石家莊四十一中學(xué)2022—2023學(xué)年第一學(xué)期第四次考試高一數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑：非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題.區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.第I卷一、單選題（共8小題，每題5分，共40分在每題給出的選項中，只有一項是符合題目要求，選對的得5分，選錯的得0分）1.（）A. B.— C. D.—【答案】D【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，化簡求值.【詳解】.故選：D2.已知角的頂點與直角坐標(biāo)系的原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，若角的終邊過點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出點到原點的距離，由余弦函數(shù)定義計算．【詳解】由已知，所以．故選：C．3.以下四個命題中，正確的是（）A.在定義域內(nèi)，只有終邊相同的角的同名三角函數(shù)值才相等B.第四象限的角可表示為C.表示終邊在y軸上的角的集合D.若α，β都是第一象限角，且，則【答案】C【解析】【分析】逐項帶入分析即可求解.【詳解】例如，，所以選項A錯；第四象限的角可表示為，故選項B錯誤；表示終邊在y軸上的角的集合，所以選項C正確；若α，β都是第一象限角，如，則，故選項D錯誤；故選：C.4.在下列四個函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依次判斷選項的周期和單調(diào)性即可得到答案.【詳解】對于A：，將在x軸下方的圖象翻折到上方，可知最小正周期，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A不符合題意；對于B：的最小正周期，故B不符合題意；對于C：的最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C符合題意；對于D：的最小正周期，故D不符合題意.故選：C.5.“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分性和必要性的定義進行求解即可【詳解】當(dāng)時，為奇函數(shù)，故充分性成立；當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)，故，故必要性不成立；則“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分而不必要條件故選：A6.若，則的值為（）A.— B. C.— D.【答案】D【解析】【分析】將分式上下同時除以，代入，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，將上下同時除以，得，代入，得，故選：D.7.設(shè)，若函數(shù)有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出函數(shù)圖像，由四個不同的零點，得出時的值，即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題意中，圖像如下圖所示在中，有四個不同的零點∴則或由函數(shù)圖像可知，有1解，∴有3解∴∴的取值范圍為故選：B.8.關(guān)于函數(shù)的圖像與直線為常數(shù)）的交點情況，下列說法正確的是（）A.當(dāng)或，有0個交點B.當(dāng)或，有1個交點C.當(dāng)，有2個交點D.當(dāng)有兩個交點時，設(shè)兩個交點的橫坐標(biāo)為，則【答案】B【解析】【分析】注意到，，，，據(jù)此可做出在上圖像，即可得答案.【詳解】注意到，，，，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，據(jù)此可做出在上圖像如下圖所示.對于A，由圖可知當(dāng)時有一個交點，故A錯誤；對于B，由圖可知此時有一個交點，故B正確；對于C，由圖可知當(dāng)時，圖像與直線有且只有一個交點，故C錯誤；對于D，由圖知此時，故D錯誤.故選：B二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的有（）A.B.若角是銳角，則是第一或第二象限角C.若角第二象限角，則是第一或第三象限角D.角是第三或第四象限角的充要條件是【答案】AC【解析】【分析】A項，根據(jù)弧度制的定義即可推出結(jié)果；B項，通過求出角的范圍，即可推出所在的位置；C項，通過求出角的范圍，即可推出所在的位置；通過分別討論角是第三或第四象限角時，的取值范圍，以及時，所在的位置，即可判斷.【詳解】解：由題意A項，∴故A正確.B項，若角是銳角，∴∴∴不僅可能是第一或第二象限角，也可能在軸上，故B錯誤.C項，若角是第二象限角，∴∴則是第一或第三象限角故C正確.D項，若角是第三或第四象限角則，且∴，必要性成立若，則∴角是第三或第四象限角或在軸的負半軸上充分性不成立故錯誤.故選：AC.10.下列不等式中，正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性，判斷ABC；根據(jù)角的象限，判斷函數(shù)值的正負，即可判斷D.【詳解】A.當(dāng)時，角大，正弦值小，，所以，故A正確；B.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，，所以，故B正確；C.當(dāng)時，角大，正切值也大，，所以，故C錯誤；D.因為，，，，所以，故D正確.故選：ABD11.若實數(shù)、滿足，則下列各式中一定正確是（）A B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷AB選項；利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項；利用特殊值法可判斷D選項.【詳解】因為函數(shù)為上的增函數(shù)，由可得.對于A選項，函數(shù)為上的增函數(shù)，則，A對；對于B選項，函數(shù)為上的減函數(shù)，且，則，B對；對于C選項，，但與的大小關(guān)系不確定，故與的大小關(guān)系不確定，C錯；對于D選項，取，，則，即，D錯.故選：AB.12.已知函數(shù)滿足，且f（x）在區(qū)間上單調(diào)，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】首先根據(jù)與的距離，建立關(guān)于周期的等式，可求，再根據(jù)與的距離，建立關(guān)于周期的不等式，即可求的范圍，即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)的周期為，，由條件可知，，得，且，得，則時，，時，，時，.