電路分析基礎難點一階動態(tài)電路分析第一頁，共六十一頁，2022年，8月28日學習目標

理解動態(tài)元件L、C的特性，并能熟練應用于電路分析。深刻理解零輸入響應、零狀態(tài)響應、暫態(tài)響應、穩(wěn)態(tài)響應的含義，并掌握它們的分析計算方法。弄懂動態(tài)電路方程的建立及解法。熟練掌握輸入為直流信號激勵下的一階電路的三要素分析法。第二頁，共六十一頁，2022年，8月28日

3.1電容元件和電感元件3.1.1電容元件

電容器是一種能儲存電荷的器件,電容元件是電容器的理想化模型。斜率為R0qu圖3-1電容的符號、線性非時變電容的特性曲線當電容上電壓與電荷為關聯(lián)參考方向時，電荷q與u關系為：q(t)=Cu(t)C是電容的電容量，亦即特性曲線的斜率。當u、i為關聯(lián)方向時,據電流強度定義有：

i=Cdq/dt非關聯(lián)時：

i=-Cdq/dt

+-uCi+q-q第三頁，共六十一頁，2022年，8月28日電容的伏安還可寫成：式中，u(0)是在t=0時刻電容已積累的電壓，稱為初始電壓；而后一項是在t=0以后電容上形成的電壓，它體現了在0~t的時間內電流對電壓的貢獻。由此可知：在某一時刻t，電容電壓u不僅與該時刻的電流i有關，而且與t以前電流的全部歷史狀況有關。因此，我們說電容是一種記憶元件，，有“記憶”電流的作用。第四頁，共六十一頁，2022年，8月28日

當電容電壓和電流為關聯(lián)方向時，電容吸收的瞬時功率為：瞬時功率可正可負，當p(t)>0時，說明電容是在吸收能量，處于充電狀態(tài)；當p(t)<0時，說明電容是在供出能量，處于放電狀態(tài)。對上式從∞到

t進行積分，即得t時刻電容上的儲能為：第五頁，共六十一頁，2022年，8月28日式中u(-∞)表示電容未充電時刻的電壓值，應有u(-∞)=0。于是，電容在時刻t

的儲能可簡化為：

由上式可知：電容在某一時刻t

的儲能僅取決于此時刻的電壓，而與電流無關，且儲能≥0。電容在充電時吸收的能量全部轉換為電場能量，放電時又將儲存的電場能量釋放回電路，它本身不消耗能量，也不會釋放出多于它吸收的能量，所以稱電容為儲能元件。第六頁，共六十一頁，2022年，8月28日

3.1.2電感元件電感器（線圈）是存儲磁能的器件，而電感元件是它的理想化模型。當電流通過感器時，就有磁鏈與線圈交鏈，當磁通與電流i參考方向之間符合右手螺旋關系時，磁力鏈與電流的關系為：0i斜率為R+-uLi圖3-2電感元件模型符號及特性曲線當u、i為關聯(lián)方向時，有:

這是電感伏安關系的微分形式。Ψ(t)=Li(t)Ψ第七頁，共六十一頁，2022年，8月28日電感的伏安還可寫成：式中，i(0)是在t=0時刻電感已積累的電流，稱為初始電流；而后一項是在t=0以后電感上形成的電流，它體現了在0-t的時間內電壓對電流的貢獻。上式說明：任一時刻的電感電流，不僅取決于該時刻的電壓值，還取決于-∞~t所有時間的電壓值，即與電壓過去的全部歷史有關。可見電感有“記憶”電壓的作用，它也是一種記憶元件。第八頁，共六十一頁，2022年，8月28日當電感電壓和電流為關聯(lián)方向時，電感吸收的瞬時功率為：與電容一樣，電感的瞬時功率也可正可負，當p(t)>0時，表示電感從電路吸收功率，儲存磁場能量；當p(t)<0時，表示供出能量，釋放磁場能量。對上式從∞到

t進行積分，即得t時刻電感上的儲能為：第九頁，共六十一頁，2022年，8月28日因為所以

由上式可知：電感在某一時刻t

的儲能僅取決于此時刻的電流值，而與電壓無關，只要有電流存在，就有儲能，且儲能≥0。第十頁，共六十一頁，2022年，8月28日3.2換路定律及初始值的確定

3.2.1換路定律

通常，我們把電路中開關的接通、斷開或電路參數的突然變化等統(tǒng)稱為“換路”。我們研究的是換路后電路中電壓或電流的變化規(guī)律，知道了電壓、電流的初始值，就能掌握換路后電壓、電流是從多大的初始值開始變化的。

