PAGE27-考點37直線與圓的位置關系（1）能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關系.（2）能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.（3）初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.一、直線與圓的三種位置關系（1）直線與圓相離，沒有公共點；（2）直線與圓相切，只有一個公共點；（3）直線與圓相交，有兩個公共點．二、直線與圓的位置關系的判斷方法判斷方法直線與圓的位置關系幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑長r的大小關系來判斷直線與圓相離直線與圓相切直線與圓相交代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得到關于x（或y）的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的解的個數(shù)來判斷方程無實數(shù)解，直線與圓相離方程有唯一的實數(shù)解，直線與圓相切方程有兩個不同的實數(shù)解，直線與圓相交三、圓與圓的位置關系兩圓的位置關系外切相切兩圓有唯一公共點內(nèi)切內(nèi)含相離兩圓沒有公共點外離相交兩圓有兩個不同的公共點四、圓與圓位置關系的判斷圓與圓的位置關系的判斷方法有兩種：（1）幾何法：由兩圓的圓心距d與半徑長R，r的關系來判斷（如下圖，其中）．（2）代數(shù)法：設圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0①，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0②，聯(lián)立①②，如果該方程組沒有實數(shù)解，那么兩圓相離；如果該方程組有兩組相同的實數(shù)解，那么兩圓相切；如果該方程組有兩組不同的實數(shù)解，那么兩圓相交．五、兩圓相交時公共弦所在直線的方程設圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0①，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0②，若兩圓相交，則有一條公共弦，由①－②，得（D1－D2）x+（E1－E2）y+F1－F2=0③．方程③表示圓C1與圓C2的公共弦所在直線的方程．考向一直線與圓的位置關系判斷直線與圓的位置關系時，通常用幾何法，其步驟是：（1）明確圓心C的坐標（a,b）和半徑長r，將直線方程化為一般式；（2）利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d；（3）比較d與r的大小，寫出結(jié)論.典例1（1）已知點在圓O：外，則直線與圓O的位置關系是A．相切 B．相交C．相離 D．不確定（2）若直線與圓不相交，則實數(shù)a的取值范圍是A．（－2－eq\r(5)，－2＋eq\r(5)）B．[－2－eq\r(5)，－2＋eq\r(5)]C．[－eq\r(5)，eq\r(5)]D．（－∞，－eq\r(5)－2]∪[eq\r(5)－2，＋∞）【答案】（1）B；（2）D.（2）若直線與圓不相交，則直線與圓相離或相切，故有解得a≥eq\r(5)－2或a≤－eq\r(5)－2，故選D.1．若直線y=kx+2k與圓x2+y2+mx+4=0至少有一個交點,則m的取值范圍是A．[0,+∞） B．[4,+∞）C．（4,+∞） D．[2,4]考向二圓與圓的位置關系判斷圓與圓的位置關系時，一般用幾何法，其步驟是：（1）確定兩圓的圓心坐標和半徑長；（2）利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d，求；（3）比較的大小，寫出結(jié)論.典例2圓O1:和圓的位置關系是A．相離 B．相交C．外切 D．內(nèi)切【答案】B2．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝________．考向三圓的弦長問題1．涉及直線被圓截得的弦長問題，一般有兩種求解方法：一是利用半徑長r、弦心距d、弦長l的一半構成直角三角形，結(jié)合勾股定理求解；二是若斜率為k的直線l與圓C交于兩點，則.2．求兩圓公共弦長一般有兩種方法：一是聯(lián)立兩圓的方程求出交點坐標，再利用兩點間的距離公式求解；二是求出兩圓公共弦所在直線的方程，轉(zhuǎn)化為直線被圓截得的弦長問題.