B1IC1A1BC2、B1IC1A1BCＡ、30°B、４5°C、６０°Ｄ、90°（第3題圖）ABCDOQP3.（06）正方形AＢCＤ內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)P在劣?。罛上,連結(jié)DP，交AC（第3題圖）ABCDOQP(Ａ）（B)(C）(D)5(0７)已知△為銳角三角形,⊙通過(guò)點(diǎn)B，C，且與邊AＢ,AC分別相交于點(diǎn)Ｄ,E.若⊙的半徑與△的外接圓的半徑相等,則⊙一定通過(guò)△的(）．(A）內(nèi)心（Ｂ）外心(C)重心（D）垂心1０.已知線段ＡB的中點(diǎn)為C，以點(diǎn)A為圓心,AB的長(zhǎng)為半徑作圓,在線段AＢ的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Ｄ,使得ＢD=ＡC;再以點(diǎn)Ｄ為圓心，DＡ的長(zhǎng)為半徑作圓，與⊙A分別相交于F，G兩點(diǎn)，連接FG交AB于點(diǎn)H,則的值為．（第8題）CEIADB8、△ABC中,AB=7,BＣ=８，CＡ=9,過(guò)（第8題）CEIADB9、已知AB是半徑為１的圓O的一條弦,且AB＝＜１,以AB為一邊在圓O內(nèi)作正△ABC,點(diǎn)Ｄ為圓O上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且DB＝AB＝,DC的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)E,則AＥ的長(zhǎng)為()。A、B、1C、D、1（0４)．D是△ＡBＣ的邊AB上的一點(diǎn),使得ＡB=3ＡＤ，P是△AＢC外接圓上一點(diǎn)，使得,求的值.（第4題）ABCOPEK4．(０6）如圖,點(diǎn)P為⊙Ｏ外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．過(guò)點(diǎn)A作PB的平行線，交⊙O于點(diǎn)Ｃ.連結(jié)PC,交⊙Ｏ于點(diǎn)Ｅ；連結(jié)ＡE,并延長(zhǎng)AE交ＰB于點(diǎn)Ｋ（第4題）ABCOPEK6.已知AB為半圓O的直徑,點(diǎn)P為直徑AB上的任意一點(diǎn).以點(diǎn)A為圓心,AP為半徑作⊙A,⊙A與半圓O相交于點(diǎn)C;以點(diǎn)Ｂ為圓心，BＰ為半徑作⊙Ｂ，⊙Ｂ與半圓O相交于點(diǎn)D，且線段ＣD的中點(diǎn)為M.求證：ＭP分別與⊙A和⊙B相切.7.如圖，點(diǎn)Ｅ,Ｆ分別在四邊形AＢCD的邊AD，BC的延長(zhǎng)線上,且滿足.若，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),△的外接圓與△的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn),連接ＰA，ＰＢ,ＰC,PD.求證:（１）;(2)△∽△．11（1０）.如圖，△ＡBC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高,點(diǎn)Ｄ是線段PC上的一點(diǎn),BＥ和CF分別是△ABＤ和△AＣＤ的外接圓直徑,連接EF.求證:（第12A題）.（第12A題）（第12B題）（第12B題）（第12B題）1２(1１）、如圖，點(diǎn)H為△ＡBC的垂心,以ＡＢ為直徑的⊙和△BCH的外接圓⊙相交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AＤ交CH于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P為ＣH的中點(diǎn)。初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽《圓》歷屆考題1（04）.D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，使得AB=3AD，P是△ABC外接圓上一點(diǎn)，使得，求的值.解：連結(jié)AＰ,則，所以，△APＢ∽△ＡＤP，…………(5分)∴,所以,∴，…………(10分）A1BCDABA1BCDAB1C1I2、(０5）已知點(diǎn)I是銳角三角形ABC的內(nèi)心，A1，B１,Ｃ1分別是點(diǎn)I關(guān)于邊BC，CＡ,AB的對(duì)稱點(diǎn)。若點(diǎn)Ｂ在△A1B1Ｃ１的外接圓上,則∠ABＣ等于()A、３0°B、4５°C、60°D、９０°答：C解：由于IA1=IＢ1＝IC1=2r（r為△AＢＣ的內(nèi)切圓半徑）,所以點(diǎn)Ｉ同時(shí)是△A1B1Ｃ1的外接圓的圓心,設(shè)IA1與BC的交點(diǎn)為D,則ＩＢ＝ＩA１＝2ＩＤ,所以∠IBD=30°,同理，∠IBA＝30°,于是,∠ABＣ=６0°（第3題圖）ABCDOQP３.(0６)正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在劣弧AB上，連結(jié)ＤＰ，交AC于點(diǎn)（第3題圖）ABCDOQP(A）（B)(C)（D)答：D.解：如圖,設(shè)⊙O的半徑為r,ＱＯ=ｍ,則QP＝m，QC=r＋m，QA=r-m．在⊙O中，根據(jù)相交弦定理，得QA·ＱＣ=QP·QＤ．即(r－m)(ｒ＋m)=m·QD，所以ＱD＝.