該定律是指若電容電壓、電感電流為有限值，則uC、iL不能躍變，即換路前后一瞬間的uC、iL是相等的，可表達為：

uC(0+)=uC(0-)

iL(0+)=iL(0-)必須注意：只有uC、

iL受換路定律的約束而保持不變，電路中其他電壓、電流都可能發(fā)生躍變。第十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日3.2.2初始值的確定

換路后瞬間電容電壓、電感電流的初始值，用uC(0+)和iL(0+)來表示，它是利用換路前瞬間

t=0-電路確定uC(0-)和iL(0-)，再由換路定律得到uC(0+)和iL(0+)的值。電路中其他變量如iR、uR、uL、iC的初始值不遵循換路定律的規(guī)律，它們的初始值需由t=0+電路來求得。具體求法是：畫出t=0+電路，在該電路中若uC(0+)=uC(0-)=US，電容用一個電壓源US代替，若uC(0+)=0則電容用短路線代替。若iL(0+)=iL(0-)=IS，電感一個電流源IS代替，若iL(0+)=0則電感作開路處理。下面舉例說明初始值的求法。第十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日例1：在圖3-3(a)電路中，開關S在t=0時閉合，開關閉合前電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)。試求初始值uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、ic(0+)和uL(0+)。圖3-3例1圖第十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日解(1)電路在t=0時發(fā)生換路，欲求各電壓、電流的初始值，應先求uC(0+)和iL(0+)。通過換路前穩(wěn)定狀態(tài)下t=0-電路可求得uC(0-)和iL(0-)。在直流穩(wěn)態(tài)電路中，uC不再變化，duC/dt=0，故iC=0，即電容C相當于開路。同理iL也不再變化，diL/dt=0，故uL=0，即電感L相當于短路。所以t=0-時刻的等效電路如圖3-3(b)）所示，由該圖可知：（2）由換路定理得第十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日因此，在t=0+瞬間，電容元件相當于一個4V的電壓源，電感元件相當于一個2A的電流源。據此畫出t=0+時刻的等效電路，如圖3-3(C)所示。（3）在t=0+電路中，應用直流電阻電路的分析方法，可求出電路中其他電流、電壓的初始值，即

iC(0+)=2-2-1=-1AuL(0+)=10-3×2-4=0第十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日例2:電路如圖3-4(a)所示，開關S閉合前電路無儲能，開關S在t=0時閉合，試求

i1

、i2

、i3、

uc、uL的初始值。

圖3-4例2圖解（1）由題意知：

（2）由換路定理得

第十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日因此，在t=0+電路中，電容應該用短路線代替，電感以開路代之。得到t=0+電路，如圖3-4(b)所示。（3）在t=0+電路中，應用直流電阻電路的分析方法求得通過以上例題，可以歸納出求初始值的一般步驟如下：(1)根據t=0-時的等效電路，求出uC(0-)

及iL(0-)。(2)作出t=0+時的等效電路，并在圖上標出各待求量。(3)由t=0+等效電路，求出各待求量的初始值。

i3(0+)=0uL(0+)=20×i2(0+)=20×0.3=6V第十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日當外加激勵為零,僅有動態(tài)元件初始儲能所產生的電流和電壓,稱為動態(tài)電路的零輸入響應.圖3-5RC電路的零輸入1i+-UCISR0R2C(a)uR+-+-uCCi(b)3.3零輸入響應圖3-5(a)所示的電路中，在t<0時開關在位置1，電容被電流源充電，電路已處于穩(wěn)態(tài)，電容電壓uC(0-)=R0IS，t=0時，開關扳向位置2，這樣在t≥0時，電容將對R放電，電路如圖3-5(b)所示，電路中形成電流i。故t>0后，電路中無電源作用，電路的響應均是由電容的初始儲能而產生，故屬于零輸入響應。

RC電路的零輸入響應第十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日-uR+uc=0而uR=i

R,

，代入上式可得上式是一階常系數齊次微分方程，其通解形式為

uc=Aept

t≥0２式式中A為待定的積分常數，可由初始條件確定。p為１式對應的特征方程的根。將２式代入１式可得特征方程為

RCP+1=0１式換路后由圖（b）可知，根據KVL有第十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日從而解出特征根為

