過三點的圓一、教學目標1.了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念.2.理解“不在同一條直線上的三點確定一個圓”.3.能熟練掌握應用尺規(guī)過不在同一條直線上的三點作圓的方法.4.通過獨立思考、動手操作、合作交流等數(shù)學活動,不斷積累數(shù)學活動的經(jīng)驗,提高學生動手操作的能力,體會轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學中的應用.5.通過學生自己動手作圖,在動手參與的過程中探索、發(fā)現(xiàn)科學知識,進一步提高學生動手操作的積極性,提高學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.6.增強學生的數(shù)學應用意識,提高學生學習數(shù)學的興趣,培養(yǎng)學生永無止境的科學探索精神.二、重點“過不在同一條直線上的三點作圓”的方法.難點如何確定圓的思維過程.三、教學過程（一）新課導入一位考古學家在長沙馬王堆漢墓挖掘時,發(fā)現(xiàn)一圓形瓷器碎片,你能幫助這位考古學家畫出這個碎片所在的整個圓嗎?設計意圖通過提問,既復習了前面的知識,又使學生進入了狀態(tài),為本節(jié)課的學習做好鋪墊.由生活實例導入新課,激發(fā)學生的求知欲望,讓每個學生都迅速進入積極思維的狀態(tài).（二）共同探究不在同一條直線上的三點確定一個圓課件展示動手操作,并思考回答:1.作圓,使該圓經(jīng)過已知點A,你能作出幾個這樣的圓?(圓心和半徑的位置不定,可以作出無數(shù)個圓)2.平面上有兩點A,B,過點A,B的圓有多少個?這些圓的圓心到點A,B的距離具有怎樣的關系?圓心是否在線段AB的垂直平分線上?(過兩點A,B的圓有無數(shù)個,這些圓的圓心到點A,B的距離相等,它們的圓心在線段AB的垂直平分線上)師生活動學生獨立思考、動手畫圖,小組合作交流,針對2教師引導:圓上的點到圓心的距離相等,確定圓心的位置時,使它到點A,B的距離相等,圓心在線段AB的垂直平分線上.學生黑板上作圖,教師進行點評.3.平面上三點A,B,C不在一條直線上.過點A,B,C的圓是否存在?如果存在,這樣的圓有多少個?你能確定經(jīng)過A,B,C三點的圓的圓心及半徑嗎?(存在,只有一個,分別作線段AB,BC的垂直平分線,兩條垂直平分線的交點就是圓心,圓心到其中一點的距離就是半徑)4.如果平面上三點A,B,C在一條直線上,經(jīng)過A,B,C的圓是否存在?為什么?(不存在,因為線段AB,BC的垂直平分線平行,沒有交點)師生活動學生獨立思考后小組合作交流,教師巡視中幫助有困難的學生,對有困難的學生引導分析,所求的圓要經(jīng)過A,B,C三點,所以圓心到這三點的距離相等,因此這個點要在線段AB的垂直平分線上,又要在線段BC的垂直平分線上.教師對學生的回答進行點評糾正,師生共同歸納結(jié)論,然后課件展示.課件展示如圖(1)所示,過平面內(nèi)一點A,有無數(shù)多個圓,圓心的位置和半徑的大小不確定.如圖(2)所示,過平面內(nèi)兩點A,B,有無數(shù)多個圓,這些圓的圓心到A,B兩點的距離相等,即圓心在線段AB的垂直平分線上.如圖(3)所示,過平面內(nèi)不共線的三點A,B,C,有且只有一個圓,圓心到A,B,C三點的距離相等,即圓心為線段AB,BC的垂直平分線的交點.過同一條直線上的三點的圓不存在.做一做:如圖所示,過不在同一條直線上的三點A,B,C畫圓.師生活動教師給學生足夠的時間動手操作,然后小組交流答案,小組代表板書過程(或教師課件動畫展示畫圖過程),并做出點評.課件展示作法:如圖所示.1.分別連接AB,BC;2.分別作出線段AB,BC的垂直平分線l1和l2,設它們的交點為O,則OA=OB=OC;3.以點O為圓心,OA(或OB,OC)為半徑作圓,則☉O即為所作的圓.結(jié)論:不在同一條直線上的三點確定一個圓.