2022廣東省東莞市廣榮中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知直線，直線平面，有下列四個(gè)命題：①，②l∥m，③l∥m，④∥，其中正確命題的序號(hào)是（A）①和②

（B）③和④

（C）②和④

（D）①和③參考答案：D2.直線l1：y=x+a和l2：y=x+b將單位圓C：x2+y2=1分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則a2+b2=（）A．1 B．2 C． D．4參考答案：B【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】由題意可得，圓心（0，0）到兩條直線的距離相等，且每段弧長(zhǎng)都是圓周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．【解答】解：由題意可得，圓心（0，0）到兩條直線的距離相等，且每段弧長(zhǎng)都是圓周的，即==cos45°=，∴a2+b2=2，故選：B．3.下列說法正確的是(

)．A．“”是“”的充分不必要條件B．“”是“”的必要不充分條件．C．命題“使得”的否定是：“均有”．D．命題“若，則”的逆否命題為真命題．參考答案：D略4.雙曲線兩條漸近線互相垂直，那么它的離心率為

-

（

）A.

B.

C.

2

D.參考答案：A5.已知，且H=，其中表示數(shù)集中的最大數(shù).則下列結(jié)論中正確的是A.H有最大值

B.H有最小值C.H有最小值

D.H有最大值參考答案：C6.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是（）A． B． C. D．參考答案：B7.如圖，O是半徑為l的球心，點(diǎn)A、B、C在球面上，OA、OB、OC兩兩垂直，E、F分別是大圓弧AB與AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E、F在該球面上的球面距離是ks5u

(

)A

B

C

D

參考答案：B略8.已知函數(shù)f（x）=（2a+1）ex﹣a有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣1，﹣） B．[﹣1，﹣） C．（﹣，0） D．[﹣，0）參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】方法一、由函數(shù)f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程（2a+1）ex=a有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，討論a=0和a≠0時(shí)，問題等價(jià)于兩曲線有兩個(gè)交點(diǎn)問題，再根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，從而求出a的取值范圍．方法二、由函數(shù)f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程（2a+1）ex=a有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，討論a=0和a≠0時(shí)，利用函數(shù)思想研究該方程根的情況，從而求出a的取值范圍．【解答】解法一、函數(shù)f（x）=（2a+1）ex﹣a有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程（2a+1）ex=a有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)a=0時(shí)，不滿足題意；當(dāng)a≠0時(shí)，問題等價(jià)于直線y=與y=有兩個(gè)交點(diǎn)，令g（x）=，則g′（x）=，所以當(dāng)﹣＜x＜0時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；所以當(dāng)x=0時(shí)，g（x）取得最大值1；又因?yàn)間（﹣）=0，當(dāng)x＞﹣時(shí)，g（x）＞0，且當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→0，所以0＜＜1，解得﹣1＜a＜﹣．解法二、函數(shù)f（x）=（2a+1）ex﹣a有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程（2a+1）ex=a（*）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)a=0時(shí)，不滿足題意；當(dāng)a≠0時(shí)，方程可化為=，（1）若x=﹣，則a=﹣，不合題意；（2）若x＞﹣，方程（*）可化為ln（）=ln（2x+1）﹣x，即2ln（）=ln（2x+1）﹣2x；令h（x）=ln（2x+1）﹣2x，（x＞﹣），則h′（x）=﹣2=；當(dāng)﹣＜x＜0時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；所以當(dāng)x=0時(shí)，h（x）取得最大值0，又當(dāng)x→﹣時(shí)，g（x）→﹣∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→﹣∞，所以2ln（）＜0，所以0＜＜1，解得﹣1＜a＜﹣．故選：A．9.設(shè)f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=2x（1﹣x），則=（）A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】奇函數(shù)；函數(shù)的周期性．【分析】由題意得

=f（﹣）=﹣f（），代入已知條件進(jìn)行運(yùn)算．【解答】解：∵f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故選：A．10.函數(shù)（）的大致圖象為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A由函數(shù)，則滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B、D項(xiàng)；由當(dāng)時(shí)，，排除C，故選A．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)y=x3﹣2x2﹣4x+2的單調(diào)遞增區(qū)間是

．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】對(duì)函數(shù)y=x3﹣2x2﹣4x+2進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍，即可得到答案．【解答】解：∵y=x3﹣2x2﹣4x+2∴y'=3x2﹣4x﹣4令3x2﹣4x﹣4＞0，得到x＞2或x＜﹣故答案為：12.半徑為的球內(nèi)接正方形的表面積為

；體積為

參考答案：96,64設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則正方形的外接球的半徑為所以表面積為，體積為故答案為；

13.互為共軛復(fù)數(shù),且則=____________。參考答案：14.三個(gè)數(shù)638，522，406的最大公約數(shù)是．

參考答案：5815.下面?zhèn)未a的輸出結(jié)果為

▲

．

參考答案：9略16.用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中至多有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)應(yīng)為

