數(shù)學(xué)是什么?“數(shù)學(xué)緣地”耕耘三周年特別篇本文提綱：Ⅰ不僅僅是算術(shù)Ⅱ數(shù)學(xué)符號Ⅲ大學(xué)水準(zhǔn)的數(shù)學(xué)Ⅳ為什么你應(yīng)該學(xué)數(shù)學(xué)一直以來，中學(xué)致力于講授數(shù)學(xué)的技巧，很少講數(shù)學(xué)是什么，學(xué)生因此認(rèn)為數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)并應(yīng)用相關(guān)技巧以解決特定問題的一門學(xué)科。這有點像把足球運動看作是運用策略讓球進門一樣；二者確實點出了一些關(guān)鍵，但同時也丟掉了對整個圖景的認(rèn)識。當(dāng)然，考慮到中學(xué)課程安排的需要，上述情形容易理解，然而這種安排所導(dǎo)致的后果也不容小覷。尤其在當(dāng)今世界，對數(shù)學(xué)的深度，廣度，效力以及局限有一個基本的認(rèn)識對于每一個人都大有裨益。這些年來，我(指KeithDevlin教授)見過許多數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)的人，比如工程，物理，計算機甚至數(shù)學(xué)專業(yè)本身，他們告訴我，從小學(xué)到大學(xué)一路學(xué)下來，他們還是不知道數(shù)學(xué)到底是什么。只是在后來偶然的情形，當(dāng)接觸到數(shù)學(xué)某一部分真正的本質(zhì)時，他們才開始感受到數(shù)學(xué)的魅力。

Ⅰ不僅僅是算術(shù)當(dāng)下科技使用的數(shù)學(xué)，絕大部分是近三百年的成果，有些甚至只有一百年。然而中學(xué)的傳統(tǒng)課程，卻是至少三百年前甚至兩千年前的知識。講授歷史如此悠久的內(nèi)容無可厚非，正如諺語所云：物盡其用。事實上，八九世紀(jì)阿拉伯世界商人為提高交易效率而發(fā)展的算術(shù)依舊有用，區(qū)別只在于他們手算我們用電子表格。隨著時間推移，社會進步，對新的數(shù)學(xué)的需求也日漸凸顯，相應(yīng)的教育也應(yīng)與時俱進。

據(jù)研究，數(shù)學(xué)始于一萬年前數(shù)和運算的發(fā)明，接下來的幾個世紀(jì)，古埃及人和古巴比倫人在此前基礎(chǔ)上發(fā)展了幾何學(xué)和三角學(xué)。對上述文明而言，數(shù)學(xué)就像菜譜，實用為上(“對一個數(shù)或一個圖先作這個，再作那個，就會得到想要的結(jié)果”)。公元前500年到公元300年，數(shù)學(xué)進入希臘新紀(jì)元。古希臘人對幾何有特殊的偏愛，他們用線段長度來表示數(shù)字，當(dāng)發(fā)現(xiàn)沒有數(shù)字可對應(yīng)的長度時(無理數(shù)的發(fā)現(xiàn))，他們的研究止步了。

事實上，數(shù)學(xué)正是從希臘時期開始被當(dāng)作一門嚴(yán)肅的研究，不再像以前作為度量或計數(shù)技巧而存在。大約公元前500年，米利都的泰勒斯最早引進了現(xiàn)在被公認(rèn)為數(shù)學(xué)基石的概念：定理，即數(shù)學(xué)論斷可以通過形式推理得到證明。泰勒斯所指出的道路，在歐幾里得的《幾何原本》中體現(xiàn)地淋漓盡致，《幾何原本》也因此成為繼《圣經(jīng)》之后流傳最廣的經(jīng)典。

到第一個千禧年的前半頁，印度人發(fā)明進位制，伊斯蘭世界的學(xué)者在后半頁將其進一步深化，到中世紀(jì)歐洲南部掌握了這一方法，此后數(shù)學(xué)的發(fā)展未曾停步，持續(xù)至今。與此對照，中學(xué)的課程在包含上述內(nèi)容之外，只增加了兩門新課程：初等微積分和初等概率論。也就是說，過去三百年發(fā)展起來的學(xué)科無一入選中學(xué)課程，而我們用的大多數(shù)數(shù)學(xué)正好就是這二三百年發(fā)展起來的！

