2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

--------1--------ULIU1ULU

1.已知△ABC是邊長為3的正三角形，若BD=BC,則=

315

A.——B.—

22

315

C,一D.——

22

2.已知復數(shù)二滿足，=1+"則慟的值為(

)

Z

1L

A.-B.y/2C.—D.2

2

3.(x+l)(2x+l)(3x+l)…(nx+l)(〃eN*)的展開式中x的一次項系數(shù)為()

C.D.1c,t,

A.C：B.C；+l

4.定義在K上的偶函數(shù)“X)滿足/(x+1)=/⑴(〃x)wo),且在區(qū)間(2017,2018)上單調(diào)遞減，已知a尸是

銳角三角形的兩個內(nèi)角，則/(sin6),/(cos。)的大小關(guān)系是()

A./(sin/?)</(cosa)B./(sin)3^>/(cos6f)

C./(sin/?)^f(costz)D.以上情況均有可能

5.已知雙曲線C:二—二=l(a>0,0>0),點P(不),%)是直線法一做+4。=0上任意一點，若圓

ab

(x—x0)2+(y—%)2=1與雙曲線。的右支沒有公共點，則雙曲線的離心率取值范圍是().

A.(1,2]B.(1,4]C.[2,+00)D.[4,+00)

6.(x+y)(2x—y)5的展開式中左、3的系數(shù)為()

A.-30B.-40C.40D.50

7.函數(shù)/(x)=sin[2x+q][()4x4高的值域為()

c.[0,1]一5'°

8.已知函數(shù)/（x）=F-x'x-a（。>（））,若函數(shù)g（x）=/（%）-4國有三個零點，則。的取值范圍是（）

5-x,x>a

A.(0,l)U5+8)B.(0,1)U[5,4W)

c.(1,5]

9.已知雙曲線三+y2=i的一條漸近線傾斜角為蘭，則。=（

B.-V3D.-3

10.一只螞蟻在邊長為4的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機爬行，則在離三個頂點距離都大于2的區(qū)域內(nèi)的概率為（）

A.6萬R3幣）兀n1

A.1------B.—C.----D.—

6464

11.（3/+/）（2一_1）8展開式中的系數(shù)為（）

A.-1280B.4864C.-4864D.1280

12.設(shè)函數(shù)（無）是奇函數(shù)/（x）（xeR）的導函數(shù)，當x〉0時，/'（%）Inx<--/（%）,則使得，一1）/（幻>0成立

的x的取值范圍是（

A.(-1,0)U(0,1)B.(-oo,-l)U(1,+<?)

c.(-l,o)?(l,?)D.y,-i）u（o』）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)S“為等比數(shù)列｛叫的前〃項和，若q=1,且3R,2s2，S3成等差數(shù)列，則?！?.

冗

15.已知AA8C內(nèi)角A，B,C的對邊分別為b,c.a=4,b=瓜,A=§則cos2B=

x+y+2>0

16.已知實數(shù)滿足｛2x—y—2V0,則z=3x+y的最小值是.

y<l

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在AASC中，角A,B,。所對的邊分別為b,c,且a=/?cosC+csin8.

（1）求B的值;

7

⑵設(shè)44c的平分線AD與邊8C交于點。，已知4。=了，cosA求人的值.

25

18.（12分）如圖，在三棱柱ADE-8c戶中，ABCD是邊長為2的菱形，且Z?4￡）=60。，COEE是矩形，ED=1,

且平面8石五，平面ABC。，。點在線段8C上移動（。不與。重合），〃是AE的中點.

（1）當四面體EDPC的外接球的表面積為5兀時，證明：HB〃.平面EDP

（2）當四面體E0PC的體積最大時，求平面"DP與平面EPC所成銳二面角的余弦值.

19.（12分）這次新冠肺炎疫情，是新中國成立以來在我國發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一

次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.中華民族歷史上經(jīng)歷過很多磨難，但從來沒有被壓垮過，而是愈挫愈勇，不斷在磨難中成長,

從磨難中奮起.在這次疫情中，全國人民展現(xiàn)出既有責任擔當之勇、又有科學防控之智.某校高三學生也展開了對這次疫

情的研究，一名同學在數(shù)據(jù)統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)，從2020年2月1日至2月7日期間，日期x和全國累計報告確診病例數(shù)量》

（單位：萬人）之間的關(guān)系如下表：

日期X1234567

全國累計報告確診病例數(shù)量y（萬人）1.41.72.02.42.83.13.5

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，運用相關(guān)系數(shù)進行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合），與x的關(guān)系？

（2）求出>關(guān)于％的線性回歸方程y=反+。（系數(shù)精確到0.01）.并預測2月10日全國累計報告確診病例數(shù).

