08/807/8/1．2.2“非”(否定)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的含義.2.掌握存在性命題和全稱命題否定的格式，會對命題、存在性命題、全稱命題進行否定．[知識鏈接]你能嘗試寫出下面含有一個量詞的命題的否定嗎？(1)所有矩形都是平行四邊形；(2)每一個素數(shù)都是奇數(shù)；(3)?x∈R，x2－2x＋1≥0.答：(1)存在一個矩形不是平行四邊形；(2)存在一個素數(shù)不是奇數(shù)；(3)?x∈R，x2－2x＋1<0.[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．概念一般地，對命題p加以否定，就得到一個新的命題，記作綈p，讀作“非p”或“p的否定”．由“非”的含義，可以用“非”來定義集合A在全集U中的補集?UA＝{x∈U|綈(x∈A)}＝{x∈U|x?A}．2．p與綈p真值表p綈p真假假真3.存在性命題的否定存在性命題p：?x∈A，p(x)，它的否定是綈p：?x∈A，綈p(x)．存在性命題的否定是全稱命題．4．全稱命題的否定全稱命題q：?x∈A，q(x)，它的否定是綈q：?x∈A，綈q(x)．全稱命題的否定是存在性命題．5．開句含有變量的語句，通常稱為開句或條件命題.要點一全稱命題的否定例1寫出下列全稱命題的否定：(1)任何一個平行四邊形的對邊都平行；(2)數(shù)列：1,2,3,4,5，中的每一項都是偶數(shù)；(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整數(shù)，末位是0.解(1)其否定為：存在一個平行四邊形的對邊不都平行．(2)其否定：數(shù)列：1,2,3,4,5，中至少有一項不是偶數(shù)．(3)其否定：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)其否定：存在被5整除的整數(shù)，末位不是0.規(guī)律方法全稱命題的否定是存在性命題，對省略全稱量詞的全稱命題可補上量詞后進行否定．跟蹤演練1寫出下列全稱命題的否定：(1)p：所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；(2)p：每一個四邊形的四個頂點共圓；(3)p：對任意x∈Z，x2的個位數(shù)字不等于3.解(1)綈p：存在一個能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù)．(2)綈p：存在一個四邊形，它的四個頂點不共圓．(3)綈p：?x∈Z，x2的個位數(shù)字等于3.要點二存在性命題的否定例2寫出下列存在性命題的否定：(1)p：?x∈R，x2＋x＋3≤0；(2)q：有的三角形是等邊三角形；(3)r：有一個質(zhì)數(shù)含有三個正因數(shù)．解(1)綈p：?x∈R，x2＋x＋3>0.(2)綈q：所有的三角形都不是等邊三角形．(3)綈r：每一個質(zhì)數(shù)都不含三個正因數(shù)．規(guī)律方法存在性命題的否定是全稱命題，即“?x∈A，p(x)”的否定為“?x∈A，綈p(x)”．由以上結(jié)論，可知寫一個命題的否定時，首先判斷該命題是“全稱命題”還是“存在性命題”，要確定相應(yīng)的量詞，給出命題否定后，要判斷與原命題是否相對應(yīng)(全稱命題?存在性命題)，進一步判斷它們的真假是否對應(yīng)．跟蹤演練2寫出下列存在性命題的否定：(1)p：有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)；(2)p：某些平行四邊形是菱形；(3)p：?x∈R，x3＋1<0.解(1)綈p：所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)．(2)綈p：每一個平行四邊形都不是菱形．(3)綈p：?x∈R，x3＋1≥0.要點三存在性命題、全稱命題的綜合應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]上至少存在一個實數(shù)c，使得f(c)>0.求實數(shù)p的取值范圍．解在區(qū)間[－1,1]中至少存在一個實數(shù)c，使得f(c)>0的否定是在[－1,1]上的所有實數(shù)x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函數(shù)的圖象特征可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?－1?≤0，,f?1?≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋2?p－2?－2p2－p＋1≤0，,4－2?p－2?－2p2－p＋1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p≥1或p≤－\f(1,2)，,p≥\f(3,2)或p≤－3.))∴p≥eq\f(3,2)或p≤－3.故在區(qū)間[－1,1]上至少存在一個實數(shù)c且使f(c)>0的實數(shù)p的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2))).規(guī)律方法通常對于“至多”“至少”的命題，應(yīng)采用逆向思維的方法處理，先考慮命題的否定，求出相應(yīng)的集合，再求集合的補集，可避免繁雜的運算．跟蹤演練3若?x∈R，f(x)＝(a2－1)x是減函數(shù)，則a的取值范圍是________．答案(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))解析依題意有：0<a2－1<1?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1>0，,a2－1<1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1或a>1，,－\r(2)<a<\r(2)))?－eq\r(2)<a<－1或1<a<eq\r(2).1．命題p：“存在實數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實數(shù)根”，則“綈p”形式的命題是()A．存在實數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0無實根B．不存在實數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0無實根C．對任意的實數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0無實根D．至多有一個實數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實根答案C解析命題p是存在性命題，其否定形式為全稱命題，即綈p：對任意的實數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0無實根．2．對下列命題的否定說法錯誤的是()A．p：能被2整除的數(shù)是偶數(shù)；綈p：存在一個能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形C．p：有的三角形為正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：?n∈N,2n≤100；綈p：?n∈N,2n>100.