典例3已知直線y=kx+3與圓相交于M,N兩點,若|MN|=23,則k的值是A．1或 B．1或-1C．或 D．或【答案】C【解析】由已知得圓的標準方程為,則該圓的圓心為（3,2）,半徑為22.設圓心到直線y=kx+3的距離為d,則,解得d=5,即,解得或.故選C.3．直線ax+y-5=0截圓C:xA．-2 B．-3C．2 D．3考向四圓的切線問題1．求過圓上的一點的切線方程：先求切點與圓心連線的斜率k，若k不存在，則由圖形可寫出切線方程為;若,則由圖形可寫出切線方程為;若k存在且k≠0，則由垂直關系知切線的斜率為，由點斜式方程可求切線方程.2．求過圓外一點的圓的切線方程：（1）幾何方法當斜率存在時，設為k，則切線方程為，即.由圓心到直線的距離等于半徑長，即可得出切線方程.（2）代數(shù)方法當斜率存在時，設為k，則切線方程為，即,代入圓的方程，得到一個關于x的一元二次方程，由,求得k,切線方程即可求出.3．在求過一定點的圓的切線方程時，應首先判斷定點與圓的位置關系，若點在圓上，則該點為切點，切線只有一條；若點在圓外，切線有兩條；若點在圓內(nèi)，則切線不存在．典例4已知點，點M（3，1），圓C：（x－1）2＋（y－2）2＝4．（1）求過點P的圓C的切線方程；（2）求過點M的圓C的切線方程，并求出切線長．（2）因為，所以點M在圓C外部．當過點M的直線斜率不存在時，直線方程為x＝3，又點C（1，2）到直線x＝3的距離d=3－1=2=r，所以直線x＝3是圓的一條切線．當切線的斜率存在時，設切線方程為y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，則圓心C到切線的距離d=，解得k＝，所以切線方程為y－1＝（x－3），即3x－4y－5＝0．綜上可得，過點M的圓C的切線方程為x－3=0或3x－4y－5＝0．因為|MC|=，所以過點M的圓C的切線長為．4．設,若直線與圓相切,則m+n的取值范圍是A． B．C． D．1．圓與軸交于兩點，則A． B．C． D．2．以點為圓心且與直線相切的圓的方程為A． B．C． D．3．已知圓與圓，則圓與圓的位置關系為A．相交 B．內(nèi)切C．外切 D．相離4．如果實數(shù)x，y滿足等式，那么yx的最大值是A．12 B．C．32 D．5．已知雙曲線的離心率為，則其漸近線與圓的位置關系是A．相交 B．相切C．相離 D．不確定6．若直線將圓的周長分為兩部分，則直線的斜率為A．或 B．或C． D．7．已知兩點，（），若曲線上存在點，使得，則正實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．8．動圓M與圓外切，與圓內(nèi)切，則動圓圓心M的軌跡方程是A． B．C． D．9．已知圓C:，直線l1:y=3x，l2:y=kx-1，若l1，lA．3 B．1C．12 D．10．已知動直線與圓相交于兩點，且滿足，點為直線上的一點，且滿足，若是線段的中點，則的值為A． B．C． D．11．圓截直線所得的弦長為8，則的值是________．12．過定點的直線：與圓相切于點，則________．13．設圓的弦的中點為，則直線的方程是________．14．已知動直線：,則直線被圓：截得的最短弦長為________．15．已知圓的方程為，過點的圓的三條弦的長分別為，若成等比數(shù)列，則其公比的最大值為________．16．已知動圓與直線相切于點，圓被軸所截得的弦長為，則滿足條件的所有圓的半徑之積是________．17．已知直線與圓:相交于兩點,且為等邊三角形,則圓的面積為________．18．已知圓：和圓：，若點（，）在兩圓的公共弦上，則的最小值為________．19．已知：,Q是x軸上的動點,QA,QB分別切于A,B兩點.（1）如果,求直線MQ的方程.（2）求證：直線AB恒過一個定點.20．已知圓C：（x－3）2＋（y－4）2＝4，直線l1過定點A（1，0）．（1）若l1與圓相切，求l1的方程；（2）若l1與圓相交于P、Q兩點，線段PQ的中點為M，又l1與l2：x＋2y＋2＝0的交點為N，判斷|AM|·|AN|是否為定值？若是，則求出定值；若不是，請說明理由．21．已知圓關于直線對稱的圓為.（1）求圓的方程；（2）過點作直線與圓交于兩點，是坐標原點，是否存在這樣的直線，使得在平行四邊形中？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由.22．已知點，圓:，過點的動直線與圓交于兩點，線段的中點為，為坐標原點.（1）求的軌跡方程；（2）當時，求直線的方程及的面積.23．