77

參考數(shù)據(jù)：Z），=16.9,=77.5,=1.88,近~2.65.

/=!/=1

參考公式:

回歸方程，=%+%中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:

.成外-可一)

二百r

20.(12分)設(shè)函數(shù)/(%)=2%2+alnx,(?eR).

(1)若曲線y=/(x)在點(1,/(1))處的切線方程為y=2x+〃?，求實數(shù)a、的值；

(2)若〃2x7)+2>2/(x)對任意xe[2,”)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)關(guān)于x的方程/(x)+2cosx=5能否有三個不同的實根？證明你的結(jié)論.

22o

21.(12分)已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=f(f為常數(shù))，且±+±+z2的最小值為一，求實數(shù)，的值.

497

x=t

22.(10分)在平面直角坐標系xOy中，直線/的參數(shù)方程為〈cc。為參數(shù))，以坐標原點。為極點，X軸的

y=3—2r

正半軸為極軸建立極坐標系，曲線。的極坐標方程為。=4sin8.

(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

(2)若直線/與曲線C交于A、B兩點,求的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

由BO=(5C可得=+=+因為△ABC是邊長為3的正三角形，所以

AD-BC=(AB+-BC)BC=ABBC+-BC2=3x3cosl200+-x32=--,故選A.

3332

2.C

【解析】

由復數(shù)的除法運算整理已知求得復數(shù)z,進而求得其模.

【詳解】

E11-Z1V2

因為J一=1,+2.Z-----———

z1+11-f22

故選：C

【點睛】

本題考查復數(shù)的除法運算與求復數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

根據(jù)多項式乘法法則得出x的一次項系數(shù)，然后由等差數(shù)列的前"項和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論.

【詳解】

由題意展開式中X的一次項系數(shù)為1+2+…+n=曳F=C：…

故選：B.

【點睛】

本題考查二項式定理的應用，應用多項式乘法法則可得展開式中某項系數(shù).同時本題考查了組合數(shù)公式.

4.B

【解析】

由已知可求得函數(shù)的周期，根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求f(x)在(0,1)上的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較.

【詳解】

由f(x+1)=-可得f(x+2)=/[(x+l)+l]=-=/(x),即函數(shù)的周期T=2，

A?/(x+DJ

因為在區(qū)間(2017,2018)上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減,

根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，Ax)在(0,1)上單調(diào)遞增,

因為a,夕是銳角三角形的兩個內(nèi)角，

所以a,夕e(0,g%)且a+夕>；■萬即a>(萬一￡，

所以cosa<cos(；乃一/?)即0<cos?<sin/?<1,

/(cosa)</(sin/?).

故選：B.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

5.B

【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線bx-ay+2a=0與直線bx-ay=O的距離d,根據(jù)圓

（x—Xo『+（y-yo『=l與雙曲線。的右支沒有公共點，可得d21,解得即可.

【詳解】

由題意，雙曲線C:5—4=l（a>0,b>0）的一條漸近線方程為y=—x,即bx-ay=0,

a~b-a

VP（x0,y0）是直線bx-ay+4a=0上任意一點，

14a4a

貝?。┲本€bx-ay+4a=0與直線bx-ay=0的距離d=/,=—,

Va'+b_c

?.?圓（x—x0）2+（y—y0）2=l與雙曲線。的右支沒有公共點，則dNl,

4<zc

—>1,即e=-44,又e>l

ca

故e的取值范圍為（1,4],

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據(jù)圓與雙曲線C的右支沒有公

共點得出d21是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

先寫出（2x-y）s的通項公式，再根據(jù)的產(chǎn)生過程，即可求得.

【詳解】

對二項式（2x-?,

5r

其通項公式為Tr+l=基（2%廣（-=C；2-（-1/產(chǎn)y

（x+y）（2x-y）5的展開式中x3y3的系數(shù)

是（2x-y）’展開式中x2y3的系數(shù)與的系數(shù)之和.

