平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達標]一、選擇題1．|b|＝3，a在b方向上的投影是eq\f(2,3)，那么a·b為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(4,3)C．3 D．2【解析】由數(shù)量積的幾何意義知a·b＝eq\f(2,3)×3＝2，應(yīng)選D．【答案】D2．設(shè)e1和e2是互相垂直的單位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，那么a·b等于()A．－2 B．－1C．1 D．2【解析】因為|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.應(yīng)選B．【答案】B3．假設(shè)向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，那么a的模為()A．2 B．4C．6 D．12【解析】∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6.【答案】C4．向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，那么向量a與a－b的夾角為()【導(dǎo)學(xué)號：00680056】A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(5π,6) D．eq\f(2π,3)【解析】|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2＋b2－2a·b)＝eq\r(3)，設(shè)向量a與a－b的夾角為θ，那么cosθ＝eq\f(a·a－b,|a||a－b|)＝eq\f(22－1,2×\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,6).應(yīng)選A．【答案】A5．點A，B，C滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝5，那么eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值是()A．－25 B．25C．－24 D．24【解析】因為|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝9＋16＝25＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝0＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))2＝－25.【答案】A二、填空題6．a(chǎn)⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b與λa－b垂直，那么λ等于________．【解析】∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.又∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos90°－2＝0，∴12λ－2＝0，∴λ＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)7．|a|＝|b|＝|c|＝1，且滿足3a＋mb＋7c＝0，其中a與b的夾角為60°，那么實數(shù)【解析】∵3a＋mb＋7c＝0，∴3a＋mb∴(3a＋mb)2＝(－7c)2，化簡得9＋m2＋6ma·又a·b＝|a||b|cos60°＝eq\f(1,2)，∴m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.【答案】5或－8三、解答題8．向量a，b不共線，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求證：(a＋b)⊥(a－b【證明】∵|2a＋b|＝|a＋2b∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2∴a2＝b2，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.又a與b不共線，a＋b≠0，a－b≠eq\a\vs4\al(0)，∴(a＋b)⊥(a－b)．9．非零向量a，b，滿足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，且a·b＝eq\f(1,2).(1)求向量a，b的夾角；(2)求|a－b|.【解】(1)∵(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，∴a2－b2＝eq\f(1,2)，即|a|2－|b|2＝eq\f(1,2).又|a|＝1，∴|b|＝eq\f(\r(2),2).∵a·b＝eq\f(1,2)，∴|a|·|b|cosθ＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝eq\f(\r(2),2)，∴向量a，b的夾角為45°.(2)∵|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝eq\f(1,2)，∴|a－b|＝eq\f(\r(2),2).[能力提升]1．|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有實根，那么a與b的夾角的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2,3)π)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))【解析】∵Δ＝a2－4|a|·|b|cosθ(θ為向量a與b夾角)．假設(shè)方程有實根，那么有Δ≥0，即a2－4|a|·|b|cosθ≥0，又|a|＝2|b|，∴4|b|2－8|b|2cosθ≥0，∴cosθ≤eq\f(1,2)，又0≤θ≤π，∴eq\f(π,3)≤θ≤π.【答案】B2．單位向量e1，e2的夾角為60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夾角.【導(dǎo)學(xué)號：70512036】【解】∵e1，e2為單位向量且夾角為60°，∴e1·e2＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－eq\f(1,2)＋1＝－eq\f(3,2)，|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(e1＋e22)＝eq\r(1＋2×\f(1,2)＋1)＝eq\r(3)，|b|＝eq\r(b2)＝eq\r(