，，所以函數(shù)值域為，題型三：圖象法作出函數(shù)的圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域或最值.9.（24-25高一上·浙江杭州·期中）若，記，則函數(shù)的最小值為（

）A．0 B．1 C．3 D．12【答案】C【詳解】則的圖象如下：∴當或時，有最小值3.故選：C.10.（24-25高一上·河北衡水·月考）已知函數(shù)(1)作出函數(shù)的圖象；(2)寫出函數(shù)的單調區(qū)間；(3)當時，求的值域.【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象作圖即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象寫出單調區(qū)間即可；（3）根據(jù)函數(shù)在上的單調性，即可得出答案.【詳解】（1）解：，作出函數(shù)圖象，如圖所示：（2）解：由圖可得：函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（3）解：因為函數(shù)在上遞減，所以，所以的值域為.11.（24-25高一上·河南開封·月考）設函數(shù)．(1)將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式并畫出其圖像；(2)寫出函數(shù)的單調遞增區(qū)間和值域．【分析】（1）分和分情況去絕對值即可得到詳解式，根據(jù)詳解式畫出圖像即可；（2）根據(jù)圖像即可得的單調遞增區(qū)間和值域.【詳解】（1）當時，，當時，，所以，其圖像如下所示：（2）因為，由圖像可得的單調遞增區(qū)間為，值域為.12.給定函數(shù)，，．用表示，中的較大者，即.

(1)請用圖象法表示函數(shù)，注：畫出上的圖象即可；(2)寫出函數(shù)的值域；(3)若，則求a的值．【分析】（1）根據(jù)的定義可得詳解式，即可作圖，（2）根據(jù)函數(shù)圖象即可求解最值，進而得值域，（3）分類討論即可代入求解.【詳解】（1）由，得，或，得到；得到或，故，故的圖像如圖：

（2）由圖象可知當時，取最小值，故值域為．（3）當時，，∴．當或時，或（舍）故或.題型四：分離常數(shù)法適用于形如的分式函數(shù)，第一步，對函數(shù)變形成形式；第二步，求出函數(shù)在定義域范圍內的值域或最值.13.（24-25高一上·湖北宜昌·月考）函數(shù)在區(qū)間上的值域為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)，易得函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞減，當時，；當時，；所以函數(shù)的值域為.故選：D.14.（24-25高一上·重慶云陽·月考）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，因為，所以，故值域為．故選：D15.（24-25高一上·江蘇徐州·月考）函數(shù)的值域為（

）.A． B． C． D．【答案】B【詳解】，當時，.則.故選：B.16.（24-25高一上·江蘇南京·期中）函數(shù)的最大值為．【答案】/【詳解】，因為，所以，當時等號成立，所以．17.函數(shù)的值域是．【答案】【詳解】函數(shù)有意義，則，解得且，顯然，則，由，得，所以函數(shù)的值域是．題型五：判別式法將函數(shù)視為關于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；適用于形如的函數(shù)將函數(shù)式化成關于的方程，且方程有解，用根的判別式求出的取值范圍，即得函數(shù)的值域或最值.18.（24-25高一上·安徽淮南·月考）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】B【詳解】設，，，時，，時，因為，所以，解得，即且，綜上，最大值是，最小值是，和為6．故選：B．19.（24-25高三上·江蘇揚州·期中）若實數(shù)，，滿足，.用表示，，中最小的數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對稱性，不妨設，已知變形為，，得是方程的兩根，由判別式求得范圍后可得．【詳解】不妨設是中的最小值，則由得，由已知，，所以是方程的兩根，所以，又，所以，，從而，故選：D．20．（23-24高一下·遼寧撫順·階段練習）已知，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．0【答案】D【分析】將已知轉化為關于的二次方程，根據(jù)，可求得最值.【詳解】根據(jù)題意，若方程有解，則，即，所以，當時，，此時，即，也就是說當且僅當時，.故選：D21.（24-25高一上·浙江寧波·期中）函數(shù)的值域是．【答案】【詳解】由題知函數(shù)的定義域為，所以，將整理得，所以，當時，；當時，，解得，所以，，即函數(shù)的值域是題型六：換元法通過對函數(shù)的詳解式進行適當換元，將復雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域或最值.22.（24-25高一上·江蘇蘇州·期中）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，，則，所以函數(shù)，函數(shù)在上單調遞增，時，有最小值，所以函數(shù)的值域為.故選：C23．（24-25高一上·陜西西安·期末）已知正實數(shù)滿足則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，則，代入已知等式，化為關于x的方程，由判別式非負，解得t的最大值.【詳解】設，則，因為，所以，即：，所以，解得：，又因為，為正實數(shù)，所以，所以的最大值為.故選：C.24．（24-25高一上·江西南昌·月考）函數(shù)的值域為.【答案】【詳解】令，則，所以.故答案為：.25．（25-26高一·全國·假期作業(yè)）函數(shù)的值域為．【答案】【分析】先求出函數(shù)的定義域，將函數(shù)式兩邊取平方得，利用換元成，，利用函數(shù)的單調性求得函數(shù)的最值即得函數(shù)值域.【詳解】由題意可得，解得，即函數(shù)定義域為，則，設，則，顯然在上為減函數(shù)，故當時，即時，取到最大值4，則函數(shù)的最大值為2；當時，即時，取得最小值2，則函數(shù)的最小值為.故函數(shù)的值域為.題型七：單調性法求函數(shù)值域或最值時，如果能夠先判斷函數(shù)的單調性，可以利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調遞增或單調遞減求值域或最值.26．（24-25高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調遞增，則函數(shù)在區(qū)間上（