因此，對數(shù)學(xué)的認(rèn)識只局限于中學(xué)的人，就不大能理解數(shù)學(xué)研究其實是一項普世而經(jīng)久不息的活動，也不會理解數(shù)學(xué)會像空氣一樣彌漫在日常生活中。比如很少有人知道，美國哪個機構(gòu)雇傭了數(shù)量最多的數(shù)學(xué)博士(答案是國家安全局，為其效力的大多數(shù)數(shù)學(xué)家的主要工作是破解密碼，以此幫助安全局獲取被加密了的信息)。

近一百年來數(shù)學(xué)的發(fā)展可謂爆炸式。20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)包含十二個子學(xué)科：代數(shù)，幾何，分析以及其他。現(xiàn)在，這個數(shù)字增長到60～70，有些子學(xué)科比如代數(shù)或拓撲，可進一步分為子子學(xué)科，其他比如復(fù)分析或動力系統(tǒng)，則完全是新領(lǐng)域。數(shù)學(xué)自二十世紀(jì)八十年代以來爆炸式的增長，也革新了我們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識：數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué)。依據(jù)這個認(rèn)識，數(shù)學(xué)的任務(wù)是界定并分析抽象的模式——數(shù)值的模式，形狀的模式，運動的模式，表現(xiàn)的模式，選舉的模式，可重復(fù)的隨機性的模式等等。這些模式可以是真實的，也可以是想象的，可以是可見的，也可以不可見，可以是靜態(tài)的，也可以是動態(tài)的，可以是定性的，也可以是定量的，可以是實用的，也可以是好玩的：從實際背景到思維創(chuàng)造，它們可以是世界的任何模式。不同的模式對應(yīng)不同的數(shù)學(xué)分支，比如：●代數(shù)與數(shù)論研究數(shù)和計數(shù)的模式

●幾何研究形狀的模式●邏輯研究推理的模式●概率研究隨機性的模式●拓撲研究緊密度和位置關(guān)系的模式●分形理論研究自然界自相似性的模式

Ⅱ數(shù)學(xué)符號各種天書般的符號——代數(shù)表達式，復(fù)雜的公式以及幾何圖表——是人們對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本印象。數(shù)學(xué)家如此依賴抽象符號，某種程度反映了他們所研究的模式本身的抽象性。

現(xiàn)實世界不同的領(lǐng)域需要不同的表示方法，比如研究地形分布或者給初來乍到的人指路，最好是畫個地圖，而非文字說明。類似地，我們通過城市規(guī)劃圖來定位某個建筑，用曲譜記錄樂曲。在分析處理各種抽象的模式和結(jié)構(gòu)時，數(shù)學(xué)的符號，概念以及程式被證明是最佳的選擇。比如我們熟知的加法和乘法的運算律，運用代數(shù)符號極其方便有效。我們以加法交換律為例：(文字形式)兩數(shù)相加，順序無關(guān)(代數(shù)形式)m+n=n+m

上述例子只是對數(shù)學(xué)抽象性的驚鴻一瞥。對大部分的數(shù)學(xué)分支，假如不用抽象的符號，數(shù)學(xué)將不可避免的繁復(fù)。也因此，符號系統(tǒng)伴隨數(shù)學(xué)的發(fā)展穩(wěn)步增長。

符號進入數(shù)學(xué)，一般歸功于法國數(shù)學(xué)家弗朗西斯·韋達。其實，公元250年亞歷山大里亞的丟番圖就已經(jīng)開始使用代數(shù)符號。他的十三卷經(jīng)典《算術(shù)》(現(xiàn)存6卷)公認(rèn)是最早的代數(shù)教科書。在書中，丟番圖用特殊符號代表未知數(shù)，未知數(shù)的冪以及減法和等號?，F(xiàn)在的數(shù)學(xué)書充斥各種符號，但符號之于數(shù)學(xué)正如樂譜之于樂曲。一段譜子代表一段曲子，譜子只有被唱出來或者演奏出來才成為靈動的曲子，也就是說，樂曲存在于我們的思維中而非紙上。對數(shù)學(xué)而言，道理也是如此：符號只是數(shù)學(xué)的表示，當(dāng)經(jīng)過專業(yè)人員(這里指受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人)的解讀，抽象的符號有了意義，數(shù)學(xué)如交響樂一樣回響在讀者的腦海中。