在直角坐標系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為.當m變化時，解答下列問題：（1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；（2）證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.1．（2016新課標II理）圓的圓心到直線的距離為1，則a=A． B．C． D．22．（2017江蘇）在平面直角坐標系中，點在圓上，若則點的橫坐標的取值范圍是．3．（2016新課標II理）已知直線：與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，若，則__________．4．（2017新課標III理）已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設圓M過點，求直線l與圓M的方程.5．（2016江蘇）如圖，在平面直角坐標系中，已知以為圓心的圓及其上一點．（1）設圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標準方程；（2）設平行于的直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程；（3）設點滿足：存在圓上的兩點和，使得，求實數(shù)的取值范圍．變式拓展變式拓展1．【答案】C【解析】由y=k（x+2）,得直線y=k（x+2）恒過定點,因此可得點必在圓內(nèi)或圓上,故有.由方程表示圓的條件,知或.綜上可知.故選C.2．【答案】93．【答案】C【解析】∵圓C：x2+y2-4x-2y+1=0，∴x-22+y-12=4,∴r=24．【答案】A【解析】由題意可知|m+n|=（m+1）2+（n+1）2,整理得mn=m+n+1.由mn≤（m+n2）2可知m+n+1≤14（m+n）2,解得m+n∈（考點沖關考點沖關1．【答案】C【解析】令得，即圓與y軸的交點坐標為，則，故選C.2．【答案】A【解析】，所求圓的方程為，故選A．3．【答案】C【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，∴兩圓的圓心距，∴，∴兩圓外切，故選．4．【答案】D【解析】過原點作圓的切線，切線斜率k=，故選D．【名師點睛】與圓上點有關代數(shù)式的最值的常見類型及解法．①形如u=y-bx-a型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點和點的直線的斜率的最值問題；②形如t=ax+by型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；③形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離平方的最值問題．5．【答案】C6．【答案】B【解析】由題意知直線將圓分成的兩部分中劣弧所對圓心角為，又圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離為，即，解得或，所以直線的斜率為或，故選B.7．【答案】B【解析】把圓的方程化為，以為直徑的圓的方程為，若曲線上存在點，使得，則兩圓有交點，所以，解得，選B.8．【答案】B【解析】設動圓M半徑為，則因此動圓圓心M的軌跡是以為焦點的橢圓，所以，故選B.【名師點睛】求與圓有關的軌跡問題時，根據(jù)題設條件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．②定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．④代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等．9．【答案】C結(jié)合l1，l2被圓C所截得的弦的長度之比為1:2，可得求得k=12，故選10．【答案】A【解析】動直線與圓：相交于，兩點，且滿足，則為等邊三角形，于是可設動直線為，根據(jù)題意可得，，∵是線段的中點，∴，設，∵，∴，∴，解得，∴，∴，故選A．11．【答案】【解析】∵弦長為8，圓的半徑為5，∴弦心距為3，∵圓心坐標為，∴，解得為【名師點睛】涉及圓中弦長問題，一般利用垂徑定理進行解決，具體就是利用半徑的平方等于圓心到直線距離平方與弦長一半平方的和；直線與圓位置關系，一般利用圓心到直線距離與半徑大小關系進行判斷12．【答案】4【名師點睛】判斷直線與圓的位置關系的常見方法（1）幾何法：利用d與r的關系．