故選：ABC三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知半徑為1的扇形，其面積與弧長的比值為_________________．【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積公式求面積和弧長的比值即可.【詳解】設(shè)弧長為，面積為，半徑為，因為扇形面積公式為，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)，，若對于任意存在，使，則實數(shù)a的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】對于任意存在，使等價于，分別求出與即可解出答案.【詳解】對于任意，存在，使等價于在上的最小值大于等于在上的最小值，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，可得，∵圖象的對稱軸為，∴當(dāng)時，，∴，解得．故答案為：.15.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時間t（單位：h）間的關(guān)系為，其中，k是正的常數(shù)，如果在前10h消除了20%的污染物，那么30h后還剩___________的污染物？（用百分數(shù)表示）【答案】51.2%【解析】【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)解析式，直接求解.【詳解】由題意可知，所以.所以30小時后污染物含量，即30小時后還剩51.2%的污染物.故答案為:51.2%.16.已知函數(shù)，滿足對恒成立的的最小值為，且對任意x均有恒成立.則下列結(jié)論正確的有___________.①函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱：②函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；③函數(shù)在上的值域為④表達式可改寫為：⑤若x1，x2為函數(shù)的兩個零點，則為的整數(shù)倍.【答案】②④【解析】【分析】本題通過的最小值求得三角函數(shù)的最小正周期，求出，根據(jù)求出即可得到函數(shù)的解析式，即可得到函數(shù)關(guān)于點的對稱，單調(diào)遞減區(qū)間，求導(dǎo)后的值域，根據(jù)三角恒等變換后的改寫式子，以及兩個零點橫坐標(biāo)差的絕對值.【詳解】解：由題意，在中，恒成立的的最小值為，得，解得：，∴最小正周期，∴，解得：，∴，∵對任意x均有恒成立，∴函數(shù)關(guān)于直線對稱，∴，解得：，∵，∴，∴，∴當(dāng)時，，不關(guān)于點對稱，故①錯誤.在中，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴在中，當(dāng)即時，函數(shù)單調(diào)遞減，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故②正確.在中，，當(dāng)時，，此時，故③錯誤.在中，最小正周期，，∴，故④正確.在中，恒成立的的最小值為，且對任意x均有恒成立∴函數(shù)關(guān)于直線對稱∵最小正周期，∴不為的整數(shù)倍，故⑤錯誤.故答案為：②④.四、解答題：本題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知（1）求的值（2）求tanβ的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由已知求得，進而可求解；(2)聯(lián)立，即可求解.【小問1詳解】將已知等式兩邊平方得：，即，∴∵∴，即.∴.【小問2詳解】由(1)聯(lián)立解得，則.18.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的零點；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】（1）零點為4和16（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)零點的定義和對數(shù)的運算求解即可；(2)換元法，求二次函數(shù)在給定區(qū)間的值域.【小問1詳解】令，解得或，由解得，由解得，因此函數(shù)的零點為4和16.【小問2詳解】令，則由，所以時，y有最小值所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以,因此，函數(shù)的值域為.19.（1）已知α是第四象限角，化簡（2）已知，且，求的值：【答案】（1）0；（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】（1），由α是第四象限角，所以原式=0.（2）又∴，∴.20.已知函數(shù)（1）求f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，π]內(nèi)單調(diào)遞增區(qū)間：（2）求使成立x的取值集合.【答案】（1），和上單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）由周期函數(shù)的定義求出求f（x）的最小正周期；令，解出的范圍和取交即可得到答案；（2）由得，則，解不等式即可求出x的取值集合.【小問1詳解】函數(shù)，的最小正周期：的單調(diào)遞增區(qū)間為可得得，那么和上單調(diào)遞增：【小問2詳解】由得，即，∴，解得，求得不等式的解集為21.為了研究某種微生物的生長規(guī)律，研究小組在實驗室對該種微生物進行培育實驗.前一天觀測得到該微生物的群落單位數(shù)量分別為8，14，26.根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，用y表示第天的群落單位數(shù)量，某研究員提出了兩種函數(shù)模型：①；②，其中且.（1）根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，分別求出這兩種函數(shù)模型的解析式；（2）若第4天和第5天觀測得到的群落單位數(shù)量分別為50和98，請從兩個函數(shù)模型中選出更合適的一個，并預(yù)計從第幾天開始該微生物的群落單位數(shù)量超過500.【答案】（1）函數(shù)模型①，函數(shù)模型②（2）函數(shù)模型②更合適，從第8天開始該微生物的群落單位數(shù)量超過500【解析】【分析】（1）可通過已知條件給到的數(shù)據(jù)，分別帶入函數(shù)模型①和函數(shù)模型②，列出