回到本節(jié)開頭，再次強調(diào)：數(shù)學(xué)符號的抽象在于數(shù)學(xué)對象本身的抽象。抽象的數(shù)學(xué)可以幫助我們理解世界的運行模式。1623年，伽利略寫道：自然這本大書只有掌握它的語言的人方能讀懂，這語言就是數(shù)學(xué)。事實上，物理學(xué)可以用數(shù)學(xué)語言精確地描述。我們用飛機的例子來說明，數(shù)學(xué)何以幫助我們理解物理定律。噴氣式飛機飛行時，我們是看不到任何向上托它的力量的，只有借助數(shù)學(xué)，我們才能理解那股隱形的力量。而這股力量，最早由十七世紀(jì)的伊薩克·牛頓所研究，經(jīng)過幾個世紀(jì)數(shù)學(xué)和工程的持續(xù)發(fā)展，我們終于能夠制造出實際的飛機。這個例子很好地凸顯了數(shù)學(xué)的力量：讓不可見變成可見。Ⅲ大學(xué)水準(zhǔn)的數(shù)學(xué)經(jīng)過前述對數(shù)學(xué)歷史的回顧，現(xiàn)在我們來說明大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別。大約150年前，雖然當(dāng)時的數(shù)學(xué)已遠遠拓展到數(shù)之外的范疇，但數(shù)學(xué)家依舊認(rèn)為數(shù)學(xué)的本質(zhì)是計算，對數(shù)學(xué)的精通就意味著能夠做復(fù)雜計算或者熟練推演符號。大體上，中學(xué)數(shù)學(xué)正是在這樣的傳統(tǒng)觀念中建立起來。直到19世紀(jì)，隨著數(shù)學(xué)家攻克更復(fù)雜的問題，他們發(fā)現(xiàn)直覺并不總是能引導(dǎo)下一步的研究，相反，之前為解決實際問題而發(fā)展出來的方法可能會引出違反直覺的結(jié)果，比如Banach-Tarski悖論就是一個例子。這個悖論講的是，理論上，我們可以把一個圓球用某種方式切成小塊然后重新組合，就能得到兩個(是兩個，你沒看錯)和原來一樣大小的圓球。由此開始，數(shù)學(xué)邁入了只能在其內(nèi)部理解自身的新階段。(因為Banach-Tarski悖論在數(shù)學(xué)上無懈可擊，其結(jié)論雖然詭異，我們依舊要承認(rèn)它)類似上述只能在數(shù)學(xué)上加以說明而不可能借助其他方式驗證的結(jié)果，促使數(shù)學(xué)家用數(shù)學(xué)方法來檢驗數(shù)學(xué)本身。19世紀(jì)中期開始的這種“內(nèi)省”，讓數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)有了全新認(rèn)識：數(shù)學(xué)的重心不再是計算求解，而是理解抽象概念和關(guān)系，數(shù)學(xué)由強調(diào)“實操”轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅亍袄斫狻?。?shù)學(xué)對象不再局限于特定的函數(shù)，而是某一抽象性質(zhì)的載體，證明不僅僅是按照規(guī)則變換對象，而是從概念出發(fā)進行邏輯推演。

這次觀念革命，徹底改變了數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的看法。然而對數(shù)學(xué)家之外的人，世界依舊如常。人們真正感覺到變化，是從大學(xué)課程開始。比如說你是一個數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生，初次接觸“新數(shù)學(xué)”，結(jié)果被折磨地死去活來，你很可能會問候狄利克雷，戴德金，黎曼以及所有其他發(fā)明這些該死的知識的人。

