廣東省河源市康禾中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若橢圓上的一點(diǎn)M滿足MF1⊥MF2，|MA|=|MO|，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】過(guò)M作MN⊥x軸，交x軸于N，不妨設(shè)M在第一象限，從而得到M（，），由此利用MF1⊥MF2，能求出橢圓的離心率．【解答】解：∵F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上的一點(diǎn)M滿足MF1⊥MF2，|MA|=|MO|，過(guò)M作MN⊥x軸，交x軸于N，不妨設(shè)M在第一象限，∴N是OA的中點(diǎn)，∴M點(diǎn)橫坐標(biāo)為，∴M點(diǎn)縱坐標(biāo)為，∴F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），==，=（，）?（）==0，∴4c2=a2+3b2=a2+3a2﹣3c2，∴4a2=7c2，∴2a=，∴橢圓的離心率e==．故選：D．2.曲線在處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．

B．

C．和D．和參考答案：C3.在古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，21，28，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形則第個(gè)三角形數(shù)為

（

）A．

B.

C.

D.參考答案：B略4.已知圓C：，直線

，圓上只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則k的取值范（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C5.命題“若，則”的否命題是（

）A.若，則

B.若，則C.若，則

D.若，則參考答案：A6.已知，則的值為（

）A.-1/6

B.1/6

C.5/2

D.-5/6參考答案：A7.已知函數(shù)y=f（x）的定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，xf′（x）＜f（﹣x）（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），若a=f（），b=（lg3）f（lg3），c=（log2）f（log2），則（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．a(chǎn)＞c＞b參考答案：A【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；對(duì)數(shù)值大小的比較；導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】設(shè)F（x）=xf（x），根據(jù)題意得F（x）是偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，由此比較、lg3和2的大小，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，不難得到本題的答案．【解答】解：設(shè)F（x）=xf（x），得F'（x）=x'f（x）+xf'（x）=xf'（x）+f（x），∵當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，xf′（x）＜f（﹣x），且f（﹣x）=﹣f（x）∴當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，xf′（x）+f（x）＜0，即F'（x）＜0由此可得F（x）=xf（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上是減函數(shù)，∵函數(shù)y=f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，∴F（x）=xf（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上F（x）=xf（x）是增函數(shù)．∵0＜lg3＜lg10=1，∈（1，2）∴F（2）＞F（）＞F（lg3）∵=﹣2，從而F（）=F（﹣2）=F（2）∴F（）＞F（）＞F（lg3）即＞＞（lg3）f（lg3），得c＞a＞b故答案為：A8.已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，﹣1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A． B． C．（1，2） D．（1，﹣2）參考答案：A【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先判斷點(diǎn)Q與拋物線的位置，即點(diǎn)Q在拋物線內(nèi)，再由點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線距離，根據(jù)圖象知最小值在S，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)取得，可得到答案．【解答】解：點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線距離，如圖PF+PQ=PS+PQ，故最小值在S，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)取得，此時(shí)P，Q的縱坐標(biāo)都是﹣1，故選A．9.設(shè)（是虛數(shù)單位），則(

)

A．

B．

C．

D．

參考答案：D略10.命題“R，”的否定是（

）A．R，

B．R，C．R，

D．R，．

參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.區(qū)間內(nèi)隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率為_(kāi)______．參考答案：12.在等比數(shù)列中,若是方程的兩根則=______參考答案：2略13.若正三棱錐的正視圖與俯視圖如右圖所示，則它的側(cè)視圖的面積為

參考答案：14.若直線ax+by﹣1=0平分圓x2+y2﹣4x﹣4y﹣8=0的周長(zhǎng)，則ab的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心和半徑，把圓心坐標(biāo)代入直線ax+by﹣1=0，利用基本不等式求出ab的最大值．【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣4y﹣8=0即（x﹣2）2+（y﹣2）2=16，表示圓心在（2，2），半徑等于4的圓∵直線ax+by﹣1=0平分圓x2+y2﹣4x﹣4y﹣8=0的周長(zhǎng)，∴直線ax+by﹣1=0過(guò)圓C的圓心（2，2），∴有2a+2b=1，∴a，b同為正時(shí)，2a+2b=1≥，∴ab≤，∴ab的最大值為，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，判斷圓心（2，2）在直線ax+by﹣1=0上是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．15.α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷:①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α.以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題:_______________（填序號(hào)即可）參考答案：①③④?②或②③④?①16.如圖,在一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形中隨機(jī)撒入100粒豆子,恰有60粒落在陰影區(qū)域內(nèi),則該陰影部分的面積約為