）A．單調遞增，有最小值 B．單調遞增，有最大值C．單調遞減，有最小值 D．單調遞減，有最大值【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用奇函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】奇函數(shù)圖象關于原點對稱，所以在關于原點對稱區(qū)域內單調性相同，函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調遞增，則函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，又增區(qū)間為半開半閉區(qū)間，所以存在最大值.故選：B.27．（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，則（

）A．最大值為 B．最小值為 C．最大值為6 D．最小值為6【答案】A【詳解】任取，則，因為，所以，，故，所以即，所以在單調遞增；同理可證在單調遞減，所以.故選：A.28.（24-25高二下·遼寧沈陽·期末）函數(shù)的最小值為（

）A．0 B．4 C． D．【答案】D【分析】先求函數(shù)單調性，即可得最值.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的定義域為，且由于在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以．故選：D．29.（23-24高三上·海南·摸底考）函數(shù)的最小值為．【答案】【詳解】的定義域滿足，即.則函數(shù)定義域為.在內單調遞減，在也是單調遞減，則在定義域內單調遞減，則.題型八：基本不等式法形如的函數(shù)，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函數(shù)的值域時，要注意條件“一正、二定、三相等”，即利用求函數(shù)的值域（或最值）時，應滿足三個條件：=1\*GB3①；=2\*GB3②（或）為定值；=3\*GB3③取等號的條件為，三個條件缺一不可；30.(24-25高一下·廣東深圳·期末）已知函數(shù)，則的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式，即可求出的最小值.【詳解】由題意，，在中，，當且僅當，即時等號成立，∴的最小值為，故選：D.31.（23-24高一上·廣東佛山·期中）函數(shù)，的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當時，（當且僅當時取等號）；當時，（當且僅當時取等號）；綜上所述：的值域為.故選：C.32.(多選)（24-25高一下·廣東汕頭·階段練習）下列函數(shù)的最小值為的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】AC由基本不等式進行求解；B選項，可舉出反例；D選項，變形后利用基本不等式求出答案.【詳解】對于A，因為，，所以，當且僅當，即時等號成立，，故A正確；對于B，取，則，故B不正確；對于C，，當且僅當，即時，等號成立，因為，故不是4，故C錯誤.對于D，因為，所以，故有基本不等式可得，當且僅當，即時等號成立，故D正確.故選：AD33.（24-25高一上·四川宜賓·期中）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】結合題意：，當時，；當時，，當且僅當，即，原式取得最小值；另一方面，因為，所以，即;當時，，當且僅當，即，原式取得最大值;另一方面因為，令，則，所以，所以所以，即;綜上所述：函數(shù)的值域是.故選：A.34.（23-24高一上·河北邯鄲·期中）（1）求當時，的值域.（2）已知，求函數(shù)的最小值.【詳解】（1），當且僅當時等號成立，則函數(shù)值域為.（2）因為，當且僅當時，即時，等號成立，所以函數(shù)的最小值為，此時.35.（24-25高一上·浙江杭州·期中改編）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)【詳解】（1）因為，則，可得，當且僅當，即x=2時，等號成立，所以函數(shù)的值域為.（2）因為，則，可得，當且僅當，即時，等號成立，即，所以函數(shù)的值域為.題型九：反解法根據(jù)函數(shù)詳解式反解出，根據(jù)的取值范圍轉化為關于的不等式(組)求解36.（24-25高一上·浙江寧波·期中）函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由，得或，則函數(shù)定義域為，由，得，所以，得，顯然，所以，所以，由，得，所以，所以，，解得或，由，得，，解得，由，得，，解得，綜上，或，所以函數(shù)的值域為，故選：D37.（24-25高一上·云南·期中）函數(shù)的值域為.【答案】【詳解】由，可得，所以原函數(shù)的反函數(shù)為，由，反函數(shù)的定義域為，所以原函數(shù)的值域為.38.（24-25高一上·四川成都·期中）函數(shù)的值域為.【答案】【詳解】令，可得，可得，即，由，可得，解得，所以，函數(shù)的值域為.題型十：由函數(shù)的值域（或最值）求參先確定函數(shù)值域表達式，轉化為方程有解問題，結合參數(shù)范圍分析，利用函數(shù)單調性或圖象特征，驗證端點值的適配性.39．（24-25高一上·河北保定·階段練習）設函數(shù)，其中實數(shù)．若的值域為，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】考慮函數(shù)的單調性，結合值域求a的取值范圍.【詳解】函數(shù)，由對勾函數(shù)的性質可知，由于在上單調遞減，在上單調遞增，且注意到，，，40．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，記函數(shù)，其中實數(shù)，若的最小值、最大值分別為9，11，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)，借助對勾函數(shù)的單調性，按分類求出最值，進而求出范圍.【詳解】由，得，由對勾函數(shù)單調性知在上單調遞減，在上單調遞增，而，當時，在上單調遞減且的值域為，則，，解得，因此；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，又為的最小值，，且的值域為，則，即，解得，因此，所以a的取值范圍為.故選：B41．（23-24高一上·山東·期中）若函數(shù)的值域為R，則實數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先求得函數(shù)和交點坐標，然后分別畫出兩個函數(shù)圖象，結合圖象，即可得到結果.【