．參考答案：a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)【考點(diǎn)】R9：反證法與放縮法．【分析】用反證法證明某命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而命題的否定為：“a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)”，由此得出結(jié)論．【解答】解：用反證法證明某命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而：“自然數(shù)a，b，c中至多有一個(gè)偶數(shù)”的否定為：“a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)”，故答案為：a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)．17.先后拋擲兩枚均勻的骰子，骰子朝上的點(diǎn)數(shù)分別為，，則滿足的概率是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，若?是?-的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：由，得，∴?即A=；

由得，∴-?即B=∵?是-?的必要不充分條件，且m>0,∴A

B

故且不等式組中的第一、二兩個(gè)不等式不能同時(shí)取等號(hào)，解得m≥9為所求

略19.橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1．（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明為定值，并求出這個(gè)定值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的斜率；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）把﹣c代入橢圓方程得，解得，由已知過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1，可得．再利用，及a2=b2+c2即可得出；（2）設(shè)|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分線的性質(zhì)可得，利用橢圓的定義可得t+n=2a=4，消去t得到，化為，再根據(jù)a﹣c＜n＜a+c，即可得到m的取值范圍；（3）設(shè)P（x0，y0），不妨設(shè)y0＞0，由橢圓方程，取，利用導(dǎo)數(shù)即可得到切線的斜率，再利用斜率計(jì)算公式即可得到k1，k2，代入即可證明結(jié)論．【解答】解：（1）把﹣c代入橢圓方程得，解得，∵過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1，∴．又，聯(lián)立得解得，∴橢圓C的方程為．（2）如圖所示，設(shè)|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分線的性質(zhì)可得，又t+n=2a=4，消去t得到，化為，∵a﹣c＜n＜a+c，即，也即，解得．∴m的取值范圍；．（3）證明：設(shè)P（x0，y0），不妨設(shè)y0＞0，由橢圓方程，取，則=，∴k==．∵，，∴=，∴==﹣8為定值．20.(8分)把“五進(jìn)制”數(shù)1234(5)轉(zhuǎn)化為“十進(jìn)制”數(shù)，再把它轉(zhuǎn)化為“八進(jìn)制”數(shù)．參考答案：1234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194，∴194＝302(8)21.（12分）（2015秋?膠州市期末）已知函數(shù)f（x）=（x2﹣3x+3）?ex的定義域?yàn)閇﹣2，t]，設(shè)f（﹣2）=m，f（t）=n．（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[﹣2，t]上為單調(diào)函數(shù)；（2）求證：m＜n；（3）求證：對(duì)于任意的t＞﹣2，總存在x0∈（﹣2，t），滿足=（t﹣1）2；又若方程=（t﹣1）2；在（﹣2，t）上有唯一解，請(qǐng)確定t的取值范圍．參考答案：【分析】（1）求導(dǎo)得f′（x）=（2x﹣3）?ex+（x2﹣3x+3）?ex=x（x﹣1）ex，從而可得f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，從而確定t的取值范圍；（2）借助（1）可知，f（x）在x=1處取得極小值e，求出f（﹣2）=m=＜e，則f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值為f（﹣2），從而得證；（3）化簡(jiǎn)=﹣x0，從而將=（t﹣1）2化為﹣x0=（t﹣1）2，令g（x）=x2﹣x﹣（t﹣1）2，則證明方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，并討論解的個(gè)數(shù)；由二次函數(shù)的性質(zhì)討論即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=（2x﹣3）?ex+（x2﹣3x+3）?ex=x（x﹣1）ex，由f′（x）＞0可得，x＞1或x＜0；由f′（x）＞＜0可得，0＜x＜1；∴f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，欲f（x）在[﹣2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則﹣2＜t≤0；∴t的取值范圍為（﹣2，0]．（2）證明：∵f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，∴f（x）在x=1處取得極小值e，又∵f（﹣2）=m=＜e=f（1），∴f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值為f（﹣2）．從而當(dāng)t＞﹣2時(shí)，f（﹣2）＜f（t），即m＜n；（3）證明：∵=﹣x0，∴=（t﹣1）2可化為﹣x0=（t﹣1）2，令g（x）=x2﹣x﹣（t﹣1）2，則證明方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，并討論解的個(gè)數(shù)．∵g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣（t+2）（t﹣4），g（t）=t（t﹣1）﹣（t﹣1）2=（t+2）（t﹣1），①當(dāng)t＞4或﹣2＜t＜1時(shí)，g（﹣2）?g（t）＜0，則方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有且只有一解；②當(dāng)1＜t＜4時(shí)，g（﹣2）＞0，且g（t）＞0，又∵g（0）=﹣（t﹣1）2＜0，∴方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有解，且有兩解；③當(dāng)t=1時(shí)，g（x）=x2﹣x=0，從而解得，x=0或x=1，故方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有且只有一解；④當(dāng)t=4時(shí)，g（x）=x2﹣x﹣6=0，從而解得，x=﹣2或x=3，故方程x2﹣x﹣（t﹣1）2=0在（﹣2，t）上有且只有一解；綜上所述，對(duì)于任意的t＞﹣2，總存在x0∈（﹣2，t），滿足=（t﹣1）2；當(dāng)方程=（t﹣1）2在（﹣2，t）上有唯一解時(shí)，t的取值范圍為（﹣2，1]∪[4，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用，屬于難題．22.（本小題滿分12分）