下面再用一個例子來說明這種轉(zhuǎn)變。十九世紀(jì)之前，數(shù)學(xué)家對函數(shù)的普遍看法是，諸如y=x2+3x-5這樣給定x生成y的式子是一個函數(shù)。然后逆天的狄利克雷出場，他說：忘掉那些式子吧，多想想函數(shù)的輸入-輸出機制。函數(shù)，就是能把一個數(shù)變成另一個數(shù)的法則。這法則，不必非得是代數(shù)表達式，甚至，都不必局限在數(shù)的范圍內(nèi)：只要能把一類事物變成另一類事物，這樣的法則就是函數(shù)。依據(jù)這一看法，下面的定義就是一個函數(shù)：x是有理數(shù)時，f(x)=0x是無理數(shù)時，f(x)=1試試畫一下這個函數(shù)的圖像！

由此開始，數(shù)學(xué)家轉(zhuǎn)向研究抽象函數(shù)的特征而非代數(shù)表達式，比如不同的起始值是否總能對應(yīng)不同的函數(shù)值？(這樣的性質(zhì)叫做單射)這條抽象的道路為數(shù)學(xué)其中一個分支的發(fā)展立下了汗馬功勞，這個分支即實分析。在實分析中，抽象函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性是主要研究對象，所使用的“δ-ε(讀作“德爾塔-埃普西隆”)定義，直到今天，仍然是微積分課程的攔路虎。

到十九世紀(jì)五十年代，黎曼根據(jù)可微性定義復(fù)函數(shù)，在此之前，偉大的高斯首次把帶運算的集合作為數(shù)學(xué)對象加以研究，由此定義了模剩余類。高斯思想的后繼者，戴德金，則進一步研究環(huán)，域和理想，而這些概念，也是帶某類運算的集合。

類似的變化，不一而足。

像大多數(shù)的變革一樣，十九世紀(jì)的這次轉(zhuǎn)變也有久遠的淵源。古希臘時期，數(shù)學(xué)就從單純的計算被提升到思維體操的高度，到十七世紀(jì)，微積分的另一發(fā)明人，萊布尼茨，則對數(shù)學(xué)的兩方面都進行了研究。即便如此，直到十九世紀(jì)數(shù)學(xué)還是被當(dāng)作解決問題的手段。生活在今天的數(shù)學(xué)家可能很難感受當(dāng)時的沖擊，而這場變革就這樣悄悄地發(fā)生，漸漸地被遺忘，默默地影響數(shù)學(xué)的走向。本書就是在這樣的背景下，懷著為讀者提供理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思維工具的使命而誕生。

十九世紀(jì)后半頁的新數(shù)學(xué)成為大學(xué)數(shù)學(xué)的主旋律，但是高中的數(shù)學(xué)內(nèi)容沒有受到任何影響，正因如此，你需要一本這樣的書(《IntroductiontoMathematicalThinking》)來完成思維的轉(zhuǎn)變。事實上，六十年代有過所謂的“新數(shù)學(xué)”運動，但大學(xué)數(shù)學(xué)系的精神被高中嚴(yán)重曲解，以致運動很快就被叫停。

對十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家而言，計算和理解同樣重要，十九世紀(jì)的革命只是二者孰重孰輕的區(qū)別。但六十年代高中老師的解讀卻是，“忘掉計算，專注理解”，這種荒謬的論調(diào)遭到數(shù)學(xué)家TomLehrer的嘲笑，他在自編的歌曲「新數(shù)學(xué)」中寫道：答案不知道，方法最重要。最終，“新數(shù)學(xué)運動”幾年后慘淡收場，退出高中。