設計意圖通過動手操作,引導學生進一步認識“過不在同一條直線上的三點只能畫出一個圓”這一事實,進一步體驗數(shù)學活動的探索與創(chuàng)造,感受數(shù)學的嚴謹性.例題講解（三）例題講解例1.(教材151頁例)用尺規(guī)作過三角形三個頂點的圓.已知:如圖所示,△ABC.求作:☉O,使它過三點A,B,C.師生活動學生獨立完成作圖過程,學生展示回答作圖過程,并完成板書,教師課件展示作法,規(guī)范學生的幾何語言,并歸納三角形的外接圓的概念.課件展示作法:如圖所示.(1)分別作線段AB和BC的垂直平分線l1和l2.設l1與l2相交于點O.(2)以點O為圓心,OA為半徑畫圓.☉O即為所求.我們把經(jīng)過三角形三個頂點的圓,叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心叫做三角形的外心.思考1.三角形的外心到三角形的三個頂點的距離有什么關系?2.鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形的外心在什么位置?師生活動學生獨立思考后,小組合作交流,學生回答問題,教師點評歸納.設計意圖通過動手操作、思考交流,進一步體驗數(shù)學活動的探索與創(chuàng)造,感受數(shù)學的嚴謹性,讓學生經(jīng)歷知識的形成過程,提高學生分析問題、解決問題的能力和數(shù)學思維.例2.(節(jié)前導入情境)一位考古學家在長沙馬王堆漢墓挖掘時,發(fā)現(xiàn)一圓形瓷器碎片,你能幫助這位考古學家畫出這個碎片所在的整個圓嗎?師生活動學生獨立思考后小組合作交流,共同完成確定圓心的過程,教師巡視中幫助有困難的學生,對學生的展示點評,并歸納已知一段弧,作所在圓的圓心的方法.結(jié)論:在殘缺的圓上(或弧上)任意選取三點,確定過這三點的圓心就是所在圓的圓心.設計意圖學生通過獨立思考、合作交流完成節(jié)前導入生活情境,做到整節(jié)課首尾呼應,讓學生體會數(shù)學在實際生活中的應用,鞏固作三角形的外接圓的方法,同時培養(yǎng)學生的合作精神以及數(shù)學的應用意識.（四）知識拓展1.經(jīng)過同一條直線上的三個點不能作圓,要注意“過三點的圓”中的“三點”不在同一直線上,故“過三點有且只有一個圓”這種說法是錯誤的.2.“確定”一詞是指不僅能作出一個圓,而且只能作出一個圓,即“有且只有”的意思.3.任意一個三角形都有且只有一個外接圓.4.三角形的外心不僅是三角形外接圓的圓心,它還是三角形三條邊的垂直平分線的交點,它到三角形各個頂點的距離相等.5.銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部;直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點;鈍角三角形的外心在三角形的外部.（五）知識拓展1.過平面內(nèi)一點有無數(shù)多個圓.2.過平面內(nèi)兩點有無數(shù)多個圓,圓心在線段的垂直平分線上.3.作三角形的外接圓.4.不在同一條直線上的三點確定一個圓.（六）課堂檢測1.下列說法正確的是 ()A.三點確定一個圓B.任意的一個三角形一定有一個外接圓C.三角形的外心是它的三個角的角平分線的交點D.任意一個圓有且只有一個內(nèi)接三角形解析:不在同一條直線上的三個點確定一個圓,所以A錯;任意三角形的三個頂點不在同一條直線上,所以一定有一個外接圓,所以B正確;三角形的外心是三邊垂直平分線的交點,所以C錯;任意一個圓有無數(shù)個內(nèi)接三角形,所以D錯.故選B.2.如圖所示,點A,B,C在同一條直線上,點D在直線AB外,過這4個點中的任意3個點,能畫圓的個數(shù)是 () 解析:根據(jù)題意得出:點D,A,B;點D,A,C;點D,B,C可以確定一個圓.故過這四點中的任意3個點,能畫圓的個數(shù)是3.故選C.3.已知△ABC的一邊長為10,另兩邊長分別是方程x2-14x+48=0的兩個根,若用一圓形紙片將此三角形完全覆蓋,則該圓形紙片的最小半徑是.

