專題7.1三視圖與幾何體的體積和外表積〔測試時間：120分鐘總分值：150分〕一、選擇題〔共12小題，每題5分，共60分〕1.一個幾何體的正視圖、側視圖、和俯視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個幾何體不可以是〔〕A.球B.三棱錐C.正方體D.圓柱【答案】D【解析】考點：三視圖2.【2023云南曲靖一中質檢】一個四棱錐的三視圖如下圖，關于這個四棱錐，以下說法正確的選項是〔〕A.最長的棱長為B.該四棱錐的體積為C.側面四個三角形都是直角三角形D.側面三角形中有且僅有一個等腰三角形【答案】B【解析】復原四棱錐，如下圖，由主視圖可知，底面計算可知B正確，應選B．點睛:思考三視圖復原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系，遵循“長對正，高平齊，寬相等〞的根本原那么，其內涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調整.3.一個幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】A【解析】試題分析：該幾何體為一個三棱柱截去一個三棱錐，所以體積為.考點：空間幾何體的體積.4.【2023江西臨川二中一?！恳粋€幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體外接球的外表積為〔〕A.B.C.D.【來源】【全國百強?！拷魇∨R川第二中學2023屆高三上學期第四次月考〔期中〕數(shù)學〔文〕試題【答案】C【解析】如題，該幾何體如下：那么外接球的半徑，那么外表積，應選C。5.一個空間幾何體的三視圖如下圖，其中正視圖為等腰直角三角形，側視圖與俯視圖為正方形，那么該幾何體的體積為〔〕A．64B．32C．D．【來源】【百強?！?023屆湖南長沙長郡中學高三上周測十二數(shù)學〔文〕試卷〔帶解析〕【答案】B【解析】考點：1、幾何體的三視圖；2、棱柱的體積公式.【方法點睛】此題主要考查利幾何體的三視圖、棱柱的體積公式，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力及抽象思維能力的最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯〞成直觀圖是解題的關鍵，解題時不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等〞，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響.6.【2023河南漯河中學三?！咳忮F的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，那么三棱錐的外接球的球心到平面的距離為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】由圖可知，，得，解得，，應選A。點睛：立體幾何問題，立體問題平面化是常用方法。外接球問題首先分析清楚立體圖形的特點，此題中，首先由題意可知在底面的投影是中點，球心在上，從而得到對應的平面圖形，通過方程思想得到等式，解得答案。7.某幾何體三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為〔俯視圖中弧線是圓弧〕〔〕A．B．C．D．【來源】【百強校】2023屆遼寧莊河市高級中學高三9月月考數(shù)學〔文〕試卷〔帶解析〕【答案】D【解析】考點：由三視圖求體積.8.【2023廣西河池中學三?！咳忮F中，平面，且，那么該三棱錐的外接球的外表積是〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】作的外接圓，過點C作外接圓的直徑CM，連接PM，那么PM為三棱錐P-ABC的外接球的直徑，如下圖;∵∴又平面∴∴，即∴,應選D.9.某棱錐的三視圖如下圖，那么該棱錐的外表積為〔〕A.B.C.D.【來源】【百強?！?023屆江西省紅色七校高三上學期聯(lián)考一數(shù)學〔文〕試卷〔帶解析〕【答案】D【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體為如以下圖所示的四棱錐，且平面，且底面是邊長為的正方形，，所以該棱錐的外表積為，應選D.考點：1.三視圖；2.多面體的外表積與體積.【名師點睛】此題考查空間幾何體的三視圖及幾何體的外表積，意在考查學生的識圖能力、空間想象能力以及技術能力；先根據(jù)三視圖判斷幾何體的結構特征，再計算出該幾何體各個外表的面積查加運算即可；此題屬于中檔題，是高考常考題型.10.一個幾何體的三視圖如圖，那么該幾何體的體積為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】考點：1.三視圖；2.組合體的體積11.，，，是同一球面上的四個點，其中△為正三角形，平面，，，那么該球的外表積為〔〕A．B．C．D．【來源】【百強?！?023屆重慶市巴蜀中學高三上月考一數(shù)學〔文〕試卷〔帶解析〕【答案】D【解析】試題分析：正三角形△外接圓半徑為，所以球的半徑為，因此外表積為，選D.考點：球的外表積【思想點睛】空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解．(2)假設球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形〞成12.圓柱被一個平面截去一局部后與半球〔半徑為〕組成一個幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如下圖，假設該幾何體的外表積為，那么()〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其外表積為==16+20，解得r=2，應選B.【考點定位】簡單幾何體的三視圖；球的外表積公式；圓柱的測面積公式。二．填空題〔共4小題，每題5分，共20分〕13.【2023天津實驗中學三?！磕橙忮F的三視圖如下圖，該三棱錐的體積是__________．【答案】【解析】【方法點睛】此題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯〞成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等〞，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響.14.