自由社會的教育政策就是這樣，不知道未來會不會再來一次“新數(shù)學(xué)運動”？我們也不知道社會是否期待這樣的改變，教育界就學(xué)生是否應(yīng)該先掌握計算技巧然后再作抽象研究還有廣泛的爭議。Ⅳ為什么你應(yīng)該學(xué)數(shù)學(xué)至此，你應(yīng)該明白，數(shù)學(xué)在十九世紀(jì)的變革(從強調(diào)計算到注重理解)，只局限于以研究數(shù)學(xué)本質(zhì)為己任的數(shù)學(xué)家群體。對于大多數(shù)的科學(xué)家，工程師以及其他在日常工作中用到數(shù)學(xué)的人來說，數(shù)學(xué)只是計算工具，直到今天依舊如此。甚至，計算在今天的重要性和廣泛性遠超歷史的任何時期。因此，在數(shù)學(xué)家之外的人看來，十九世紀(jì)的變革更像是內(nèi)容的擴張而非焦點的轉(zhuǎn)換。對于今天的大學(xué)生，學(xué)校期望他們不僅要掌握解決具體問題的技巧，同時也應(yīng)清楚背后的思想并能從數(shù)學(xué)上證明他們所使用的方法。這樣的要求是否過分？這難得不應(yīng)該是數(shù)學(xué)家的事情么？對于那些只是為了找份好工作而不得不學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生來說(比如工程類專業(yè))，為什么也如此高要求？有兩個原因(劇透下：只有兩個，并且這兩個本質(zhì)上是同樣的意思)。首先，教育不僅僅是職業(yè)培訓(xùn)。作為人類偉大文明的成果之一，數(shù)學(xué)應(yīng)該和科學(xué)，文學(xué)，藝術(shù)以及歷史一道，被當(dāng)作文明珍寶而一代代傳承下來。我們學(xué)習(xí)不僅僅是為工作和職業(yè)，職業(yè)技能只是教育給予我們的很小一小部分。這一條毋庸置疑，接下來我們說工作技能的原因。眾所周知，很多工作需要數(shù)學(xué)技能。事實上，大多數(shù)行業(yè)對數(shù)學(xué)能力的要求遠非我們想象的那么簡單，這一點，找工作的同學(xué)會有深刻體會。這些年的經(jīng)驗告訴我們，每一次產(chǎn)業(yè)升級都會產(chǎn)生巨大的人才缺口，這些人才必須具備相應(yīng)的數(shù)學(xué)技能。實際上，如果更細致的考察這些技能，我們可以把它劃分為兩類。第一類，給定一個數(shù)學(xué)問題(即實際問題已經(jīng)被歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型)，解決之。第二類，拋給一個實際問題，比如說制造問題，能否識別出關(guān)鍵因素并用數(shù)學(xué)語言表述出來(即建模)，然后解決之。以往的情況是，社會對第一種技能需求巨大，對第二種需求很小。而數(shù)學(xué)教育能夠培養(yǎng)兼具兩種技能的人，雖然主要精力在培養(yǎng)第一種技能，但總會有人脫穎而出，掌握第二種技能。如此皆大歡喜。但在當(dāng)今社會，隨著企業(yè)創(chuàng)新加快，第二種技能，即跳出數(shù)學(xué)框架來思考問題的能力，開始取代第一種技能的地位。頓時，一切都不好了。掌握這種(第二種)技能的人，最關(guān)鍵的，是要對數(shù)學(xué)的力量，應(yīng)用范圍，何時不可用何時可用以及如何應(yīng)用有一個整體的認(rèn)識。在此基礎(chǔ)上，他們還需掌握一定程度的，不一定非得精通的數(shù)學(xué)知識。更重要的是，他們能在跨領(lǐng)域的團隊中懂得合作，能夠從新的角度看問題，有快速學(xué)習(xí)能力，然后應(yīng)用已知方法解決新問題。那我們應(yīng)如何培養(yǎng)這樣的學(xué)生？答案是：注重培養(yǎng)技巧背后的數(shù)學(xué)思想。古語有云，授人以魚，不如授之以漁。對新時代的數(shù)學(xué)教育而言，道理也是如此。因為我們有太多的數(shù)學(xué)知識，并且新的還在不停增加，小學(xué)到大學(xué)的16年時間里，不可能全部掌握。即便掌握了，等到大學(xué)畢業(yè)開始工作時，有些知識已經(jīng)過時，新的知識又成了風(fēng)尚。因此，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該教會學(xué)生如何學(xué)習(xí)。高斯說：數(shù)學(xué)，科學(xué)的女皇。十九世紀(jì)數(shù)學(xué)內(nèi)部激增的復(fù)雜性引發(fā)了數(shù)學(xué)從計算到概念理解的變革，150年之后的今天，在社會變