．參考答案：17.已知p：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）＜0；q：＜x＜，若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】求出p的等價(jià)條件，利用必要不充分條件的定義建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：p的等價(jià)條件是m﹣1＜x＜m+1，若p是q的必要不充分條件，則，即，即≤m≤，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.觀察以下5個(gè)等式：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…照以上式子規(guī)律：（1）寫(xiě)出第6個(gè)等式，并猜想第n個(gè)等式；（n∈N*）（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第n個(gè)等式成立．（n∈N*）參考答案：【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】（1）由已知中﹣1=﹣1，﹣1+3=2，﹣1+3﹣5=﹣3，﹣1+3﹣5+7=4，﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5，等式左邊有n個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加減，右邊為n（n為偶數(shù)）或n的相反數(shù)（n為奇數(shù)），進(jìn)而得到結(jié)論；（2）當(dāng)n=1時(shí)，由已知得原式成立，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原式成立，推理可得n=k+1時(shí)，原式也成立，①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn成立．【解答】解：（1）由已知中：﹣1=﹣1﹣1+3=2﹣1+3﹣5=﹣3﹣1+3﹣5+7=4﹣1+3﹣5+7﹣9=﹣5…歸納可得：第6個(gè)等式為﹣1+3﹣5+7﹣9+11=6

…第n個(gè)等式為﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn…（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法給予證明：﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn①當(dāng)n=1時(shí)，由已知得原式成立；…②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原式成立，即﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）=（﹣1）kk…那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）k（2k﹣1）+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）kk+（﹣1）k+1（2k+1）=（﹣1）k+1（﹣k+2k+1）=（﹣1）k+1（k+1）故n=k+1時(shí)，原式也成立，由①②知﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（2n﹣1）=（﹣1）nn成立．19.市一中隨機(jī)抽取部分高一學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需時(shí)間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中上學(xué)路上所需時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，．（Ⅰ）求直方圖中的值；（Ⅱ）如果上學(xué)路上所需時(shí)間不少于小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，若招生名，請(qǐng)估計(jì)新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿；（Ⅲ）從學(xué)校的高一學(xué)生中任選名學(xué)生，這名學(xué)生中上學(xué)路上所需時(shí)間少于分鐘的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（以直方圖中的頻率作為概率）參考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）144;（Ⅲ）的可能取值為

由直方圖可知，每位學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于分鐘的概率為，,

,,,．

所以的分布列為：01234

．（或）所以的數(shù)學(xué)期望為．

20.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案：（Ⅱ）由（Ⅰ）有，所以.考點(diǎn)：1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式；3、等比數(shù)列的前項(xiàng)和為；4、數(shù)列分組求和.

略21.（13分）已知F1為橢圓+=1的左焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與橢圓交于兩點(diǎn)P，Q．（Ⅰ）若直線l的傾斜角為45°，求|PQ|；（Ⅱ）設(shè)直線l的斜率為k（k≠0），點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q′，P′Q′所在直線的斜率為k′．若|k′|=2，求k的值．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）直線l的傾斜角為45°，直線l的方程為y=x+1，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式即可求得|PQ|；（Ⅱ）設(shè)直線l：y=k（x+1），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式求得丨k′丨=丨丨=丨丨=2，即可求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）橢圓+=1，a=2，b=，c=1，橢圓的左焦點(diǎn)F1（﹣1，0），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），又直線l的傾斜角為45°，∴直線l的方程為y=x+1，…（1分）由，整理得：7x2+8x﹣8=0，…（3分）則x1+x2=﹣，x1?x2=﹣．…（4分）丨PQ丨=?=?=，∴|PQ|=；…（Ⅱ）由，整理得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，…（6分）則x1+x2=﹣，x1?x2=，…（8分）依題意P′（﹣x1，﹣y1），Q′（x2，﹣y2），且y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），∴丨k′丨=丨丨=丨丨，…（10分）其中丨x1﹣x2丨==，…（11分）∴丨k′丨=丨丨=2．…（12分）解得：7k2=9，k=±，k的值±．．…（13分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及直線的斜率公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．22.已知圓C的半徑為2，圓心在x軸正半軸上，直線3x﹣4y+4=0與圓C相切（1）求圓C的方程（2）過(guò)點(diǎn)Q（0，﹣3）的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）且為x1x2+y1y2=3時(shí)求：△AOB的面積．參考答案：【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓的位置關(guān)系．【專(zhuān)題】直線與圓．【分析】（I）設(shè)圓心為C（a，0），（a＞0），可得圓C的方程的方程．再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得a的值，可得圓C的方程．（II）依題意：設(shè)直線l的方程為：y=kx﹣3，代入圓的方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得，，再由x1x2+y1y2=3，求得k的值，可得∴直線l的方程．求得圓心C到l的距離d、以及|AB|的值，再由，計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：（I）設(shè)圓心為C（a，0），（a＞0），則圓C的方程為（x﹣a）2+y2=4．因?yàn)閳AC與3x﹣4y+4=0相切，所以，解得：（舍），所以圓C的方程為：（x﹣2）2+y2=4．…（II）