則通解３式將初始條件uc(0+)=R0IS代入3式，求出積分常數A為將代入３式，得到滿足初始值的微分方程的通解為４式放電電流為

t≥0

t≥0

５式第二十頁，共六十一頁，2022年，8月28日令τ=RC，它具有時間的量綱，即故稱τ為時間常數,這樣４、５兩式可分別寫為

t≥0

t≥0由于為負，故uc和i

均按指數規(guī)律衰減，它們的最大值分別為初始值uc(0+)=R0IS

及

當t→∞時，uc和i衰減到零。第二十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日圖3-6RC電路零輸入響應電壓電流波形圖畫出uc及i的波形如圖3-６所示。

第二十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日3.3.2RL電路的零輸入響應一階RL電路如圖3-7(a)所示，t=0-時開關S閉合，電路已達穩(wěn)態(tài)，電感L相當于短路，流過L的電流為I0。即iL(0-)=I0，故電感儲存了磁能。在t=0時開關S打開，所以在t≥0時，電感L儲存的磁能將通過電阻R放電，在電路中產生電流和電壓，如圖3-7(b)所示。由于t>0后，放電回路中的電流及電壓均是由電感L的初始儲能產生的，所以為零輸入響應。圖3-7

RL電路的零輸入響應第二十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日由圖(b)，根據KVL有

uL+uR=0

將代入上式得1式iL=Aeptt≥0上式為一階常系數齊次微分方程，其通解形式為

2式將2式代入1式，得特征方程為

LP+R=0

故特征根為第二十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日則通解為

若令，τ是RL電路的時間常數，仍具有時間量綱，上式可寫為

t≥0t≥03式將初始條件i

L(0+)=

iL

(0-)=I0代入3式，求出積分常數A為

iL

(0+)=A=I0這樣得到滿足初始條件的微分方程的通解為

t≥04式第二十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日

電阻及電感的電壓分別是t≥0t≥0分別作出iL

、uR和、uL的波形如圖3-8(a)、(b)所示。由圖3-8可知，iL、uR及uL的初始值（亦是最大值）分別為iL(0+)=I0、

uR(0+)=RI0、uL(0+)=-RI0，它們都是從各自的初始值開始，然后按同一指數規(guī)律逐漸衰減到零。衰減的快慢取決于時間常數τ，這與一階RC零輸入電路情況相同。

第二十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日圖3-8RL電路零輸入響應iL、uR和uL的波形第二十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日從以上求得的RC和RL電路零輸入響應進一步分析可知，對于任意時間常數為非零有限值的一階電路，不僅電容電壓、電感電流，而且所有電壓、電流的零輸入響應，都是從它的初始值按指數規(guī)律衰減到零的。且同一電路中，所有的電壓、電流的時間常數相同。若用f

(t)表示零輸入響應，用f(0+)表示其初始值，則零輸入響應可用以下通式表示為t≥0

應該注意的是:RC電路與RL電路的時間常數是不同的，前者τ=RC，后者τ=L/R。第二十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日例3：如圖3-9(a)所示電路，t=0-時電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關S打開。求t≥0時的電壓uc、uR和電流ic。解由于在t=0-時電路已處于穩(wěn)態(tài)，在直流電源作用下，電容相當于開路。圖3-9例3圖所以由換路定律，得作出t=0+等效電路如圖(b)所示，第二十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日電容用4V電壓源代替，由圖(b)可知

換路后從電容兩端看進去的等效電阻如圖(C)所示，為：

時間常數為第三十頁，共六十一頁，2022年，8月28日AVt≥0t≥0也可以由

求出i

C

=-0.8e-tAt≥0

Vt≥0計算零輸入響應，得第三十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日

3.4零狀態(tài)響應

在激勵作用之前，電路的初始儲能為零僅由激勵引起的響應叫零狀態(tài)響應。3.4.1RC電路的零狀態(tài)響應

圖3-10所示一階RC電路，電容先未充電，t=0時開關閉合，電路與激勵US接通，試確定k閉合后電路中的響應。

圖3-10(a)RC電路的零狀態(tài)響應在k閉合瞬間，電容電壓不會躍變，由換路定律uc(0+)=uc(0-)=0，t=0+時電容相當于短路，uR(0+)=US，故電容開始充電。隨著時間的推移，uC將逐漸升高，第三十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日uR則逐漸降低，iR（等于ic）逐漸減小。當t→∞時，電路達到穩(wěn)態(tài)，這時電容相當于開路，充電電流ic(∞)=0，uR(∞)=0，uc=(∞)=Us。由kVLuR+uc=US而uR=RiR=RiC=

