第一課時直線間的夾角、平面間的夾角第1頁/共33頁第一頁，共34頁。第2頁/共33頁第二頁，共34頁。山體滑坡是一種常見的自然災害．甲、乙兩名科學人員為了測量一個山體的傾斜程度，甲站在水平地面上的A處，乙站在山坡斜面上的B處，從A、B兩點到直線l(水平地面與山坡的交線)的距離AC和BD分別為30m和40m，CD的長為60m，AB的長為80m.第3頁/共33頁第三頁，共34頁。第4頁/共33頁第四頁，共34頁。問題4：若n1，n2分別為兩個平面π1、π2的法向量，則π1與π2的夾角θ與〈n1，n2〉有什么關系？第5頁/共33頁第五頁，共34頁。1．兩直線的夾角當兩條直線l1與l2

時，把兩條直線交角中，范圍在

內的角叫做兩直線的夾角．

2．異面直線l1與l2的夾角

(1)定義：直線l1與l2是異面直線，在直線l1上任取一點A作AB∥l2，則

和直線AB的夾角叫作異面直線l1與l2的夾角．共面直線l1第6頁/共33頁第六頁，共34頁?！磗1，s2〉π－〈s1，s2〉平面π1平面π2直線l1和l2第7頁/共33頁第七頁，共34頁。第8頁/共33頁第八頁，共34頁。第9頁/共33頁第九頁，共34頁。第10頁/共33頁第十頁，共34頁。[例1]

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E為垂足．

(1)求證：BE⊥PD；

(2)求異面直線AE與CD夾角的余弦值．

[思路點撥]

要證明兩直線垂直，或求兩直線的夾角，只要適當?shù)亟⒖臻g直角坐標系，求出兩直線對應的方向向量，然后借助于這兩個向量的數(shù)量積公式即可求得．第11頁/共33頁第十一頁，共34頁。第12頁/共33頁第十二頁，共34頁。第13頁/共33頁第十三頁，共34頁。第14頁/共33頁第十四頁，共34頁。1．已知直線l1的一個方向向量為a＝(1，－2,1)，直線l2的一個方向向量為b＝(2，－2,0)，則兩直線的夾角為________．第15頁/共33頁第十五頁，共34頁。2．在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，求異面直線BA1與AC的夾角．第16頁/共33頁第十六頁，共34頁。第17頁/共33頁第十七頁，共34頁。第18頁/共33頁第十八頁，共34頁。3.

如右圖，在四棱錐P－ABCD中，

PD⊥平面ABCD，∠PAD＝60°，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，

AD＝2.

(1)建立適當?shù)淖鴺讼担懗鳇cB、P的坐標；

(2)求異面直線PA與BC夾角的余弦值．第19頁/共33頁第十九頁，共34頁。第20頁/共33頁第二十頁，共34頁。第21頁/共33頁第二十一頁，共34頁。第22頁/共33頁第二十二頁，共34頁。第23頁/共33頁第二十三頁，共34頁。第24頁/共33頁第二十四頁，共34頁。第25頁/共33頁第二十五頁，共34頁。第26頁/共33頁第二十六頁，共34頁。4．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，點E在CC1且C1E＝3EC.(1)證明：A1C⊥平面BED；(2)求平面A1DE與平面BDE夾角的余弦值．解：以D為坐標原點，DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．可知D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．第27頁/共33頁第二十七頁，共34頁。第28頁/共33頁第二十八頁，共34頁。第29頁/共33頁第二十九頁，共34頁。第30頁/共33頁第三十頁，共34頁。第31頁/共33頁第三十一頁，共34頁。用向量法求兩異面直線的夾角θ及兩平面的夾角φ時，要注意兩異面直線的夾角、兩平面夾角與直線的方向向量a，b的夾角及兩平面的法向量n1，n2的夾角的關系：①當cos〈a，b〉<0時，cosθ＝－cos〈a，b〉，當cos〈a，b〉≥0時，cosθ＝cos〈a，b〉，即cosθ＝|cos〈a，b〉|.②當cos〈n1，n2〉≥0時，cosφ＝cos〈n1，n2〉，當cos〈n1，n2〉<0時，cosφ＝－cos〈n1，n2〉，即cosφ＝|cos〈a，b〉|.第32頁/共33頁第三十二頁，共34頁。感謝您的觀看！第33頁/共33頁第三十三頁，共34頁。內容總結第一課時直線間的夾角、平面間的夾角。第4頁/共33頁。