解析:解方程x2-14x+48=0,得x1=8,x2=6,即△ABC的三條邊長為10,8,6.∵102=82+62,∴△ABC是直角三角形,圓形紙片將此三角形完全覆蓋的最小圓為三角形的外接圓,那么圓形紙片的最小直徑為直角三角形的斜邊,即為10,那么半徑為5.故填5.4.已知Rt△ABC的兩直角邊為a和b,且a,b是方程x2-3x+1=0的兩根,求Rt△ABC的外接圓面積.解:∵兩直角邊a,b分別是一元二次方程x2-3x+1=0的兩根,∴a+b=3,a·b=1,∴c2=a2+b2=(a+b)2-2a·b=7,∵圓的半徑r=12c=7∴Rt△ABC的外接圓的面積為πr2=π×722（七）、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.對于三角形的外心,下列說法錯誤的是 ()A.它到三角形三個頂點的距離相等B.它是三角形外接圓的圓心C.它是三角形三條邊垂直平分線的交點D.它一定在三角形的外部2.下列說法正確的是 ()A.過一點A的圓的圓心可以是平面上任意點B.過兩點A,B的圓的圓心在一條直線上C.過三點A,B,C的圓的圓心有且只有一點D.過四點A,B,C,D的圓不存在3.如圖所示,在5×5的正方形網(wǎng)格中,一條圓弧經(jīng)過A,B,C三點,那么這條圓弧所在圓的圓心是 ()A.點P B.點QC.點R D.點M,B,C為平面上的三點,AB=2,BC=3,AC=5,則 ()A.可以畫一個圓,使A,B,C都在圓周上B.可以畫一個圓,使A,B在圓周上,C在圓內(nèi)C.可以畫一個圓,使A,C在圓周上,B在圓外D.可以畫一個圓,使A,C在圓周上,B在圓內(nèi)5.銳角三角形的外心在;直角三角形的外心在;鈍角三角形的外心在.

6.若AB=4cm,則過點A,B且半徑為3cm的圓有個.

7.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,則△ABC的外接圓半徑為.

8.如圖所示,△ABC,△ABD,△ABE都是以AB為斜邊的直角三角形.求證點A,B,C,D,E在同一個圓上.【能力提升】9.如圖所示,已知☉O是△ABC的外接圓,若AB=AC=5,BC=6,則☉O的半徑為() 不在同一直線上的三點確定一個圓”.請你判斷平面直角坐標系內(nèi)的三個點A(2,3),B(-3,-7),C(5,11)是否可以確定一個圓.【拓展探究】11.已知,如圖(1)所示,△ABC中,BA=BC,D是平面內(nèi)不與A,B,C重合的任意一點,∠ABC=∠DBE,BD=BE.(1)求證△ABD≌△CBE;(2)如圖(2)所示,當點D是△ABC的外接圓圓心時,請判斷四邊形BDCE的形狀,并證明你的結(jié)論.【答案與解析】(解析:三角形的外心是三角形外接圓的圓心,所以B正確;三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點,到三角形的三個頂點的距離相等,所以A,C正確;銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部,直角三角形的外心在斜邊的中點處,鈍角三角形的外心在三角形的外部,所以D錯誤.故選D.)(解析:過一點A的圓的圓心不能為點A,所以A錯誤;過兩點A,B的圓的圓心在線段AB的垂直平分線上,所以B正確;過不在同一條直線上的三點確定一個圓,圓心有且只有一個,所以C錯誤;矩形ABCD的四個頂點在一個圓上,所以D錯誤.