，代入上式可得到以uc為變量的微分方程

t≥0

初始條件為uC(0+)=01式1式為一階常系數非齊次微分方程，其解由兩部分組成：一部分是它相應的齊次微分方程的通解uCh，也稱為齊次解；另一部分是該非齊次微分方程的特解uCP，即

uc=uch+ucp第三十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日將初始條件uc(0+)=0代入上式，得出積分常數A=-US，故由于1式相應的齊次微分方程與RC零輸入響應式完全相同,因此其通解應為式中A為積分常數。特解ucp取決于激勵函數，當激勵為常量時特解也為一常量，可設ucp=k，代入1式得1式的解（完全解）為ucp=k=US第三十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日由于穩(wěn)態(tài)值uc(∞)=US，故上式可寫成

t≥02式由2式可知，當t=0時，uc(0)=0，當t=τ時，uc(τ)=US（1-e–1）=63.2%US，即在零狀態(tài)響應中，電容電壓上升到穩(wěn)態(tài)值uc=(∞)=US的63.2%所需的時間是τ。而當t=4~5τ時，uc上升到其穩(wěn)態(tài)值US的98.17%~99.3%，一般認為充電過程即告結束。電路中其他響應分別為t≥0

t≥0t≥0第三十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日根據uc、ic、iR及uR的表達式，畫出它們的波形如3-10(b)、(c)所示，其變化規(guī)律與前面敘述的物理過程一致。圖3-10(b)、(C)RC電路零狀態(tài)響應uc、ic、iR及uR波形圖第三十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日3.4.2RL電路的零狀態(tài)響應圖3-11(a)一階RL電路的零狀態(tài)響應

對于圖3-11(a)所示的一階RL電路，US為直流電壓源，t＜0時，電感L中的電流為零。t=0時開關s閉合，電路與激勵US接通，在s閉合瞬間，電感電流不會躍變，即有iL(0+)=

iL(0-)=0,

選擇iL為首先求解的變量，由KVL有：uL+uR=US

將,uR=RiL,代入上式，可得初始條件為

iL(0+)=01式第三十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日

1式也是一階常系數非齊次微分方程，其解同樣由齊次方程的通解iLh和非齊次方程的特解iLP兩部分組成，即

iL=iLh+iLp其齊次方程的通解也應為式中時間常數τ=L/R，與電路激勵無關。非齊次方程的特解與激勵的形式有關，由于激勵為直流電壓源，故特解

iLP為常量，令iLP=K，代入1式得因此完全解為第三十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日代入t=0時的初始條件iL(0+)=0得于是

由于iL的穩(wěn)態(tài)值，故上式可寫成：

t≥0

電路中的其他響應分別為

t≥0

第三十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日它們的波形如圖3-11(b)、(c)所示。t≥0t≥0圖3-11(b)(C)一階RL電路的零狀態(tài)響應波形圖

第四十頁，共六十一頁，2022年，8月28日其物理過程是，S閉合后，iL(即iR)從初始值零逐漸上升，uL從初始值uL(0+)=US逐漸下降，而uR從uR(0+)=0逐漸上升，當t=∞，電路達到穩(wěn)態(tài)，這時L相當于短路，iL(∞)=US／R，uL(∞)=0，uR(∞)=US。從波形圖上可以直觀地看出各響應的變化規(guī)律。第四十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日3.4.3單位階躍響應單位階躍函數用ε(t)表示，其定義如下：ε(t)=0t≤0-1t≥0+ε(t)的波形如圖3-12(a)所示，它在（0-，0+）時域內發(fā)生了單位階躍。圖3-12單位階躍函數第四十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日單位階躍函數可以用來描述圖3-12(b)所示的開關動作，它表示在t=0時把電路接入1V直流源時

u(t)的值，即：

u(t)=ε(t)V如果在t=t0時發(fā)生跳變，這相當于單位直流源接入電路的時間推遲到t=t0，其波形如圖3-13所示，它是延遲的單位階躍函數，可表示為ε(t-t0)=0t≤t0-