令r=3,可得Yy3的系數(shù)為。含(—1)3=—40；

令r=2,可得。2的系數(shù)為或23(-1)2=80；

故(尤+y)(2x-y)5的展開式中丁的系數(shù)為80-40=40.

故選：C.

【點睛】

本題考查二項展開式中某一項系數(shù)的求解，關(guān)鍵是對通項公式的熟練使用，屬基礎(chǔ)題.

7.A

【解析】

由xe0,^計算出2x+g的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)y=/(x)的值域.

【詳解】

八5乃］八%「萬7411.(小萬、1

*/x€0,—,2xH—G—,—,—Wsin2x4—|?1,

L12」3|_36」2(3)

因此，函數(shù)/(x)=sin(2x+?j(0WxWm的值域為-1」.

故選：A.

【點睛】

本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解，解答的關(guān)鍵就是求出對象角的取值范圍，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

分段求解函數(shù)零點，數(shù)形結(jié)合，分類討論即可求得結(jié)果.

【詳解】

作出y=V一x和y=5-x,>=4兇的圖像如下所示:

函數(shù)g(x)=/(X)-4國有三個零點，

等價于y=/(X)與y=4W有三個交點，

又因為。〉0,且由圖可知，

當XWO時y=/(x)與丁=4國有兩個交點A,。，

故只需當x>0時，y=〃x)與y=4|x|有一個交點即可.

若當x>0時，

a€(0,1)時，顯然」=□⑺與：］=4|［侑一個交點口，故滿足題意；

a=l時，顯然』□(匚。與］=4舊|沒有交點，故不滿足題意；

ae(l,5)時，顯然二=口(口)與匚=41|也沒有交點，故不滿足題意；

時，顯然y=/(x)與丁=4閃有一個交點C,故滿足題意.

綜上所述，要滿足題意，只需ae(0,DU［5,+8).

故選：A.

【點睛】

本題考查由函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，屬中檔題.

9.D

【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程，根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】

由雙曲線方程可知：?<0,漸近線方程為：y=±，=x,

7-a

???一條漸近線的傾斜角為苧，-yLutan包=—也，解得：a=-3.

6口63

故選：D.

【點睛】

本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是明確直線傾斜角與斜率的關(guān)系；易錯點是忽略方程表示

雙曲線對于。的范圍的要求.

10.A

【解析】

求出滿足條件的正ZVWC的面積，再求出滿足條件的正AA6C內(nèi)的點到頂點A、B、。的距離均不小于2的圖形的

面積，然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案.

【詳解】

滿足條件的正A4BC如下圖所示：

其中正AABC的面積為SMBC=%U=4瓜

滿足到正A48c的頂點A、B、C的距離均不小于2的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,

陰影部分區(qū)域的面積為5=—乂%*22=2".

2

則使取到的點到三個頂點A、B、C的距離都大于2的概率是P=l-4=1-叵.

4百6

故選：A.

【點睛】

本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應用，考查計算能力，屬于中等題.

11.A

【解析】

根據(jù)二項式展開式的公式得到具體為:

【詳解】

根據(jù)二項式的展開式得到可以第一個括號里出3V項，第二個括號里出,項，或者第一個括號里出第二個括號里

化簡得到-1280x2

故得到答案為：A.

【點睛】

求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略：

⑴求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r+1項，再由特定項的特點求出「值即可.

⑵已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r+1項，由特定項得出廠值，最后求出

其參數(shù).

12.D

【解析】

構(gòu)造函數(shù)，令g(x)=lnx-/(x)(x>0),則g(x)=ln?'(無)+^^,

由尸(x)"x<-g/(x)可得g'(x)<0,

則g(x)是區(qū)間(0,+紇)上的單調(diào)遞減函數(shù)，

且g⑴=lnlx/⑴=0,

當(0,1)時￡(X)>0「.?加xvO1A工)〈0,(爐?1成幻>0；

當x￡(1,+8)時,g(x)v0,丁Znx>0,?,-/(x)<0,(x2-l)/(x)<0

??VU)是奇函數(shù)，當x￡(?l,0)時J(x)>0,(xMVWv0

???當工￡(?哈?1)時《幻>0,(爐?1加幻>0.

綜上所述，使得(xM)/U)>0成立的x的取值范圍是(-8,-1)口(0,1).

本題選擇。選項.

點睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似

乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、

化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)

題目的特點，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解

決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.3f

【解析】

試題分析：V3Sj?2s2，%成等差數(shù)列，2x2(/+4)=3o,+/+/nq=3a2nq=3,

又；等比數(shù)列加J，,4==38"1.