答案C解析“有的三角形為正三角形”為存在性命題，其否定為全稱命題：“所有的三角形都不是正三角形”，故選項C錯誤．3．下列命題中的假命題是()A．?x∈R,2x－1>0B．?x∈N*，(x－1)2>0C．?x∈R，lgx<1D．?x∈R，tanx＝2答案B解析A中命題是全稱命題，易知2x－1>0恒成立，故是真命題；B中命題是全稱命題，當(dāng)x＝1時，(x－1)2＝0，故是假命題；C中命題是存在性命題，當(dāng)x＝1時，lgx＝0，故是真命題；D中命題是存在性命題，依據(jù)正切函數(shù)定義，可知是真命題．4．命題“零向量與任意向量共線”的否定為____________________________．答案有的向量與零向量不共線解析命題“零向量與任意向量共線”即“任意向量與零向量共線”，是全稱命題，其否定為存在性命題：“有的向量與零向量不共線”．1.對含有一個量詞的命題的否定要注意以下問題：(1)確定命題類型，是全稱命題還是存在性命題，無量詞的全稱命題要先補回量詞再否定．(2)改變量詞：把全稱量詞改為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~；把存在量詞改為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞．2．同一個全稱命題、特稱命題，由于自然語言的不同，可能有不同的表述方法，在實際應(yīng)用中可以靈活地選擇.命題全稱命題“?x∈A，p(x)”特稱命題“?x∈A，p(x)”表述方法①對所有的x∈A，p(x)成立②對一切x∈A，p(x)成立③對每一個x∈A，p(x)成立④任選一個x∈A，使p(x)成立⑤凡x∈A，都有p(x)成立①存在x∈A，使p(x)成立②至少有一個x∈A，使p(x)成立③對有些x∈A，使p(x)成立④對某個x∈A，使p(x)成立⑤有一個x∈A，使p(x)成立一、基礎(chǔ)達標(biāo)1．下列命題中，正確的全稱命題是()A．對任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的兩條對角線相等C．?x，eq\r(x2)＝xD．對數(shù)函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)答案D解析A中含有全稱量詞“任意”，因為a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命題；B、D在敘述上沒有全稱量詞，實際上是指“所有的”，菱形的對角線不一定相等；C是存在性命題，所以選D.2．下列命題既是存在性命題，又是真命題的是()A．兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)B．存在一個實數(shù)x，使eq\f(1,x)＝0C．至少有一個實數(shù)x，使x2<0D．有個實數(shù)的倒數(shù)等于它本身答案D解析A項為全稱命題；B項eq\f(1,x)是不能為零的，故B假；C項，x2≥0，故不存在實數(shù)x使x2<0，故C假；D項，當(dāng)實數(shù)為1或－1時可滿足題意，故D正確．3．命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．?x∈R，|x|＋x2<0B．?x∈R，|x|＋x2≤0C．?x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0D．?x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)≥0答案C解析?x∈R，|x|＋x2≥0的否定是?x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0.故選C.4．已知命題p：?x>0，總有(x＋1)ex>1，則綈p為()A．?x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1C．?x>0，總有(x＋1)ex≤1D．?x≤0，總有(x＋1)ex≤1答案B解析“?x>0，總有(x＋1)ex>1”的否定是“?x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1”．故選B.5．命題“對任意x∈R，都有x2≥0”的否定為________．①對任意x∈R，都有x2＜0②不存在x∈R，使得x2＜0③存在x∈R，使得x2≥0④存在x∈R，使得x2＜0答案④解析全稱命題的否定是存在性命題．6．命題：方程x2＝4的解是x＝2或x＝－2的否定是________________．答案方程x2＝4的解不是2也不是－2.解析x＝2或x＝－2的否定是x≠2，且x≠－2.7．判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：(1)三角形的內(nèi)角和為180°；(2)每個二次函數(shù)的圖象都開口向下；(3)存在一個四邊形不是平行四邊形．解(1)是全稱命題且為真命題．命題的否定：三角形的內(nèi)角和不全為180°，即存在一個三角形其內(nèi)角和不等于180°.(2)是全稱命題且為假命題．命題的否定：存在一個二次函數(shù)的圖象開口不向下．(3)是存在性命題且為真命題．命題的否定：任意一個四邊形都是平行四邊形．二、能力提升8．命題“對任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．答案存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3解析由定義知命題的否定為“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”．9．寫出命題“每個函數(shù)都有奇偶性”的否定________．答案有些函數(shù)沒有奇偶性解析命題的量詞是“每個”，即為全稱命題，因此否定是存在性命題，用量詞“有些、有的、存在一個、至少有一個”等，再否定結(jié)論．故應(yīng)填：有些函數(shù)沒有奇偶性．10．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案[3,8)解析因為p(1)是假命題，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又因為p(2)是真命題，所以4＋4－m>0，解得m<8，故實數(shù)m的取值范圍是3≤m<8.11．命題p是“對某些實數(shù)x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a、b是常數(shù)．(1)寫出命題p的否定；(2)當(dāng)a、b滿足什么條件時，命題p的否定為真？解(1)命題p的否定：對任意實數(shù)x，有x－a≤0且x－b>0.(2)要使命題p的否定為真，需要使不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－a≤0，,x－b>0))的解集不為空集，通過畫數(shù)軸可看出，a、b應(yīng)滿足的條件是b<a.12．已知命題p：“至少存在一個實數(shù)x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”為真，試求實數(shù)a的取值范圍．解由已知得綈p：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．∴設(shè)f(x)＝x2＋2ax＋2－a，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al