（2）代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．（3）點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題．13．【答案】【解析】,所以圓心為，因此.14．【答案】【解析】因為直線恒過點，圓：的圓心為，半徑為3，由平面幾何知識，得當直線與線段垂直時，所截得的弦長最短，最小值為；故填.【名師點睛】在處理直線和圓的位置關系問題（如：弦長、中點弦、切線的條數(shù)）時，往往借助平面幾何知識可起到事半功倍的效果.15．【答案】16．【答案】【解析】∵動圓C與直線相切于點，故直線AC與直線垂直，故C落在直線上，設C點坐標為，則圓的半徑r=，則圓的方程為：．令，則，即，∵圓C被x軸所截得的弦長為2，∴,解得：，或，故所有圓C的半徑之積為,故應填10.17．【答案】【解析】圓：，化為，圓心，半徑，因為直線和圓相交，為等邊三角形，所以圓心到直線的距離為，即，解得，所以圓的面積為，故答案為.18．【答案】即時，等號成立），即的最小值為.19．【答案】（1）2x+5y-25=0或2x-5y+25=0；（2）見解析【解析】（1）如圖所示,連AM,BM,設P是AB的中點,由|AB|=42可得|MP|=|=1-223由射影定理,得|MB|2=|MP|·|MQ|,得|MQ|=3,在中,|OQ|=|MQ|2-|MO|故Q點的坐標為（5,0）或（-5,0）,所以直線MQ的方程是：2x+5y-25=0或2x-5y+25=0.（2）設Q（a,0）,由題意知M,A,Q,B四點共圓,直徑為MQ.設R（x,y）是該圓上任一點,由得.即.①①式與聯(lián)立,消去項得兩圓公共弦AB所在的直線方程為.所以無論a取何值,直線AB恒過點0,32,故直線20．【答案】（1）x＝1或；（2）6.（2）（解法1）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設直線方程為由得N.又直線CM與l1垂直，由得M.∴·＝為定值．故|AM|·|AN|是定值，且為6.（解法2）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，可設直線方程為kx－y－k＝0.由得N.再由得.∴x1＋x2＝，得M.以下同解法1.（解法3）用幾何法連接CA并延長交l2于點B，kAC＝2，，∴CB⊥l2.如圖所示，，則，可得·＝6，是定值.21．【答案】（1）；（2）存在直線和.所以，解得，所以圓的方程為.（2）由，所以平行四邊形為矩形，所以.要使，必須使，即：.①當直線的斜率不存在時，可得直線的方程為，與圓交于兩點，.因為，所以，所以當直線的斜率不存在時，直線滿足條件.②當直線的斜率存在時，可設直線的方程為.設由得：.由于點在圓內(nèi)部，所以恒成立，所以，，要使，必須使，即，也就是：整理得：.解得，所以直線的方程為存在直線和，它們與圓交兩點，且平行四邊形的對角線相等.【名師點睛】在處理平面解析幾何時，往往先設出直線方程，但要注意直線的斜率是否存在，如本題中當斜率不存在時也符合題意.22．【答案】（1）;（2）的方程為;的面積為.由于點P在圓C的內(nèi)部，所以點M的軌跡方程是.（2）由（1）可知M的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓.由于，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而.因為ON的斜率為3，所以直線的斜率為，故直線的方程為.又，O到的距離為，，所以的面積為.23．【答案】（1）不會，理由見解析；（2）詳見解析設A（x1,0）,B（x2,0）又C的坐標為（0，1），故AC的斜率與BC的斜率之積為-1x1?-1x2（2）BC的中點坐標為（x22，12由（1）可得x1+x2=聯(lián)立x=-m2，所以過A、B、C三點的圓的圓心坐標為（-m2故圓在y軸上截得的弦長為2r2-（m2）2=3【考點】圓的方程，弦長【名師點睛】直線與圓綜合問題的常見類型及解題策略：（1）處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構成直角三角形．代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關系及弦長公式：；(2)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關系解決問題．直通高考直通高考1．【答案】A【解析】圓的方程可化為，所以圓心坐標為，由點到直線的距離公式