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).

【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列

基本量4的方程即可求解，考查學生等價轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.

14.(0,1]

【解析】

x>0

由題意得｛log/20：,解得定義域為(0』.

2

7

15.—

16

【解析】

利用正弦定理求得角B,再利用二倍角的余弦公式，即可求解.

【詳解】

4_V6

由正弦定理得百一sin3，

T

sinB=,cos2B=l-2x—=—.

86416

7

故答案為：--.

16

【點睛】

本題考查了正弦定理求角，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.

16.-8

【解析】

先畫出不等式組對應的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合分析解答得解.

【詳解】

x+y+2>0

畫出不等式組=2x-y-2W0表示的可行域如圖陰影區(qū)域所示.

”1

由題得y=-3x+z,它表示斜率為-3,縱截距為z的直線系,

平移直線3尤+y=0,

易知當直線z=3x+），經(jīng)過點M（-3,l）時，直線的縱截距最小，目標函數(shù)z=3x+），取得最小值，且

Zmm=3X（-3）+1=-8.

故答案為：-8

【點睛】

本題主要考查線性規(guī)劃問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析能力.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

*.⑴喊；（2）〃ADsinNAOC

sinC

【解析】

（1）利用正弦定理化簡求值即可；

（2）利用兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式，結(jié)合正弦定理求出h的值.

【詳解】

解：（1）Q-〃cosC=csin8,由正弦定理得：sinA-sinBcosC=sinCsinB,

sin（乃一3-C）一sin5cosC=sinCsinB,

sin（B+C）-sinBcosC=sinCsinB,

sin3cosC+sinCcosB-sinBcosC=sinCsinB,

sinCcosB=sinCsinB,

又B,。為三角形內(nèi)角，故sin8>0,sinC>0,

兀

則cos3=sin3>0,故tan5=1,B=—；

4

(2)A。平分N8AC,設(shè)Zja4D=NCAD=x,則A=2xw(0,%),x€(0,、

73/4

cosA=cos2x=2cos2x-1—-----,cosx=—,貝！|sinx=Jl—cos?x=一，

2555

sinA--s/l-cos2A=—,又6=工，

則sinC=sin-----A

I4

.兀.n772

sin/ADC=sin(8+x)=sin-sinxcos——Fcosxsm—=

410

AD,ADsinZADC

在AACZ)中，由正弦定理:

sinZADCsinC

【點睛】

本題考查正弦定理和兩角和差的正弦函數(shù)的化簡公式，二倍角公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7

18.(1)證明見解析(2)-

8

【解析】

(1)由題意，先求得。為的中點，再證明平面“MB//平面EDP,進而可得結(jié)論；

(2)由題意，當點P位于點3時，四面體EOPC的體積最大，再建立空間直角坐標系，利用空間向量運算即可.

【詳解】

(1)證明：當四面體EQPC的外接球的表面積為5兀時.

則其外接球的半徑為由.

因為ABCD時邊長為2的菱形，CDEF是矩形.

ED=1,且平面CDEE_L平面ABC。.

則ED，平面ABC。，EC=y/5.

則EC為四面體EOPC外接球的直徑.

所以NEPC=90。，即CBLEP.

由題意，CBLED,EPCED=E,所以CBLDP.

因為N8AD=488=60°,所以尸為BC的中點.

記的中點為連接M”，MB.

則"BPOP,MHPDE,DEcDP=D，所以平面“Affi//平面￡￡用.

因為HBu平面HMB，所以HB//平面EDP.

(2)由題意，ED_L平面ABCD,則三棱錐E—OPC的高不變.

當四面體E0PC的體積最大時，△DPC的面積最大.

所以當點P位于點5時，四面體EDPC的體積最大.

以點。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。-盯z.

則0（0,0,0）,￡（0,0,1）,川瘋1,0）,|C（0,2,0）.

I222J

所以麗=（6』,o）,DH=,或=（0,2,—1）,麗=（6,1,

設(shè)平面//DB的法向量為〃z=（X]，x，zJ.

DB-m-+x=0,

貝卜___7311

DH.歷=5-玉-]x+/Z|=0,

令%=1,得加=（1,一6,—26）.