一個四棱錐的三視圖如下圖，其左視圖是等邊三角形，該四棱錐的體積=．【答案】【解析】考點：三視圖15.三棱柱的側棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，假設該棱柱的體積為，，，那么此球的外表積等于__________.【來源】【百強校】2023屆內蒙古杭錦后旗奮斗中學高三上入學摸底數(shù)學理試卷〔帶解析〕【答案】【解析】試題分析：由該三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，，設分別是的中點，是中點，可證就是三棱柱外接球球心，，，即，．所以．考點：棱柱與外接球，球的外表積．【名師點睛】此題考查棱柱與外接球問題，解題的關鍵是找到外接球的球心．在確定球心時，注意應用球的一個性質得：如果一個多面體存在外接球，那么多面體的各個面一定存在外接圓，球心一定在過此外心且與此平面垂直的直線上，對四面體而言，注意四面體的面是直角三角形的情形．16.在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正視圖和側視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，設點M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點，那么三棱錐P－A1MN【考點定位】此題主要考查空間幾何體的三視圖、直觀圖及空間線面關系、三棱柱與三棱錐的體積等根底知識，考查空間想象能力、圖形分割與轉換的能力，考查根本運算能力.三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.如下圖，在四棱錐中，底面為菱形，為與的交點，平面，為中點，為中點．〔1〕證明：直線平面；〔2〕假設點為中點，，，，求三棱錐的體積．【來源】【百強?！?023屆湖南長沙長郡中學高三上周測十二數(shù)學〔文〕試卷〔帶解析〕【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕.【解析】試題分析：〔1〕設中點為，連結，，先利用中位線定理證明，結合可得四邊形為平行四邊形，進而，由線面平行的判定定理可得結論；〔2〕先利用等積變換得，再利用棱錐體積公式可得結果.試題解析：〔1〕證明：取中點，連結，，∵，，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面．〔2〕由條件得，所以，所以．考點：1、直線與平面平行的判定；2、等積變換及棱錐的體積公式.18.【2023江蘇橫林中學一?！咳鐖D，在正三棱柱中，點分別是的中點．求證：∥平面假設求證：A1B⊥平面B1CE.【答案】詳見解析試題解析證明：(1)連結AC1，BC1，因為AA1C1C是矩形，D是A所以D是AC1的中點．在△ABC1中，因為D，E分別是AC1，AB的中點，所以DE∥BC1.因為DE平面BB1C1C，BC1平面BB1C所以ED∥平面BB1C(2)因為△ABC是正三角形，E是AB的中點，所以CE⊥AB.因為正三棱柱A1B1C1ABC中，平面ABC⊥平面ABB1A1，交線為AB，所以CE⊥平面ABB1從而CE⊥A1B.在矩形ABB1A1中，因為，所以Rt△A1B1B∽Rt△B1BE，從而∠B1A1B＝∠BB1因此∠B1A1B＋∠A1B1E＝∠BB1E＋∠A1B1E＝90°所以A1B⊥B1E.因為CE，B1E平面B1CE，CE∩B1E＝E，所以A1B⊥平面B1CE.【點睛】證明線面平行有兩種方法：第一尋求線線平行，利用線面平行的判定定理去證明，第二可借助面面平行，到達線面平行，這是不可忽略的一種方法.19.如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點．〔I〕求證：平面；〔II〕求證：平面平面；〔III〕求三棱錐的體積．【答案】〔I〕證明詳見解析；〔II〕證明詳見解析；〔III〕.【解析】試題分析：此題主要考查線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公式等根底知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、轉化能力、計算能力.〔I〕在三角形中，利用中位線的性質得，最后直接利用線面平行的判定得到結論；〔II〕先在三角形中得到，再利用面面垂直的性質得平面，最后利用面面垂直的判定得出結論；〔III〕將三棱錐進行等體積轉化，利用，先求出三角形的面積，由于平面，所以為錐體的高，利用錐體的體積公式計算出體積即可.試題解析：〔Ⅰ〕因為分別為，的中點，所以.又因為平面，所以平面.〔Ⅱ〕因為，為的中點，所以.又因為平面平面，且平面，所以平面.所以平面平面.考點：線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公式.20.如圖4，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點。〔I〕證明：平面平面；〔II〕假設直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積。【答案】〔I〕略；(II).【解析】試題解析：〔I〕如圖，因為三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的邊的中點，所以，因此平面，而平面，所以平面平面。〔II〕設的中點為，連接，因為是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直線與平面所成的角，由題設知，所以，在中，，所以故三棱錐的體積?！究键c定位】柱體、椎體、臺體的體積；面面垂直的判定與性質21.如下圖的多面體中，菱形和直角梯形所在的平面互相垂直，其中為直角，，，．〔1〕求證：平面；〔2〕求多面體的體積．【來源】【百強?！?023屆湖北襄陽四中高三七月周考三數(shù)學〔文〕試卷〔帶解析〕【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕．【解析】試題解析：〔1〕證明：連接交于點，連接．因為，且四邊形為菱形，所以．又，，為直角，所以四邊形為矩形，那么，由四邊形為菱形得，又，所以平面，而平面，那么，又，所以，因為，故，那么，即，又，所以平面．〔2〕解：由〔1〕知，平面，所以．考點：1、線面垂直的判定定理與性質；2、棱錐的體積公式．22.如圖1，在直角梯形中，，是的中點，是與的交點，將沿折起到圖