1t≥t0+圖3-13延遲的單位階躍函數第四十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日

當激勵為單位階躍函數ε(t)時，電路的零狀態(tài)響應稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應。對于圖3-10所示電路的單位階躍響應，只要令US=ε(t)就能得到，例如電容電壓為

若圖3-10的激勵uS=Kε(t)（K為任意常數），則根據線性電路的性質，電路中的零狀態(tài)響應均應

如單位階躍不是在t=0而是在某一時刻t0時加上的，則只要把上述表達式中的t改為t-t0，即延遲時間t0就行了。例如這種情況下的uC為第四十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日擴大K倍，對于電容有例4：求圖3-14(a)電路的階躍響應uC。

解先將電路ab左端的部分用戴維南定理化簡，得圖3-14(b)所示電路。由圖(a)可得圖3-14例4圖第四十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日∵3u1+u1=0∴u1=0則

于是式中

τ=R0C=2×10-6S將ab端短路，設短路電流為ISC（從a流向b）第四十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日

3.5全響應

由電路的初始狀態(tài)和外加激勵共同作用而產生的響應，叫全響應。如圖3-15所示，設

uC=uC(0-)=U0，S在t=0時閉合，顯然電路中的響應屬于全響應。圖3-15RC電路的全響應第四十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日對t≥0的電路，以uC為求解變量可列出描述電路的微分方程為

1式與描述零狀態(tài)電路的微分方程式比較，僅只有初始條件不同，因此，其解答必具有類似的形式，即代入初始條件uC(0+)=U0得

K=U0-US1式第四十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日從而得到通過對1式分析可知，當US=0時，即為RC零輸入電路的微分方程。而當U0=0時，即為RC零狀態(tài)電路的微分方程。這一結果表明，零輸入響應和零狀態(tài)響應都是全響應的一種特殊情況。上式的全響應公式可以有以下兩種分解方式。1、全響應分解為暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應之和。如2式中第一項為齊次微分方程的通解，是按指數規(guī)律衰減的，稱暫態(tài)響應或稱自由分量（固有分量）。2式中第二項US=uC(∞)受輸入的制約，它是非齊次方程的特解，其解的形式一般與輸入信號形式相同，稱穩(wěn)態(tài)響應或強制分量。這樣有

全響應=暫態(tài)響應+穩(wěn)態(tài)響應

2式第四十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日2、全響應分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應之和。將2式改寫后可得：3式等號右邊第一項為零輸入響應，第二項為零狀態(tài)響應。因為電路的激勵有兩種，一是外加的輸入信號，一是儲能元件的初始儲能，根據線性電路的疊加性，電路的響應是兩種激勵各自所產生響應的疊加，即

全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應

3式第五十頁，共六十一頁，2022年，8月28日3.6求解一階電路三要素法

如用f(t)表示電路的響應，f(0+)表示該電壓或電流的初始值，f(∞)表示響應的穩(wěn)定值，表示電路的時間常數，則電路的響應可表示為：

上式稱為一階電路在直流電源作用下求解電壓、電流響應的三要素公式。式中f(0+)、f(∞)和稱為三要素，把按三要素公式求解響應的方法稱為三要素法。由于零輸入響應和零狀態(tài)響應是全響應的特殊情況，因此，三要素公式適用于求一階電路的任一種響應，具有普遍適用性。第五十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日

用三要素法求解直流電源作用下一階電路的響應，其求解步驟如下：

一、確定初始值f(0+)

初始值f(0+)是指任一響應在換路后瞬間t=0+時的數值，與本章前面所講的初始值的確定方法是一樣的。先作t=0-電路。確定換路前電路的狀態(tài)uC(0-)或iL(0-),這個狀態(tài)即為t＜0階段的穩(wěn)定狀態(tài)，因此，此時電路中電容C視為開路，電感L用短路線代替。作t=0+電路。這是利用剛換路后一瞬間的電路確定各變量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-)=I0，在此電路中C用電壓源U0代替，第五十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日圖3-16電容、電感元件在t=0時的電路模型L用電流源I0代替。若uC(0+)=uC(0-)=0或iL(0+)=iL(0-)=0，則C用短路線代替，L視為開路?？捎脠D3-16說明。作t=0+電路后，即可按一般電阻性電路來求解各變量的u(0+)、i(0+)。第五十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日二、確