設(shè)平面EBC的一個法向量為〃=（工2，%，22卜

EC-n=2y.-z5=0,

貝！I—廠'

EB-n=V3X2+%-Z2二°，

令%=3,得〃=(6,3,6).

mn7

設(shè)平面"DP與平面EPC所成銳二面角是。，貝!]cos。=

8

7

所以當四面體EDPC的體積最大時，平面HDP與平面EPC所成銳二面角的余弦值為-.

【點睛】

本題考查平面與平面的平行、線面平行，考查平面與平面所成銳二面角的余弦值，正確運用平面與平面的平行、線面

平行的判定，利用好空間向量是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

19.(1)可以用線性回歸模型擬合＞與x的關(guān)系；(2)y=0.35x+l,預測2月10日全國累計報告確診病例數(shù)約有

4.5萬人.

【解析】

9.908

(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用公式求得=0.99,再根據(jù)M的值越大說明它

5.3x1.88

i-y

們的線性相關(guān)性越高來判斷.

(2)由(I)的相關(guān)數(shù)據(jù)，求得分=上a=y-bx＞寫出回歸方程，然后將x=10代入回歸方程求解.

/=1

【詳解】

-16.9

(1)由已知數(shù)據(jù)得，尤=4,y=----=2.414,

，7

所以一x)(Y-一〃孫=77.5-7x4x2.414=9.908,

J6H"J=5/2(32+22+1)=277=5.3,

￡(x,.-x)(y-y)

;"。必

所以廠=

-V

因為y與x的相關(guān)近似為0.99,說明它們的線性相關(guān)性相當高，從而可以用線性回歸模型擬合》與x的關(guān)系.

9.908

(2)由(1)得，6=J--------;—=0.354,

28

(=1

一菽=2.414-0.354x4=0.998，

所以，)'關(guān)于x的回歸方程為：y=0.35x+l,

2月10日，即尤=10代入回歸方程得：>=0.35x10+1=4.5.

所以預測2月10日全國累計報告確診病例數(shù)約有4.5萬人.

【點睛】

本題主要考查線性回歸分析和回歸方程的求解及應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

4

20.(1)。=一2,m=0;(2)-oo,J；(3)不能，證明見解析

12In2n-In3J

【解析】

(1)求出了'(X),結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求解；

(2)構(gòu)造〃(x)=/(2x-l)+2—2/(x),則原題等價于〃(x)>0對任意xe[2,+8)恒成立，即xe[2,+8)時，

/i(x)min>0,利用導數(shù)求〃(x)最值即可，值得注意的是，可以通過代特殊值，由//(2)>0求出”的范圍，再研究該

范圍下從可單調(diào)性；

(3)構(gòu)造g(x)=/(x)+2cosx-5并進行求導，研究g(x)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點存在性定理證明即可.

【詳解】

(1)V/(x)=2x2+alnx,

f(x)-4x+—,

X-

???曲線y=/(x)在點(I"⑴)處的切線方程為y=2x+加,

/⑴=4+a=2

一'/(l)=2=2xl+w，

a=-2

解得

771=0

(2)is/i(x)=/(2x-l)+2-2/(x),

2

整理得/?(x)=4(x-1)2—

22

/z'(x)=8(x-l)-tz

x2x-l2x2-x

由題知，/(2彳-1)+2>2/(*)對任意工€[2,+8)恒成立,

二〃(x)>0對任意xe[2,+oo)恒成立，即xe[2,+oo)時，〃(項而>0,

???〃(2)>0,解得a<——-——,

2In2-In3

4

當a<----------時,

21n2-ln3

、2

對任意xc[2,+oo),x-1>0,2x2-x=2\x---1e[6,+oo)>

I47

46

41n4-

4

4(2f-元)一〃〉4x6一—3_g_>0，

21n2-ln321n2-ln3

??.”(x)>0,即〃(x)在[2,+8)單調(diào)遞增，此時〃(%)向,=人(2)>0,

二實數(shù)。的取值范圍為(f,4

21n2-ln3

(3)關(guān)于x的方程/(%)+2cosx=5不可能有三個不同的實根，以下給出證明:

記g(%)=/(x)+2cosx-5=2x2+aInx+2cosx-5,xe(0,+8),

則關(guān)于x的方程/(%)+2cosx=5有三個不同的實根，等價于函數(shù)g(x)有三個零點,

=4x+—-2sinx,

當aNO時，->0,

x

ifiw(x)=4x-2sinx,則w'(x)=4-2cosx>0,