連結(jié)DO,由勾股定理,得ＱD2＝DO2＋QO２,即,解得所以，（第4題）ABCOPEK４.(06)如圖，點(diǎn)Ｐ為⊙O外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Ｐ作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．過(guò)點(diǎn)A作ＰB的平行線，交⊙O于點(diǎn)C．連結(jié)PC，交⊙O于點(diǎn)E；連結(jié)AE,并延長(zhǎng)AE交PB于點(diǎn)Ｋ（第4題）ABCOPEK證明:由于AC∥ＰB,所以∠KPＥ=∠ＡCＥ.又PA是⊙O的切線,所以∠ＫAP=∠ACE,故∠KPE=∠KＡＰ，于是△KPE∽△KＡP，所以,即.由切割線定理得所以．…………1０分由于ＡC∥PB,△ＫPE∽△ACＥ,于是故,即ＰE·ＡC=CE·ＫB.………………15分5(0７）已知△為銳角三角形,⊙通過(guò)點(diǎn)B,C,且與邊AB,AC分別相交于點(diǎn)D,E．若⊙的半徑與△的外接圓的半徑相等，則⊙一定通過(guò)△的（)．(A)內(nèi)心(B)外心(Ｃ)重心（D）垂心答:（B)．解:如圖,連接ＢE，由于△為銳角三角形,所以,均為銳角.又由于⊙的半徑與△的外接圓的半徑相等，且為兩圓的公共弦,所以.（第3題答案圖）于是，.（第3題答案圖）若△的外心為，則，所以，⊙一定過(guò)△的外心．故選(B).６．已知ＡB為半圓O的直徑,點(diǎn)Ｐ為直徑ＡB上的任意一點(diǎn).以點(diǎn)Ａ為圓心,AP為半徑作⊙A,⊙Ａ與半圓Ｏ相交于點(diǎn)C；以點(diǎn)B為圓心,BＰ為半徑作⊙B,⊙B與半圓Ｏ相交于點(diǎn)D，且線段ＣD的中點(diǎn)為Ｍ．求證:ＭP分別與⊙Ａ和⊙B相切．（第13A題答案圖）證明：如圖，連接ＡＣ,AD，BC，BD,并且分別過(guò)點(diǎn)C,D作AＢ的垂線,垂足分別為,則CE∥DF.由于AB是⊙O的直徑,所以.在Rt△和Ｒt△中,由射影定理得,.……………5分（第13A題答案圖）兩式相減可得，又，于是有，即,所以,也就是說(shuō),點(diǎn)P是線段EＦ的中點(diǎn)．因此,MＰ是直角梯形的中位線,于是有，從而可得MP分別與⊙A和⊙B相切．7.如圖，點(diǎn)E,F分別在四邊形ABCＤ的邊AD,BC的延長(zhǎng)線上，且滿足．若，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，△的外接圓與△的外接圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，連接PA,PＢ，PC,PD.求證：(１）;(2)△∽△．證明：(1)連接PE,PF,PG，由于，所以．又由于,所以△∽△，于是有，從而△∽△，所以.又已知，所以，．………………１0分（2)由于,結(jié)合(1)知,△∽△,從而有,所以，因此△∽△.………………15分ABCDEIrha（第8題）8、△ABCDEIrha（第8題）解：如圖,設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)為,內(nèi)切圓l的半徑為r,ＢC邊上的高為,則,所以,由于△AＤE∽△ABC，所以它們相應(yīng)線段成比例,因此所以ＤE＝故ＤE＝。９、已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB=<1，以AＢ為一邊在圓Ｏ內(nèi)作正△ＡＢＣ，點(diǎn)D為圓O上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且ＤB=AB=，DC的延長(zhǎng)線交圓Ｏ于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為(Ｂ)。ABCODE（第9題）A、Ｂ、ABCODE（第9題）解：如圖，連接OE,OA,OB，設(shè)∠Ｄ＝，則∠ECＡ＝12０°-＝∠EＡC又由于∠ABO=所以△AＣE≌△ＡBO，于是ＡE=OA＝110.已知線段AB的中點(diǎn)為C，以點(diǎn)A為圓心,AB的長(zhǎng)為半徑作圓，在線段AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，使得BD=ＡC;再以點(diǎn)D為圓心,DA的長(zhǎng)為半徑作圓，與⊙Ａ分別相交于F,G兩點(diǎn),連接FＧ交AＢ于點(diǎn)Ｈ，則的值為．解：如圖,延長(zhǎng)ＡD與⊙D交于點(diǎn)E,連接ＡＦ,EF．由題設(shè)知,,在△FＨA和△EFA中，,（第10題）所以Rt△FHA∽Ｒt△ＥFA，.而,所以.（第10題）1１(10）．如圖，△ABC為等腰三角形,AＰ是底邊BC上的高,點(diǎn)Ｄ是線段PＣ上的一點(diǎn),BE和ＣF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EＦ．求證:（第12A題）（第12A題）（第12B題）（第12B題）證明：如圖，連接ＥD,FＤ．由于BＥ（第12B題）（第12B題）ＥD⊥BC,ＦD⊥BＣ，因此Ｄ，E,Ｆ三點(diǎn)共線.…………(５分）連接ＡE，ＡF,則（第11題）（第11題）所以,△ABＣ∽△AＥF.…………(10分)作AH⊥EF，垂足為H，則AＨ＝PD.由△ＡBC∽△AEF可得，從而,所以．…………(20分)ABCHPDQ1２(1１)、如圖,點(diǎn)