故選B.)(解析:作弦AB和BC的垂直平分線,交點即為圓心.故選B.)(解析:根據(jù)題意可得,A,B,C三點在同一條直線上,三點順序依次為A,B,C或C,B,A,所以不可以畫一個圓,使A,B,C都在圓周上,所以A錯誤;可以畫過A,B兩點的圓,此時點C在圓外,所以B錯誤;可以畫過A,C兩點的圓,此時點B在圓內(nèi),所以C錯誤,D正確.故選D.)5.三角形內(nèi)部斜邊的中點三角形外部(解析:三角形外心是三條邊垂直平分線的中點,畫三邊垂直平分線確定交點的位置可得.)(解析:過點A,B的圓的圓心在線段AB的垂直平分線上,線段AB的中點到兩端點的距離是2cm,所以半徑為2cm的圓有一個,半徑小于2cm的圓不存在,半徑為3cm的圓有兩個.故填2.)解析:根據(jù)勾股定理可得斜邊AB=52+122=13,又直角三角形的外心在斜邊的中點,所以外接圓的半徑為12AB8.證明:取AB的中點為O,連接OD,OC,OE.∵△ABC,△ABD,△ABE都是以AB為斜邊的直角三角形,∴OC=OD=OE=12AB,即OC=OD=OE=OA=OB,∴點A,B,C,D,E在同一個圓上(解析:過A作AD⊥BC于D,連接BO,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,則AD必過圓心O,Rt△ABD中,AB=5,BD=3,∴AD=4,設☉O的半徑為x,Rt△OBD中,OB=x,OD=4-x,根據(jù)勾股定理,得OB2=OD2+BD2,即x2=(4-x)2+32,解得x=258=.故選10.解:設經(jīng)過A,B兩點的直線解析式為y=kx+b,由A(2,3),B(-3,-7),得2k+b=3,-3k+b=-7,解得k=2,b=-1.∴經(jīng)過A,B兩點的直線解析式為y=2x-1;當x=5時,y=2x-1=2×5-1=9≠11,所以點C11.(1)證明:∵∠ABC=∠DBE,∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,∴∠ABD=∠CBE,在△ABD與△CBE中,∵BA=BC,∠ABD=∠CBE,BD=BE,∴△ABD≌△CBE.(2)解:四邊形BDCE是菱形.證明如下:同(1)可證△ABD≌△CBE,∴CE=AD,∵點D是△ABC外接圓圓心,∴DA=DB=DC,又∵BD=BE,∴BD=BE=CE=CD,∴四邊形BDCE是菱形.（八）教后反思本節(jié)課由復習舊知識和創(chuàng)設情境——畫圓形瓷器碎片所在圓形引入新課,既能為本節(jié)課的學習做好鋪墊,又能激發(fā)學生的學習興趣.在教學設計中,讓學生親自動手畫圓,觀察與操作相結(jié)合,經(jīng)歷確定圓的過程,體會過一點、兩點、三點可以作幾個圓,通過操作、交流、歸納等數(shù)學活動得出結(jié)論,培養(yǎng)學生獨立思考、與他人合作的能力及歸納總結(jié)能力,在整節(jié)課的探究過程中,以學生動手操作、觀察思考、歸納結(jié)論為課堂載體,讓學生思維活躍,積極參與思考和交流,課堂氣氛活躍,每個學生都在享受學習帶來的快樂.讓學生經(jīng)歷知識的形成過程,提高學生分析問題、解決問題的能力和數(shù)學思維.本節(jié)課通過復習舊知識導入和創(chuàng)設情境導入比較,通過復習舊知引入效果要好一點,這可從學生課堂練習表現(xiàn)出來,通過創(chuàng)設情境引入,可以引起學生更大